2.2.4 均值不等式及其应用-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第一册人教B版 2.2.4均值不 学习目标 1.理解均值不等式的代数关系、几何意义. 2.掌握均值不等式的结构特征及其 变形 3.结合具体实例，能用均值不等式解决 简单的最大值或最小值问题，提高数学建模 能力 4.通过均值不等式的证明培养逻辑推理 能力 要点精析 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 a2+b2≥2ab(a,b∈ 当且仅当“=b 重要不等式 R) 时，等号成立 a+b≥Vab (a>0, 当且仅当“ab 均值不等式 b>0) 时，等号成立 给定两个正数a,b,数少称为a,b的 算术平均值，数Vab称为a,b的几何平 均值 均值不等式表明：两个正数的算术平均 值大于或等于它们的几何平均值. 说明：“当且仅当a=b时，等号成立” 是指若a≠6，则+62≠2ab,a≠Va西， 即只能有a+b>2ab,+b>Vab. 2 44)学 等式及其应用 要点1对均值不等式的理解 均值不等式≥Vad(a>0,b>0)的 两个关注点： (1)不等式成立的条件：a,b都是正数. (2)“当且仅当”的含义： ①当b时，地≥Vad的等号成立， 即a=b→a+b=Vab. ②仅当a=b时，4≥Vab的等号成 2 立，即生V而a=b, 例1给出下面三个推导过程： ①.a,be(0,+∞)， +8=282： ②：a∈R,a≠0,4+a≥21 4a=4: ③.x,y∈R,xy<0, ++ ≤-2V=-2 其中正确的推导过程为( A.①② B.②③ C.② D.①③ 反思感悟 使用均值不等式（也称基本不等式） 时一定要注意三个步骤：一正、二定、三 相等，也就是说每项都要大于零，然后通 过加或乘可以有定值出现，最后检验等号 是不是能取到。 B变式训练① 给出下列不等式：①+士=2：2+ ≥2；③若x>0,y>0,x+2y=2,则Vy≤ ,④V43+≥2其中正确的 V2+3 是() A.②④ B.①② C.②③ D.①②④ 例2下列不等式中，不正确的是 ( A.a2+b2≥2lalb1 B.名≥2a6(6￥0) cws生 D.2(a2+b2)≥(a+b)2 分析通过举反例或运用均值不等式 对问题逐个判断，是解决此类问题的基本 方法，注意均值不等式成立的条件. B变式训练② a 12 与0-1(b≠0)的大小关系为 川要点2利用均值不等式证明不等式！ 1.利用均值不等式证明不等式，关键是 所证不等式中必须有“和”式或“积”式， 通过将“和”式转化为“积”式或将“积” 式转化为“和”式，从而达到放缩的效果. 2.注意多次运用均值不等式时等号能否 取到 第二章等式与不等式。 3.解题时要注意经验的积累，当不能直 接利用不等式时，可将原不等式进行组合、 构造，以满足能使用均值不等式的形式 例3(1)已知a,b,c为不全相等的 正实数，求证：a+b+c>Vab+Vbc+Vca. (2)已知a,b,c为正实数，且a+b+c= 1,求证： a-1川-1川21=8 分析(1)左边是和式，右边是带根 号的积式之和，用均值不等式将和变积， 并证得不等式，(2)不等式右边数字为8， 使我们联想到左边因式分别使用均值不等 式，可得三个“2”连乘，又1-1=1-0= a a b+c≥2Vbc,可由此变形入手. 学(45】 小高中数学必修第一册人教B版 B变式训练③ 已知a,b,c,d都是正数，求证：(ab+ cd)(ac+bd)≥4abcd. 川要点3利用均值不等式求最值 1.若是求和式的最小值，通常化（或利 用)积为定值；若是求积的最大值，通常化 (或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变 形、合理拆分项或配凑因式. 2.若多次使用均值不等式，等号成立的 条件应相同. (46)学 例4(1)若x>0,求y=4x+9的最 小值 (2)设0x<号，求函数y=4x(3-2x)的 最大值 (3)已知x>2,求函数y=x+4,的最 x-2 小值 (4)已知x>0,y>0,且1+9=1，求 x Y x+y的最小值， 分析利用均值不等式求最值，当积 或和不是定值时，通过变形使其和或积为 定值，再利用均值不等式求解 B变式训练④ (多选题)下列说法正确的是() A.y=x+1的最小值为2 B.y=+的最小值为2 C当xe(0,1)时，xV1≤ D.2≤V2 x4+2 4 例5若实数x,y满足x>y>0,且xy= 2,求的最大值 分析 代效式中的分子是美于 x,y的一次式，且为二者之差；而分母是 关于x,y的二次式且为三者之和.本题可 用变量替换的方法，将x-y整体看成变量， 即(x+y)2=(x-y)2+4xy. 第二章等式与不等式。 反思感悟 若不能直接使用均值不等式，可考虑 对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之 达到能使用均值不等式的条件， B变式训练⑤ 函数fx)=Yx的最大值为() x+1 A号 B.I 2 c.v2 2 D.1 川要点4利用均值不等式解决实际问题： 解决实际问题时，先弄清题意（审题）， 建立数学模型（列式），再用所掌握的数学 知识解决问题（求解），最后要回应题意下 结论（作答）. 学 47 N 高中数学必修第一册人教B版 例6如图2-2-1，动物园要围成相同 面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的 墙，其他各面用钢筋网围成， 图2-2-1 (1)现有36m长的钢筋网，每间虎笼 的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面 积最大？ (2)若使每间虎笼面积为24m,则每 间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成 四间虎笼的钢筋网总长最小？ 分析设每间虎笼长xm,宽ym,则 问题是在4x+6y=36的前提下求xy的最 大值 48)学 仔变式训练6 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池， 其容积为4800m,深为3m,如果池底每 平方米的造价为150元，池壁每平方米的造 价为120元，问怎样设计水池能使总造价最 低，最低造价是多少元. 数学文化 例1“勾股容方”问题出自我国汉代 数学名著《九章算术》，该问题可以被描述 为：“设一直角三角形（如图1）的两直角 边长分别为a和b,求与该直角三角形具有 公共直角的内接正方形的边长.”数学家刘 徽为《九章算术》作注，在注中他利用出入 相补原理给出了上述问题如图2和图3所示 的解答，则图1中与直角三角形具有公共直 角的内接正方形的边长为 .当内接正 方形的面积为1时，则图3中两个标有“朱” 的三角形和两个标有“青”的三角形的面积 总和的最小值为 必 朱 黄 青 朱 青 图1 图2 图3 图2-2-2 第二章等式与不等式。 分析设内接正方形的边长为x,然 后利用图2和图3的面积相等，列出关于 x的方程，求解即可；由内接正方形的面积 求出内接正方形的边长，然后再利用上面 的结论得到a+b=ab,利用均值不等式求出 ab的取值范围，再将所求的面积之和表示 出来，求解即可得到答案 例2（多选题）若x,y满足x2+y2 xy=1,则( A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 分析已知条件是代数恒等式，结论 是探求x+y与x2+y2的取值范围.解题需要 灵活运用均值不等式以及化归与转化等数 学知识和方法」 学(49】N 高中数学必修第一册人教B版 大于或等于总成本，即25x≥3000420x-0.1x2,即0.12+5x 3000≥0.整理，得x2+50x-30000≥0，解得x≥150或 x≤-200（不合题意，舍去）.故使生产者不亏本的最低 产量是150台.故选C. 例6解：若a=0,则原不等式为-x-1<0,即x>-1,不 合题意，故a≠0. 令y=a2+(a-1)x+a-1, .:原不等式对任意x∈R都成立 .∴.二次函数y=aax2+(a-1)x+-1的图象在x轴的下方， ∴.a<0且△=(a-1)2-4a(a-1)<0, 即/as0, (a-1)(3a+1)>0, 变式训练6A【解析】：“3x∈R,使x2-4x-a-1<0” 不成立台“x∈R,x2-4x-a-1≥0恒成立”，.只需△= 16-4(-a-1)≤0，.a≤-5.故选A. 数学文化 例D【解析】设此方程的解为有序数对(x,y), .x200t2-2y (x,yZ), .x2+(y-1)2=1. 当x2>1或(y-1)1时，等号是不能成立的， .x≤1，(y-1)2≤1， 即-1≤x≤1,0≤y≤2(x,y∈Z) ①当x=-1时，(y-1)2-0,即y=1; ②当=0时，(y-1)2=1,即y=0或y=2; ③当x=1时，(y-1)2-0,即y=1. 综上所述，共有四组解(-1,1)，(0,0)，(0,2)， (1,1). 故选D. 2.2.4均值不等式及其应用 要点精析 例1D【解析】从均值不等式成立的条件考虑. ①.a,bE0,o,b,只∈0，+0)，符合均值不 a’b 等式成立的条件，故①的推导过程正确： ②.aeR,a≠0不符合均值不等式成立的条件， 小台≥2V合日4是错误的： ③由y<0,得x，Y均为负数，但在推导过程中 y:x 将￥+文看成一个整体提出负号后，多，均 变为正数，符合均值不等式成立的条件，故③正确.故 选D. 38 变式训练1C【解析】由于式子x+}≥2中x的取值 范围不确定，故当x<0时，x+1<0,x+1的最小值不 能为2放0不正确：江与月号，日≥2 当且仅当x=1时，等号成立，故②正确；由题意，知 x+2y≥2V2y,即2V2y≤2，Vy≤2，故 ③正确：由于V43+1。≥2，当且仅当V+3 Vx2+3 1一时，取等号，即x2+3=1,即2=-2，方程无解， x2+3 故④不正确.故选C. 例2B【解析】a2+b2=la+lbP≥2lab1,故A正确；由 a+b2≥2b,得d≥2b-,当6<0时，号≤2a-b,放B 错误：由V≤岁，放b≤，放C正确：由 2 a2+b2≥2ab,得2(d2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2,故D正确. 故选B. 变式训练2侣≥会1懈折】会)1尝= 2. b 例3证明(1)：a>0,b>0,c>0, .mb≥2Vab,bhc≥2Vbc,c4a≥2Vca .2(a+b+c)=2(Vab +Vbc +Vca ) 即aHb+c≥Vab+Vbc+Vca. 由于a,b,c为不全相等的正实数，故等号不成立. :a+b+e>Vab +Vbc +Vca. (2).a,b,c为正实数，且a+b+c=1, :1-1=1-0_b+c≥2V6c>0, a a a a 同理}1≥2产0,1≥2应0 b 由上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得 &川-1川日-1≥2c.2.2@=8 b C 当且仅当b=c=}时，等号成立， 变式训练3证明：由a,b,c,d都是正数，得bcd≥ 2 Vab-ca>0,ac+bd≥Vac…bd>0,.(ah+ed)(ac+bd 2 4 ≥abcd,即(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd. 例4解：(1)>0，.由均值不等式，得 y-4+是=2y4g-2V56-2. 当且仅当4？，即x=子时，)=4+2取最小值2. （2)0K.3-20 9=4(3-2x)=2[2x(3-2x)]≤22x+(3-29 22 当且仅当2=3-2，即=子时，取等号. 了的最大值为号 (3).x>2,.x-2>0, +46-2#42≥2V-2高 2+26 当且仅当x-2=4」 x-2 即x=4时，=+4取最小值6. x-2 ④0,0，是+91. y t=-e22=l0+号=102v-16 当且仅当上-9些且1+9=1时，等号成立，即 x Y x Y 4,y=12时，等号成立. .当x=4,y=12时，x+y有最小值16. 变式训练4BCD【解析】对于A,需要条件x>0时， y=+取得最小值为2，故A错误；对于B,当L, 即=1时，4品取得最小值2，故B正确：对于 C,Ve≤40西卫=克，当且仅当x V,即=V2e(0,1)时，等号成立，故C正 2 确：对于D.当0时，名0，当0时，2 1 ≤一 1 径2W27 2军，当里仅当是 x21 即x2=V2时，等号成立，故D正确， 例5解：令，则0，品y48 x-Y s、1 482188当且仅当2V3 参考答案。 时，取到最大值为《2 变式训练5B【解折】将原函数变形为f)Y千 1 Vx+1 ≤子，f)的最大值为}故选B. 1 1/x 例6解：(1)设每间虎笼长为xm,宽为ym,则由 条件，知4x+6y=36,即2x+3y=18. 设每间虎笼面积为S,则S=y: 方法一：由于2x+3y≥2V2x·3y=2V6xy, 2V6y≤18，得≤ 2 即S≤受，当且仅当2x=3y时，等号成立 2x+3=18,解得 =4.5 由 2=3y, =3 故每间虎笼长为4.5m,宽为3m时，可使面积 最大 方法二：2x+3y=18, 5=62)(3)≤石24-8-7.（以下 6(21 6-2 同方法一) (2)由条件，知S=y=24. 设钢筋网总长为L,则l=4x+6y ·.2x+3y≥2V2x3y=2V6xy=24, .1=4x+6y=2(2x+3y)≥48，当且仅当2x=3y时，等号 成立. 2x=3y,解得 x=6, 由 xy=24,1 y=4. 故每间虎笼长6m,宽4m时，可使钢筋网总长 最小. 变式训练6解：设水池底面一边的长度为xm,则另 一边的长度为4800m又设水池总造价为1元，根据题 3x 意，得1=150×4800+1202-3x+2.3.4800 3 3x =240000+ 720+1600≥24000+72021V,60-24000+ 720×2x40=297600.当x=1600,即x=40时，1m=297 600.答：当水池底面边长是40m的正方形时，水池的 总造价最低，最低造价297600元. 数学文化 例1血2【解析】设内接正方形的边长为x,则题 atb 39 N 高中数学必修第一册人教B版 图2的面积为ab,题图3的面积为(a+b)x 题图2和题图3的面积相等，则有ab=(a+b)x, 6,故内接正方形的边长为 解得=a atb .内接正方形的面积为1， .内接正方形的边长x=1,则有a+b=ab. 利用均值不等式，可得a+b=ab≥2Vab,故ab≥4， 当且仅当a=b=2时，取等号. .两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三 角形的面积总和为ab-2≥2. 故题图3中两个标有“朱”的三角形和两个标有 “青”的三角形的面积总和的最小值为2. 第三章 m3.1函数的概念与性质 3.1.1函数及其表示方法 第1课时函数的概念 要点精析 例1(1)D(2)B(3)D【解析】(1)观察图 象可知，选项A,B,C中任取一个x的值，y有可能有 多个值与之对应，..这三项不是函数图象.故选D. (2)①错误.若函数的值域只含有一个元素，则定 义域不一定只含有一个元素.②正确.f(x)=5,这个数 值不随x的变化而变化，∴f(π)=5.③错误.函数是两个 非空数集之间的对应关系.故选B. (3)对于A中的任意一个元素，在对应关系f:x g:厅=4：：一y=7下，在B申都有唯 一的元素与之对应，故能构成函数关系.对于A中的元 素8，在对应关系∫：x→y=x下，在B中没有元素与之 对应，故不能构成函数关系.故选D 变式训练1D【解析】从集合M到集合N能构成函数 关系时，对于集合M={x0≤x≤2}中的每一个x值，在 N=b0≤y≤2}中都有唯一确定的一个y值与之对应.图 象A不满足条件，，当1<x≤2时，N中没有y值与之 对应；图象B不满足条件，·当=2时，N中没有y值 与之对应；图象C不满足条件，对于集合M中的每 一个x∈(0,2]，在集合N中有2个y值与之对应，不满 足函数的定义；只有D中的图象满足对于集合M中的每 一个x值，在N中都有唯一确定的一个Y值与之对应.故 选D. 40 例2BC【解析】由均值不等式，可得y≤ 2 ≤4，+y≥.又 2 2 2 ≥=岁，1≥学y≤2.≤ 2,lx+y川≤2，.选项B和C正确.取x=y=1,满足x2+ -=L,但x+=2,选项A不正确.取=3， 3,y= -写，满是l,但号越项D不正 确.故选BC 函 数 例2解：(1)要使函数解析式有意义，自变量x的取 值必须满足 +1≠0，解得x≤1且x≠-1， 1-x≥0， 即函数的定义域为{xlx≤1且x≠-1. (2)要使函数解析式有意义，自变量x的取值必须 「3-x≥0， 满足 解得x≤3且x≠-5， x-5≠0. 即函数的定义域为{x≤3且x≠-5. 变式训练2(-∞，0)U(0,1]【解析】由 1-x≥0， 解得x≤1且x≠0，函数的定义域为 1-/1-x≠0， (-∞，0)U(0,1]. 例3(1)B(2)③⑤【解析】(1)①错误.函数 f(x)=x°的定义域为{xlx≠0)，函数g(x)=1的定义域 是R,不是同一个函数. ②正确.yf(x),x∈R与yf(x+1),x∈R两函数定 义域相同，对应关系可能相同，所以可能是同一个函数 ③正确.两个函数定义域相同，对应关系完全一致， 是同一个函数 .正确的说法有2个.故选B (2)①定义域不同，fx)的定义域为{xc≠0)，g(x) 的定义域为R ②对应关系不同，f(x)=1 =,g(x)=Vx. ③定义域、对应关系都相同. ④对应关系不同，f(x)=x+3引，g(x)=+3. ⑤fx)=x与g(a)=a定义域都是R,对应法则相同， 故是同一个函数.要注意f代(x)=a表示的是常函数.