2.2.4 第2课时均值不等式的应用-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教B版）

056 第2课时 均值不等式的应用 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题.（重 1.通过均值不等式求最值，提升数学运算素养。 点) 2.借助均值不等式在实际问题中的应用，培养数学建 2.会用均值不等式求解实际应用题.（难点）》 模素养 必备知识 探新知 知识点重要结论 已知x,y都是正数 (1)若x+y=S(和为定值)，则当x=y时，积y取得最 (2)若=P(积为定值)，则当x=y时，和x+y取得最 值2√P 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大 ●对应练习 思考辨析（正确的打“V”,错误的打“×”） (1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值. () (2)若a>0,b>0且a+b=4,则ab≤4. (3)当x>1时，函数y=x+ 1≥2 1 气所以函数)的最小值是2√ 关键能力 攻重难 归纳提升：通过拼凑 ●题型一利用均值不等式求最值 法利用均值不等式求 最值的策略 角度1间接利用均值不等式求最值 拼凑法的实质在于代 例 1.(1)已知x<0,则3x+12的最大值为 数式的灵活变形，拼 系数、凑常数是关 (2)已知x>2,求x+x-2的最小值. 键，利用拼凑法求解 (3)已知0<<号求分(1-2)的最大值 .1 最值应注意以下儿个 方面的问题 (1)拼凑的技巧，以 整式为基础，注意利 用系裁的变化以及等 式中常数的调整，做 到等价变形 (2)代数式的变形以拼凑 出和或积的定值为日标 (3)拆项、添项应注意 ·[归纳提升] 检验利用均值不等式求 最值的三个条件 ●057 对点训练 1.()已知x<子，试求4-2+-5的最大值， (2)已知x>0,求2-x-4的最大值 归纳提升：常数代换 法求最值的方法步骤 常数代换法适用于求 解条件最值问题.应 用此种方法求解最值 的基本步骤为： (1)根据已知条件或 角度2利用均值不等式求条件最值 其变形确定定值（常 例2(1)已知>0，>0，且满足+)=1，求x+2y的最小值 数) x y (2)把确定的定值（常 (2)已知x>0,y>0,若x+2y=1,求8+1的最小值 裁)变形为1. 2 (3)把“1”的表达式 与所求最值的表达式 相乘或相除，进而构 造和或积的形式 (4)利用均值不等式 求最值 [归纳提升] )对点训练 2.(2026·济南高一检测)若正实数x,y满足x+2y=y,则2x+y的最小值为() 归纳提升：用均值不 A.8 B.9 C.10 D.11 等式解决实际问题的 ●题型二利用均值不等式解决实际问题 步骤 例3菜单位用60万元购得块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层 (1)理解题意，设好 变量. 2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均 (2)建立相应的关系 建筑费用为560+48.x(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该 式，把实际问题转 楼房应建为多少层？ 化、抽象为最大值或 (注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=购地总费里) 最小值问题. 建筑总面积 (3)在自变量范围 内，求出最大值或最 小值. (4)结合实际意义求 出正确的答案，回答 实际问题. ·[归纳提升] 对点训练 3.如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利 子 用原有的墙，其他各面用钢筋网围成. (1)现有可围36m长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少 时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为24m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间 虎笼的钢筋网总长最小？ 058 ●题型三均值不等式的综合应用（逻辑推理〉 例 +方≥6恒成立，则 .(1)(2026,大连高一检测)已知a>0,b>0,若不等式4+≥ m的最大值为 () A.10 B.12 C.16 D.9 (2)(2026·沈阳高一检测)已知关于x的一元二次不等式mx2-3x+1<0的解 集为(a,b),且对于任意的正实数a,b,a+4b≥2+k+3恒成立，则实数k 归纳提升：不等式恒 的取值范围是 A.[-3,2] B.(-∞，-1]U[0,+∞) 成立问题的求解策略 C.[-2,3] D.[-1,0] 1.不等式恒成立问题 的实质是已知不等式 [归纳提升] 的解集求不等式中参 对点训练 数的取值范围。 4.(2026·威海高一检测)关于x的不等式-x2+ax+b≥0的解集为[-1,2]. 2.对于求不等式成立 (1)求a,b的值； 时参数的范围问题， (2)当x>0,y>0,且满足：+。=1时，有2x+y≥？+k+6恒成立，求实数的取值 在满足条件的情况下 x y 可以把参裁分离出 范围。 来，使不等式一端是 含参裁的式子，另一 端是一个具体的代数 式，把问題转化为只 有一端是参数的不等 式的形式，便于问题 的解决. 3.常见求解策略是将 不等式恒成立问题转 化为求最值问题，即 y≥m恒成立台ym≥ m;y≤m恒成立台yma ≤m. 课堂检测 固双基 1.(2026·潍坊高一检测)某工厂第一年年产量为A,第3.已知x>0,y>0,2x+3y=6,则xy的最大值 二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平 为 均年增长率为x,则 )4.(2026·济南高一检测)已知正实数a,b,满足ab=4, A.x=a+b 2 B长乡 则上+ 一+6的最小值为 C.x>atb 5.若对任意x>0, 2 D.x≥a+b 2 2+3+≤a恒成立，则a的取值范 1 2.已知x<0,则y=x+ ·-2有 围是 A.最大值为0 B.最小值为0 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[16] C.最大值为-4 D.最小值为-4上>2③中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这 即当x=4,y=12时，x+y取得最小值16. 例3：由均值不等式可得 条件 a+b4=(a2)2+(62)2≥2a2b2. 例2：(1)因为m,n>0且m+n=16, 同理：b+c4≥2bc2,c4+a≥2a2c2,所以(a4+6+(b+ 所以击均值不等式可得m≤(-()=64， c4)+(c4+a2)≥2a2b2+2b2c2+2a2c2, 从而a+b+c≥a262+6c2+2a2(当且仅当a2=b2=c2 当且仅当m=n=8时，mn取到最大值64. 时，等号成立) 所以2m的最大值为32. 对点训练3：周为0>06>0所以+古≥2√石>0， (2)因为x>3,所以x-3>0,-3>0, 4 所以21≤，2= 于是)=+3=-3+3+3≥2√-3) 4 1 x-3 1 a+方2√ab +3=7, 2 11≤Vab(当a=b时取“="： 当且仅当x-3=43即x=5时，x)取到最小值7。 (3)方法一：因为x>0,y>0,2x+y=1, 课堂检测固双基 1.DA选项，当a<0,且b<0时不成立；B选项，当a<0时不成 所以士+}：2+2=3++受=3+ y y 立；C选项，当a与b异号时不成立.故选D. 2V3+2 2.Ba=a0,十>√而>·b=b,因此只有B项正确， 2 2 当且仅当兰，即=时，等号成立， y a.c由瓜-+≥2√层得w≥2，当且仅当- 2 解得1-是，=2-1， 时取“=”.故选C. 0=2,故 4.2已知x>0y>0,y=10,则z=+≥2√灯 所以当x=1-号，y=万-1时，+有最小值3+2厄 z最小值=2，当且仅当2y=5x时取等号.又y=10,即x=2,y=5 方法=+-（仕+）1=（任+2x*)= 时等号成立 y.2x=3+25, +2+≥3+2√·y 5.号因为a>0.6>0,所以2a+=3≥2√=当且仅当2a 以下同方法一 6,即a=3 1 6=子时，等号成立，所以号≤号 对点训练2：(1)因为ab=100,且a>0,b>0, 第2课时均值不等式的应用 因此由均值不等式可得a+b≥2√ab=2√100=20， 当且仅当a=b=10时，a+b取到最小值20. 必备知识探新知 (2)因为x>0,y>0,2x+3y=6, 知识点：(1)大(2)小 对应练习 (1)V (2)V(3)×(1)由a+b≥2√ab可知正确. 当且仅当2x=3y, 即=子y=1时取到最大值子 (2)由≤（生） =4可知正确。 (3)因为+号=1，所以+=(+)(+ (3)√不是常数，故错误 关键能力攻重难 =1+9x+y+9=Y+9x+10, y y 例1：(1)-12因为x<0,所以-x>0. 又因为x>0,y>0, 则3x+是-[2+(-3x]s-2√(-3) 所u++0=2任·罗10=16 y -12, 当日仅当兰空，即y=3x时，等号成立 当且仅当2=-3x,即x=-2时，3x+2取得最大值为 1 [y=3x, 得∫4， -12. Lx y x-2=x-2+1 (2)因为x>2,所以x-2>0,所以x+ -2+ -174 22√-222=4 对点训练2：B因为x+2=,则2}+2=1，又 y 所以当且仅当x-2=2>2. 是正数， 即=3时，+2的泉小值为4 所以2x+y=(2+)1=(2x+(}+2）-5++2 2x.2y=9, (3)因为0<x<7,所以1-2x>0, ≥5+2√y1 x 所以分(1-2x)=×2x(1-2x)≤4(2+号2) 当且仅当号-产即=3且y=3时取等号 所以2x+y的最小值为9. 例3：设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为 2160×10_10800 所以当且仅当2x=1-2(0<x<号）， 2000x .每平方米的平均综合费用 即x=时，7宁(1-2)的最大值为6 y=50+48+00-50+4s(+} 对点训练1：(1)因为x<子，所以4x-5<0,5-4>0, 当x+25取最小值时，y有最小值 1 1 所以4-5+3+4x一5=-（5-4r+5-4+3 x>0,x+25≥2 225=30 x Vx· 1 ≤-2√5-4）5-4+3=1 当且仅当x=225 当组仅当5-4=与时等号成立，又5-4>0，所以5-4 即x=15时，上式等号成立. .当x=15时，y有最小值2000元. 1 =1,即x=1时，4x-2+4x-5的最大值是1. 因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少. 对点训练3：(1)设每间虎笼长为xm,宽为ym,则由条件得4x (2)因为x>0,所以x+4≥4，所以2-x-4=2- +6y=36,即2x+3y=18,设每间虎笼面积为Sm2,则S=xy (+是）≤2-4=-2，所以当且仅当x=±(x>0),即x=2 由于2x+3y≥2√2x·3y=2√6xy, 所以2V6y≤18，得y≤乞 27 时，2-兰的最大值是-2 即S≤号，当且仅当2=时，等号成立， 例2：0>07>0，兰+-1， 解得4.5， +2-(经+水2=0+5+g 电收 ly=3, 故每间虎笼长为4.5m,宽为3m时，可使每间虎笼面积最大. =0+2V号g8 (2)方法一：由条件知S=xy=24(m2),设钢筋网总长为l,则1 =4x+6y 8+上=1， 因为2x+3y≥2√2x·3y=2√6=24， x y 当且仅当 即=2， 时，等号成立， 所以1=4x+6y=2(2x+3y）≥48，当且仅当2x=3y时，等号 y=3 x 成立 故当x=12,y=3时，(x+2y）mim=18. 2x=3y 由 解得 x=6, (2):x>0,y>0,且x+2y=1, xy=24 y=4. 故每间虎笼长6m,宽4m时，可使围成四间虎笼的钢筋网总 x y 长最小 =8+161+x+2=10+16y+x≥10+216=18 方法二：由y=24,得x=2 x y x Y 当且仅当6y=七时取等号， x y 所以1=+6-约+6y=6(+y小=6×2=48， 结合x+2y=1,得x=方=6， 21 当且仅当=y,即)=4时，等号成立，此时x=6 小当x=号y=6时，及+取到最小值18 2 故每间虎笼长6m,宽4m时，可使围成四间虎笼的钢筋网总 y : 长最小 -175- 例4：1)D(2)D()由已知a>0,b>0,若不等式号+名≥ +6≥ 因为1+1+b≤（± 中6成立。 所以1+≤2+g+=1+“老， 2 所以m≤（任+公）a+b)恒成立， 所以x≤“生艺，当且仅当a=6时取等号， 转化成求y=(任+方)口+6)的最小值， 2c<00y=-[(-+-2≤-2-2 y=(+a+6)=5+兽+85+2√ 4b.4=9, =-4,当且仅当-=即=-1时取等号，枚选C 当且仅当女=名时取等号，所以m≤9， 3. 3 2 .x>0,y>0,2x+3y=6 (2)因为关于x的一元二次不等式mx2-3x+1<0的解集 1 为(a,b), m>0, 6( 所以0+6=3 3 =m'所以a+b=3ab, 当且仅当2x=3y即x= y=1时等号成立. 灯的最大值为子 所以合+古)1， 4.3 由题设，得 +日音品=3.当aa当5 因为a+46=(a+46)x写（日+名）月 9a=6时等号成立. +驰+)2巴83， 5≥5 x>0 当且仅当a=2b时等号成立，所以(a+4b)m=3, 2 由a+4b≥2+k+3恒成立得3≥k2+k+3, 当且仅当x=1时，取等号 所以2+k≤0，解得-1≤k≤0.所以实数k的取值范围是 2+3x+1 +32+3=号 1—≤1 [-1,0] 5 x 对点训练4：(1)因为关于x的不等式-x2+ax+b≥0的解集为 [-1,2], .a≥5 所以-1和2是方程-x2+ax+b=0的两个实数根，可 得-1+2=a, 章末整合 1-1×2=-b, 素养突破提技能 解得经检验 例1：(1)B(2)C(1)因为1<x<5,2<y<6,所以2<2x< 满足条件，所以a=1,b=2. b=2, b=2 10,-6<-y<-2, (2)由1)知=1 b=2 可得头+2=1， 故2x-y∈(-4,8). x y (2)对于①，由a>b,c>d,得-d>-c, 则2+y=(2+)(+）=4++≥4+ 由不等式的性质知，a-d>b-c,故命题①正确； x y 对于②，由a2x>a2y知，a2>0,由不等式的性质知，x>y,故 2√=8 命题②正确： y b 当子 时，等号成立， 对于③士6名-a0” 若a,b同号，由a-b>0得，6一 因为2x+y≥2+k+6恒成立，所以(2x+y)≥2+k+6,即 a(a-6)>0, 8≥2+k+6,可得2+k-2≤0，解得-2≤k≤1，所以k的取 若a,6异号，南a-6>0得a。万<0，故命感3错误： 值范围为[-2,1]. 课堂检测固双基 对于④，由日<行<0，得6<a<0,则6>6，放命题④ 1.B由题意得，A(1+a)(1+b) 正确. =A(1+x)2,则(1+a)(1+b)=(1+x)2, 例2：(1)由第一个式子可得z=3-3x-y, 176