练案14 第二章 2.2.3 一元二次不等式的解法-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教B版）

练案[14] 第二章 等式与不等式 2.2[2.2.3 一元二次不等式的解法] A组基础巩固 三、解答题 一、选择题 9.解下列不等式： 1.下列四个不等式： (1)2+3x-2x2>0: ①-x2+x+1≥0：②x2-2√5x+5>0:③x2+6x+ (2)x(3-x)≤x(x+2)-1; 10>0;④2x2-3x+4<1.其中解集为R的是(） (3)x2-2x+3>0. A.① B.② C.③ D.④ 2.不等式6x2+x-2≤0的解集为 a-号引 B{-号或≥} c{小≥引} {-} 3.设a<-1,则关于x的不等式a(x-a)(x-)<0 的解集为 A{<a或x> B.xlx>a a c{x>a或x< D.( 4.(2026·大连高一检测)已知关于x的不等式3x2+ax 2 +6<0的解集为{号<x<2,则a+b= A.-4 B.4 C.-8 D.8 5.(多选题)已知关于x的不等式x2+bx+c>0的解集 为xx<-2或x>3},则 ( A.b=-1 B.不等式bx+c>0的解集是{xlx<-6 C.b+c=5 D.不等式2-bc+1<0的解集是{x<-子或x>} 11 二、填空题 6.已知关于x的不等式2x2+ax-a2>0的解集中的一 个元素为2，则实数a的取值范围为 7不等式经专1的解集是 8.某种汽车在水泥路面上的刹车距离（刹车距离是指 汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)sm和汽车车 速xkm/h有如下关系：s= 皮+动2.在一次交通事 故中，测得这种车的刹车距离不小于40m,那么这辆 汽车刹车前的车速不低于km/h. —127 10.解关于x的不等式x2+3ax-4a2<0(aeR) 三、解答题 :6.已知aeR,设集合A={xlx2-(6a+1)x+9a2+3a -2<0},B=x11-1x+a1≥0}. (1)当a=1时，求集合B; (2)间：a≥号是AnB=⑦的什么条件.（充分不必要 条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要 条件)并证明你的结论. B组素养提升 一、选择题 1.不等式-+子+兮≤0的解集是 B{≥1或≤-引 c{≥写或≤} D{-1≤≤} 2.(2026·抚顺高一检测)若关于x的不等式ax-b>0 的解集是(-1，+∞)，则关于x的不等式(bx+a)(x -3)>0的解集是 () A.(-0-1)U(3,+∞) B.(-1,3) C.(1,3) D.(3,+o) 3.(多选题)已知关于x的不等式ax2+bx+3>0,关于 此不等式的解集有下列结论，其中正确的是( A.不等式x2+bx+3>0的解集可以是xlx>3} B.不等式ax2+bx+3>0的解集可以是R C.不等式ax2+bx+3>0的解集可以是⑦ D.不等式ax2+bx+3>0的解集可以是{xl-1<x<3} 二、填空题 4.(2025·山东菏泽高一期中)若不等式ax2+bx+2<0的 C组创新拓展 设0<b<1+a,若关于x的不等式(x-b)2>(ax)2的 解集为<或x>写}则 解集中的整数解恰有3个，则 () 5.(2026·营口高一检测)已知关于x的不等式x2-x A.-1<a<0 B.0<a<1 +2k<0的解集为(x,2),且1x1-x2|≤3，则实数k C.1<a<3 D.3<a<5 的取值范围为 —128所以m=-6, 4.（-∞，-3]U[3,+0）先确定1x+11+1x-21的取值范 综上可得m=-6 围，再使得a能取到此范围内的值即可 9.(1)1x-11>12x-31可化为 当x≤-1时，lx+1|+1x-21=-x-1-x+2=-2x+1≥3； Ix-11-I2x-31>0. 当-1<x≤2时，Ix+1|+Ix-21=x+1-x+2=3: 当x<1时，-x+1+2x-3>0, 当x>2时，|x+1|+x-2|=x+1+x-2=2x-1>3; 解得x>2,∴.xe☑； 综上可得|x+1|+x-2≥3，所以只要|a≥3，解得a≤-3 当1≤x≤2时，x-1+2x-3>0, 或a≥3 解得小 3 5[-46 51,① 3 -<x≤2 5x-2<3(x+2), 当>3时，x-1-2x+3>0, 由①得x≥- ，由2得x<4, 3 解得x<2,2<x<2 所以不等式组的解朱为-引4)，所有正整数解有1,23， 即原不等式的解集为（子，2 .和为6 「x<-2, 6原不等式组的解集可利用a,6表示为{：号≤≤受}根据 (2)原不等式 --1-x-2>3+或 不等式组的整数解仅有1,2，可确定a,6满足0<号≤1,2≤ 「-2≤x≤-1， 或>1， L-x-1+x+2>3+xlx+1+x+2>3+x, 合<3，即0<a≤3,4≤6<6，因为a,6为整数，所以a的值可 或>-1， x<-2或x>0. 能为1或2或3，b的值可能为4或5. x>0 C组创新拓展 所以原不等式的解集为(-∞，-2)U(0,+∞)， (1)(-3,1)(2)2(1)-1的2邻域即为不等式|x+1|< 10.(1)由数轴上中点坐标公式得9=3+￥ 2 2的解集， 解不等式得-3<x<1, .x=15. 所以-1的2邻域为(-3,1). (2)AB的中点对应的数为士产。 (2)t-2的5邻域即为不等式|x-(t-2)|<5的解集， 由题意得|生-9>7， 解不等式得t-7<x<t+3, 又t-2的5邻域是一个关于原点对称的区间， >7,1x-151>14, 所以t-7+t+3=0,解得t=2. ..x<1或x>29, 练案[14] 即x的取值范围是(-∞，1)U(29,+∞). ;A组基础巩固 B组素养提升 1.C-x2+x+1≥0， 1.C由2x-1≥5，得x≥3， .x2-x-1≤0， 由8-4x<0,得x>2,.选C. .∴.△=1+4=5>0，∴.解集不为R; 2.D lx-al<b, ! 又x2-25x+5>0, ..-b<x-a<b,a-b<x<a+b, .△=20-45>0，.解集不为R: 1 a=2' .…x2+6x+10>0, 即a-6 .4=36-40<0,∴.解集为R: a+b=2, 3 b=2 2x2-3x+4<1, 选D. .2x2-3x+3<0, 3.BCD由x-a<1可得a-1<x<a+1,它的充分不必要条 .△=9-24<0，.解集为 .选C 件足片<<分即片<分是a-1<<a+1的2A6220 1 1 ∴.（3x+2)(2x-1)≤0 a-1≤3 2 21 真子集，则 1 且等号不同时成立，解得-分≤a≤ -行≤x≤2， a+1≥2 .选A 手故选BD 3.Aa<-la(-a(c-日）<0eo(x-a)(-a）月 —205- 0.又a<-1, (2)因为原不等式可化为22-x-1≥0， 1>a,x>或x<a a 因为2x--1=2-之+66-1 4.A由题意得子，2是关于x的方程3+ax+b=0的两个不 =2(x4-8 等实根， 所以原不等式可化为2(：-)-号=0 2 +2=-3 fa=-8, 所以 解得 2 b=4, 所以(-=器 3×2=3 所以x一 13 1 ≥或x一4≤一 所以a+b=-4. 5.ABD因为关于x的不等式x2+bx+c>0的解集为 解得≥1，成≤分 {xx<-2或x>3},所以-2和3是方程x2+bx+c=0的两 个实根，所以根据一元二次方程根与系数的关系得-b=-2 航以原不等式的解集为(-，U[1,+, +3,b=-1,故A正确；又-2×3=-6=c,所以不等式bx+c (3)因为x-2x+3=(x-1)2+2>0恒成立， >0化为-x-6>0,所以x<-6,故B正确；所以b+c=-7, 所以原不等式的解集是R 故C不正确；不等式cx2-bx+1<0化为-6x2+x+1<0,即10.由于x2+3a-42<0可化为(x-a)·(x+4a)<0, 1 6x--1>0,即(3x+1)(2x-1)>0,解得x>2或x< 且方程(x-a)(x+4a)=0的两个根分别是a和-4a. 当a=-4a,即a=0时，不等式的解集为☑： 了，放D正确 当a>-4a,即a>0时，解不等式得-4a<x<a: 当a<-4a,即a<0时，解不等式得a<x<-4a. 6.（-2,4)因为关于x的不等式2x2+ax-a2>0的解集中的 综上所述，当a=0时，不等式的解集为☑：当a>0时，不等 一个元素为2，所以8+2a-a2>0,即(a-4)(a+2)<0,解得 式的解集为{xl-4a<x<a};当a<0时，不等式的解集为 -2<a<4. xla<x<-4a 7{-亭<红持1-数好-1<0一50等价B组来养提升 于x-1)(3x+5)s0, 1Bf+子+片0 1 3x+5≠0， .3x2-2x-1≥0， 解得{号< (x-1)(3x+1)≥0 8.80 根据影意，得点+高≥40 1或e分 移项整理，得x2+10x-7200≥0. .选B 显然△>0，x2+10x-7200=0有两个实数根， 2.C因为不等式ax-b>0的解集是(-1，+∞)， 所以a>0,且-1是方程ax-b=0的根， 即x1=80,x2=-90, 故-a-b=0,即b=-a, 然后，根据二次函数y=x+10x-7200的图像（图略）， 所以(bx+a)(x-3)>0台-a(x-1)(x-3）>0台(x-1)(x 得不等式的解集为{xlx≤-90或x≥80}. -3)<0, 在这个实际问题中，x>0,所以这辆汽车刹车前的车速不低于 求解可得1<x<3,即不等式(bx+a)(x-3)>0的解集为(1， 80 km/h. 3) 90为2+-2-2-+名2-2- 3.BD在A中，依题意得a=0,且3b+3=0.解得b=-1,此时 + 不等式为-x+3>0,解得x<3,故错误；在B中，取a=1,b= 2,得x2+2x+3=(x+1)2+2>0,解集为R,故正确；在C中， 所以原不等式化为-2(x-子广+空>0， 当x=0时，ax2+bx+3=3>0,知其解集不为)，故错误：在D b -1+3=- 所以(-<瓷 a 中，依题意得a<0,且 3 解得a-1 -1×3= 6=2.符合题 a 所以-子<-子< 35 意，故正确， 解得子<<2 42 6 因为不等式a以+bc+2<0的解集为{xx<-方或x 所以不等式的解集为(-7,2 >} —206 所以u<0,且-分，号是方程a+bc+2=0的两个根， 当且仅当x=号，即x=3时取得最小值6，故选A 合+写=女，分×写-名解得a=-126-24D由瓜≤"宁岁2得≤4心市故A缩： 即有-2+3 a,-2x3 则%+b、7 a=6 +1=a+6=4≥1，故B错 = a b ab 5.[-1,0)U(8,9]因为关于x的不等式x2-kx+2k<0的解 集为(x1,x2), 由a+6=4,得瓜≤生=号=2，故C错： 所以x1,x2是方程x2-kx+2k=0的两个根， 护≥（告得d+6≥2×(=8 所以△=(-k)2-8k>0,解得k<0或k>8, x1+x2=k,1x2=2k, ≤名，D正 1 由1x1-2≤3，得(x1-x2)2≤9，(x1+x2)2-4xx2≤9， 5.B因为a,b都为正实数，2a+b=1, 所以k2-8k-9≤0.(k+1)(k-9)≤0， 解得-1≤k≤9， 所拟w=岁≤2)=安 综上，-1≤k<0或8<k≤9， 即实数k的取值范围为[-1,0)U(8,9]. 当且仅当2a=6,即a=子6=时，6取最大值号 6.(1)由1-1x+11≥0，得1x+11≤1，即-1≤x+1≤1，-2≤x i6.24 ≤0，所以B=[-2,0]. 因为女+2=12√品所以b=8因此3=24，当 (2)充分不必要条件，证明如下， 且仅当=2，即a=2,b=4时，取等号. 由题意A=(3a-1,3a+2),B=[-a-1,-a+1],若A∩B= b ②.则3u+2≤-0-1或30-1≥-a+1,解得a≤-或=58年平均利润兰=+18-空-(+）+18≤8 当且仅当x=5时，等号成立()=8， a≥专是AnB=2的充分不必要条作 即机器运转5年时，年平均利润最大，为8万元 8.[6,+0)因为x>0,y>0, C组创新拓展 C关于x的不等式(x-b)2>(ax)2,即(a2-1)x2+2bx-b2 由均值不等式得x+y+3=灯≤（生）， <0 因为0<b<1+a,[(a+1)x-b]·[(a-1)x+b]<0的解集 令+y=,则1+3≤（分月 中的整数解恰有3个， 化简得2-4t-12≥0， 所以a>1, 解得t≥6或t≤-2（舍去）， 所以不等式的懈集利。。年)： 所以x+y的取值范围为[6，+∞). 9.因为x>-1,所以x+1>0, 又0<6 *11, 设x+1=t>0,则x=t-1,于是有： (x+5)(x+2)=(t+4)(t+1=+5t+4 所以解集中的整数为-2，-1,0. x+1 t t 所以-3≤a白<-2，周2<名≤3， ，4 +5≥2 +5=9 t 所以2a-2<b≤3a-3, 因为b<1+a, 当且仅当t=4,即1=2时取等号，此时x=1, t 所以2a-2<1+a,解得a<3, 所以当x=1时，x+5)x+22取得最小值是9. 综上，1<a<3. x+1 练案[15] 10.(1)1=4a+b≥2W4ab=4√ab, 1 A组基础巩固 瓜≤ab≤6 1.Ab2+1≥2b,.a+2b≤a+b2+1. 当且仅当a=日6=时，取等号， 2.A因为a,beZ,所以2">0,2>0，所以2+2≥2√2°·2 =2√2*=2，当且仅当a=b=0时，等号成立.所以2“+2 故a山的最大值为石 的最小值是2. (2):x+3y=5xy,x>0,y>0, 3A0是+2 . x6, 分+1 -207