2.2.3 一元二次不等式的解法-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教B版）

050 2.2.3一元二次不等式的解法 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.借助一元二次不等式的概念，培养数学抽象核心 1.理解一元二次不等式的定义， 素养 2.能够利用因式分解法和配方法解一元二次不等式. 2.通过学习一元二次不等式的解法，提升数学运算核 (重点、难点) 心素养 3.了解简单的分式不等式，并会求其解集.（难点、易 3.借助简单分式不等式的解法，培养逻辑推理核心 错点) 素养 必备知识探新知 知识点1一元二次不等式的概念 一般地，形如 的不等式称为一元二次不等式，其中a,b,c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的 不等号也可以是 等 提醒：一元二次不等式的二次项系数a有a>0或a<0两种，注意a≠0.当a<0时，我们通常将不等式 两边同乘以一1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要玫变方向，这样我们只需要研 究二次项系裁大于0的一元二次不等式 ●对应练习 下列不等式中，哪些是一元二次不等式（其中a,b,c,m为常数）？ (1)ax2>0;(2)x3+5x-6≥0；(3)-x-x2≤0；(4)x2>0;(5)mx2-5y>0；(6)ax2+bx+c≤0； 71x->0 知识点2一元二次不等式的解法 1.因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果x1<x2,则不等式(x-x1)(x-x2)<0的解集是 ;不等式(x-x)(x-x2)>0的解集 是 2.配方法解一元二次不等式 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配方总是可以变为或 的形式，然后根据k的正负 等知识，就可以得到原不等式的解集。 提醒：一元二次不等式ax2+bx+c0(a≠0)通过配方总是可以变为(x-h)2>k或(x-h)2<k的形式 (1)当k≥0时，(x-h)2>k的解集为(-∞，h-√E)U(h+R,+∞)：(x-h)2<k的解集为(h-√压，h +E) (2)当k<0时，(x-)2>k的解集为R:(x-h)2<k的解集为⑦ 051 ●对应练习 (1)不等式(2x-5)(x+3)<0的解集为 (2)不等式3x2-2x+1>0的解集是 知识点3分式不等式的解法 1.分式不等式的概念 中含有未知数的不等式称为分式不等式各种分式不等式经过同解变形，都可化为标准形式“+： c+d>0 (≥0)或x+b cx+i<0(s0). 2.分式不等式的解法 解分式不等式的思路—一转化为整式不等式求解 化分式不等式为标准型的方法：移项，通分，右边化为0，左边化为的形式将分式不等式转化为整式不 等式求解。 提醒：当分式不等式中含有等号，等价转化为整式不等式时，其分母不为零最容易被忽略，这一点一定要 注意.（易错点） ●对应练习 不等式十≥0的解集为 A.-s B分s c{<-分或 D.{≤-或≥1} 关键能力攻重难 ●题型一 解不含参数的一元二次不等式 例解下列不等式： (1)2x2+7x+3>0;(2)x2-4x-5≤0. 归纳提升：一元二次 ●[归纳提升] 不等式的解法 对点训练 (1)因式分解法： 1.解下列不等式： (2)配方法. (1)-22+3x-5>0:(2)-2+3x-2<0:(3)-2+7x>6 052 ●题型二 解含参数的一元二次不等式 例2解关于x的不等式：a-2≥2-a(a<0。 归纳提升：解含参数的一 元二次不等式时： (1)若二次项系数含有参 ●[归纳提升] 数，则需对二次项系数 D对点训练 大于0、小于0、等于02.解关于x的不等式：a2-(a-1)x-1<0(a∈R). 进行讨论. (2)若求对应一元二次方 程的根需用公式，则应 对判别式△进行讨论. (3)若求出的根中含有参 ●题型三解简单的分式不等式 数，则应对两根的大小 进行讨论. 例3已知关于x的不等式a+4-3>0的解集为x1<<6. (1)求a,b的值； (2)解关于x的不等式2ax+2≤0. x-b 归纳提升：解分式不等式 的步骤 将不等式移项， 多项使共州 ●[归纳提升] 将不等式通分成， 通分同分母的分式不 )对点训练 等式 转化将分式不等式转 3.(1)不等式！≤0的解集为 :化为整式不等式 求解解出整式不等式 A.{xl-1≤x≤2 B.{xl-1≤x<2} 的解集，并作答 C.{xx≤-1或x≥2} D.{xIx≤-1或x>2 ②)下列不等式中，与不等式十2>3的解集相同的是 A.(x+4)(x2-2x+2)>3 B.x+4>3(x2-2x+2) 1 3 C.2-2x+2x+4 D22< x+4 课堂检测 固双基 1.下面所给关于x的几个不等式：①3x+4<0:②x2+A.{xx≥5或x≤-1} mx-1>0;③ax2+4x-7>0:④x2+1<0.其中一定 B.{xlx>5或x<-1 为一元二次不等式的有 ( C.}x|-1<x<5 A.1个 B.2个 D.{xl-1≤x≤5} C.3个 D.4个 3.一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为-2,3，a<0, 2.不等式x2-2x-5>2x的解集是 ( ) 那么ax2+bx+c>0的解集为 () 053 A.xx>3或x<-2 5.若a>0,b>0,则不等式-b< <a的解集为 B.{xlx>2或x<-3} C.{xl-2<x<3} D.{x|-3<x<2 夯基提能作业 4.不等式x2-4x+4≤0的解集是 ,x-4x+4 请同学们认真完成练案[14] ≥0的解集是 2.2.4均值不等式及其应用 第1课时均值不等式 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.掌握均值不等式，明确均值不等式成立的条件.（难 1.通过不等式的证明，培养逻辑推理的素养. 点) 2.通过均值不等式形式求简单的最值问题，提升数学 2.会用均值不等式证明一些简单的不等式或比较代数 运算的素养 式的大小.（重点） 必备知识 探新知 知识点1均值不等式（基本不等式） 1.算术平均值与几何平均值 前提 给定两个正数a,b 思考1：均值不等式与 不等式a2+b2≥2ab 结论 数5为ab的 的关系如何？请对此 数√ab称为a,b的几何平均值 进行讨论 提示：(1)在a2+b2≥ 2.均值不等式 2ab中，a,b∈R；在 前提 a,b都是 8约 a+b≥2ab中，a, 结论 b>0. (2)两者都带有等 等号成立的条件 当且仅当 时，等号成立 号，等号成立的条件 几何意义 所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大 从形式上看是一样 P[思考1] 的，但实质不同（范 围不同). ●对应练习 (3)证明的方法都是 下列结论正确的有】 (填序号) 作差比较法 ①对任意a,beR,2+b2≥2ab均成立. (4)都可以用来求 ②若a>0,b>0且a≠b,则a+b>2ab. 最值. ③若a>0.6>0,则6≤( ④a,6同号时，名+公≥2点M为线段AB的中点，所以24=9， 所以方程22+7x+3=0有两个不等实根x1=-3,:= 2 解得a=6,故选C -2 课堂检测固双基 所以原不等式的解集为>或x<3} 1.B由点P(1-2a,a+3)在第二象限，得 1-2a<0, a+3>0, (2)原不等式可化为(x-5)(x+1)≤0，解得-1≤x≤5， 所以原不等式的解集为{x1-1≤x≤5}. 解得a>0.5,故选B. 对点训练1：(1)原不等式可化为x2-6x+10<0, 2.C解不等式-2x+a≤2，得x≥“，2，从数轴看出它的解集 2 而2-6x+10=(x-3)2+1≥1， 为x1x≥-1，所以92=-1，即a=0.故选C 所以原不等式的解集为. 2 (2)原不等式可化为2x2-3x+2>0, 3.A原不等式同解于x-2<0, 因为4=9-4×2×2=-7<0， 即x<2.故选A. 所以方程2x2-3x+2=0无实根， 43解不等式组得≥1 即不等式组的解集为(2，+0)，从 所以原不等式的解集为R Lx>2, (3)原不等式可化为x2-7x+6<0. 而最小整数解为3. 解方程x2-7x+6=0,得x1=1,2=6. 5(2) 原不等式等价于1x-21>1x-11,则 所以原不等式的解集为{x1<x<6} 例2：原不等式移项得ax2+(a-2)x-2≥0， 1-212>1x-1,解得x<号 化简为(x+1)(ax-2)≥0. 因为a<0, 即原不等式的解集为(-，) 所以+1(-名)0 2.2.3一元二次不等式的解法 当-2<a<0时，名≤s-1: 必备知识探新知 当a=-2时，x=-1; 知识点1：a2+bx+c>0“<”“≥”“≤” 对应练习 当a<-2时，-1≤x≤2 (1)不是，a=0时，不符合一元二次不等式的定义；(2)不是，x 的最高次数为3；(3)、(4)是，符合一元二次不等式的定义； 综上所述，当-2<a<0时，解集为{只≤x≤-} (5)不是，m=0时，为一元一次不等式.m≠0时，含有x,y两 当a=-2时，解集为xlx=-1}: 个未知数；(6)不是，a=0时，x的最高次数不是2；(7)不是， 当a<-2时，解集为{ 因为不是整式不等式， :对点训练2：原不等式可化为(ax+1)(x-1)<0. 知识点2：1.(x1,x3)(-0,x)U(x2,+∞)2.(x-h)2 当a=0时，x<1; >k(x-h)2<k 对应练习 当a>0时，(+x-1)<0, ((-3,)2)R)原不等式可化为x-)水x+3) 所以-1 <x<1; <0,所以-3<x<子，所以原不等式的解集为(-3，) 当a=-1时1；当-1<a<0时，(x+}x-1)>0,所 (2)因为4=(-2)2-4×3×1=4-12=-8<0，所以不等式 以x>-或x<1: 3x2-2x+1>0的解集为R. 知识点3：1.分母 当a<-1时，-。<1，所以>1或<-日 对应练习 C原不等式等价于(x-1)(2x+1)≥0且2x+1≠0， 综上，当a>0时，原不等式的解集足{-。<x<1} 解得x<-7或≥1， 当a=0时，原不等式的解集是{xlx<1};当-1<a<0时，原 所以原不等式的解集为{xx<-之或x≥1小 不等式的解集足{x<1或x>。}当a=-1时，原不等 式的解集是{xIx≠1}：当a<一1时，原不等式的解集 关键能力攻重难 例1：(1)因为4=72-4×2×3=25>0， ! 是{<-或x>} 172 例3：(1)由题意知一元二次方程a2+4x-3=0的解为x=1,1-<0, x2=b, 4 r1+b=- <0或> a 由根与系数的关系得 1×b=-3 不等式的解集为(-x,-6)儿（口+} a' 解得a=-1,b=3 2.2.4均值不等式及其应用 (2)将a=-1,6=3代入不等式得-2x2≤0，整理得 x-3 第1课时均值不等式 -2s0,化筒得，)-3)≥0 x-3 x-3≠0 故所求解集为必备知识 探新知 {xlx≤1或x>3}. 知识点1：l.算术平均值2.正数√aba=b 对点训练3：(1)D(2)B(1)原不等式等价于(x+1)(2-x)对应练习 ≤0且2-x≠0，所以x≤-1或x>2. ①②③④ 所以原不等式的解集为{xlx≤-1或x>2}.故选D. ! 知识点2：小大 对应练习 、2)因为-2x+2>0,所以由不等式“2>3， 1.B因为0<x<1,则1-x>0, 得x+4>3(x2-2x+2),故选B. 所以(3-3)=3x(1-)≤3[+号D]=子，当且仅当 课堂检测固双基 1.B②④一定是一元二次不等式. x=1-x,即x=2时等号成立 2.B原不等式等价于x2-4x-5>0, 即(x+1)(x-5)>0,解得x<-1或x>5 2B为正数，(+（位+）=1+4+立+5≥9，当日 故原不等式解集为{xx>5或x<-1},故选B. 仅当y=2x时等号成立，故选B. 3.C.…ax2+bx+c=0的两根为-2,3， 关键能力攻重难 -2+3= 例1：(1)ACD(2)A(1)因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0， a' b=-a, 得 所以a2+b≥2ab恒成立，所以A选项符合题意； -2×3=c c=-6a. a 当a<0,b<0时，显然ab>0成立， .'ax2 +bx +ex0 ax2-ax-6a >0, 但是a+b≥2√ad不成立，所以B选项不符合题意； x2-x-6<0, 因为b>0,所以(a+6(6+日)=b+6+2≥ (x-3)(x+2)<0,-2<x<3, 选C 2√ab·6+2=4(当且仅当ab=时取等号，即ab=1 4.{2}Rx2-4x+4≤0， .(x-2)2≤0， 时取等号），所以C选项符合题意； x=2, .x2-4x+4≤0的解集为2}， 丙为0，所以+号2合2（当且仅当台 x2-4x+4≥0的解集为R =g时取等号，即a=b>0或a=b<0时取等号)，所以D 5(-,u(六+）>-6， 选项符合题意， +6>0. (2)若0<a<6,由基本不等式可以得出Vd<“(因为 即l+c>0, a≠6，所以取不到等号)：反之若瓜<“生兰，可得a>0, x(1+bx)>0, 6>0且(V画产<(，化商得a>0,6>0且a: x>0或x<六 >0,即a>0,b>0且a≠b,得不到0<a<b,所以是充分不 又<a 必要条件 对点训练1：②①中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x -a<0 =,即当x=1时x+≥2等号成立，因为>1，所以+ -173