2.2.4 第1课时均值不等式-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教B版）

053 A.xx>3或x<-2 5.若a>0,b>0,则不等式-b< <a的解集为 B.{xlx>2或x<-3} C.{xl-2<x<3} D.{x|-3<x<2 夯基提能作业 4.不等式x2-4x+4≤0的解集是 ,x-4x+4 请同学们认真完成练案[14] ≥0的解集是 2.2.4均值不等式及其应用 第1课时均值不等式 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.掌握均值不等式，明确均值不等式成立的条件.（难 1.通过不等式的证明，培养逻辑推理的素养. 点) 2.通过均值不等式形式求简单的最值问题，提升数学 2.会用均值不等式证明一些简单的不等式或比较代数 运算的素养 式的大小.（重点） 必备知识 探新知 知识点1均值不等式（基本不等式） 1.算术平均值与几何平均值 前提 给定两个正数a,b 思考1：均值不等式与 不等式a2+b2≥2ab 结论 数5为ab的 的关系如何？请对此 数√ab称为a,b的几何平均值 进行讨论 提示：(1)在a2+b2≥ 2.均值不等式 2ab中，a,b∈R；在 前提 a,b都是 8约 a+b≥2ab中，a, 结论 b>0. (2)两者都带有等 等号成立的条件 当且仅当 时，等号成立 号，等号成立的条件 几何意义 所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大 从形式上看是一样 P[思考1] 的，但实质不同（范 围不同). ●对应练习 (3)证明的方法都是 下列结论正确的有】 (填序号) 作差比较法 ①对任意a,beR,2+b2≥2ab均成立. (4)都可以用来求 ②若a>0,b>0且a≠b,则a+b>2ab. 最值. ③若a>0.6>0,则6≤( ④a,6同号时，名+公≥2 054 知识点2均值不等式与最值 思考2：应用上述两个 两个正数的积为常数时，它们的和有最 值； 结论时，要注意哪些 两个正数的和为常数时，它们的积有最 值 [思考2] 事项？ 提示：应用上述性质 ●对应练习 时注意三点：(1)各1.已知0<x<1,则x(3-3x)取得最大值时x的值为 项或各因式均为正： B c 0.3 (2)和或积为定值 (3)各项或各因式能 2.设，y为正数，则(x+y)+ +4) 的最小值为 取得相等的值.即 “ A.6 B.9 C.12 D.15 正二定三相等”. 关键能力 攻重难 归纳提升：在均值不 ●题型一 对均值不等式的理解 等式应用过程中要注 意“一正、二定、三相 (1)(多选题)(2026·大连高一检测)若ab>0,则下列不等式中恒成立的有 等” 一正，a,b均为正数 A.a2+b2≥2ab B.a+b≥2√ab 二定，不等式一边为 定值： c(a++日)≥4 +8≥2 三相等，不等式中的 (2)0<a<b"是“√a<a+b"的 2 等号能取到，即a=b 有解 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 归纳提升：利用均值 [归纳提升] 不等式求最值的两种 对点训练 类型和一个关注点 1.下列不等式的推导过程正确的是 (1)两种类型 ①若a+b=p(两个正 ①若1则+士2-2 数a,b的和为定值)， 则当a=b时，积ab有 ②若<0，则+生=-[《-)+（≤-2-）()=4： 最夫值学可以用均 ③若a6eR则+≥2号=2 值不等式a而≤0+b ●题型二利用均值不等式求最值 2 求得. 列2(1)已知m,n>0,且m+n=16,求)m的最大值 ②若ab=S(两个正数 的积为定值)，则当a (2)已知x>3,求)=+，43的最小值： =b时，和a+b有最 小值2S,可以用均 (3)设x>0,y>0,且2x+y=1,求+1的最小值， x Y 值不等式a+b≥ 2√ab求得. (2)一个关注点：不论 哪种情况都要注意等 号取得的条件 ·[归纳提升] ●055 对点训练 2.(1)已知ab=100,且a>0,b>0,求a+b的最小值； (2)已知x>0,y>0,且2x+3y=6,求xy的最大值； )已知0>0，士+号=1求x*y的最小 归纳提升：(1)利用均 值不等式证明不等 ● 题型三利用均值不等式证明不等式 式，关键是所证不等 例3.已知a6,ceR,求证：a++e+62+ca 式中女须有“和”式或 “积”式，通过将 “和“式转化为“积“ 式或将“积”式转化为 “和”式，从而达到放 缩的效果. (2)注意多次运用均 [归纳提升]值不等式时等号能否 )对点训练 取到. 3已知a,6是正数求证2≤，瓜 a b 课堂检测 固双基 1.对于任意a,b∈R,下列不等式一定成立的是( ）3.若实数4,6满足1+2 + =√ab,则ab的最小值为 A≥瓜 B.a+≥2 () c+片≥2 +g2 A.2 B.2 C.22 D.4 2.若a>b>0,则下列不等式成立的是 A.azb>atb>/ab 2 4已知>0，>0，对=10，则：=是+的最小值为 B.a>a+b>√a>b 2 5若a>0,b>0且2a+6=3,则分的最大值为 1 ca>经>6>画 D.a>√ab>a+b>b 夯基提能作业 2 请同学们认真完成练案[15]例3：(1)由题意知一元二次方程a2+4x-3=0的解为x=1,1-<0, x2=b, 4 r1+b=- <0或> a 由根与系数的关系得 1×b=-3 不等式的解集为(-x,-6)儿（口+} a' 解得a=-1,b=3 2.2.4均值不等式及其应用 (2)将a=-1,6=3代入不等式得-2x2≤0，整理得 x-3 第1课时均值不等式 -2s0,化筒得，)-3)≥0 x-3 x-3≠0 故所求解集为必备知识 探新知 {xlx≤1或x>3}. 知识点1：l.算术平均值2.正数√aba=b 对点训练3：(1)D(2)B(1)原不等式等价于(x+1)(2-x)对应练习 ≤0且2-x≠0，所以x≤-1或x>2. ①②③④ 所以原不等式的解集为{xlx≤-1或x>2}.故选D. ! 知识点2：小大 对应练习 、2)因为-2x+2>0,所以由不等式“2>3， 1.B因为0<x<1,则1-x>0, 得x+4>3(x2-2x+2),故选B. 所以(3-3)=3x(1-)≤3[+号D]=子，当且仅当 课堂检测固双基 1.B②④一定是一元二次不等式. x=1-x,即x=2时等号成立 2.B原不等式等价于x2-4x-5>0, 即(x+1)(x-5)>0,解得x<-1或x>5 2B为正数，(+（位+）=1+4+立+5≥9，当日 故原不等式解集为{xx>5或x<-1},故选B. 仅当y=2x时等号成立，故选B. 3.C.…ax2+bx+c=0的两根为-2,3， 关键能力攻重难 -2+3= 例1：(1)ACD(2)A(1)因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0， a' b=-a, 得 所以a2+b≥2ab恒成立，所以A选项符合题意； -2×3=c c=-6a. a 当a<0,b<0时，显然ab>0成立， .'ax2 +bx +ex0 ax2-ax-6a >0, 但是a+b≥2√ad不成立，所以B选项不符合题意； x2-x-6<0, 因为b>0,所以(a+6(6+日)=b+6+2≥ (x-3)(x+2)<0,-2<x<3, 选C 2√ab·6+2=4(当且仅当ab=时取等号，即ab=1 4.{2}Rx2-4x+4≤0， .(x-2)2≤0， 时取等号），所以C选项符合题意； x=2, .x2-4x+4≤0的解集为2}， 丙为0，所以+号2合2（当且仅当台 x2-4x+4≥0的解集为R =g时取等号，即a=b>0或a=b<0时取等号)，所以D 5(-,u(六+）>-6， 选项符合题意， +6>0. (2)若0<a<6,由基本不等式可以得出Vd<“(因为 即l+c>0, a≠6，所以取不到等号)：反之若瓜<“生兰，可得a>0, x(1+bx)>0, 6>0且(V画产<(，化商得a>0,6>0且a: x>0或x<六 >0,即a>0,b>0且a≠b,得不到0<a<b,所以是充分不 又<a 必要条件 对点训练1：②①中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x -a<0 =,即当x=1时x+≥2等号成立，因为>1，所以+ -173 上>2③中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这 即当x=4,y=12时，x+y取得最小值16. 例3：由均值不等式可得 条件 a+b4=(a2)2+(62)2≥2a2b2. 例2：(1)因为m,n>0且m+n=16, 同理：b+c4≥2bc2,c4+a≥2a2c2,所以(a4+6+(b+ 所以击均值不等式可得m≤(-()=64， c4)+(c4+a2)≥2a2b2+2b2c2+2a2c2, 从而a+b+c≥a262+6c2+2a2(当且仅当a2=b2=c2 当且仅当m=n=8时，mn取到最大值64. 时，等号成立) 所以2m的最大值为32. 对点训练3：周为0>06>0所以+古≥2√石>0， (2)因为x>3,所以x-3>0,-3>0, 4 所以21≤，2= 于是)=+3=-3+3+3≥2√-3) 4 1 x-3 1 a+方2√ab +3=7, 2 11≤Vab(当a=b时取“="： 当且仅当x-3=43即x=5时，x)取到最小值7。 (3)方法一：因为x>0,y>0,2x+y=1, 课堂检测固双基 1.DA选项，当a<0,且b<0时不成立；B选项，当a<0时不成 所以士+}：2+2=3++受=3+ y y 立；C选项，当a与b异号时不成立.故选D. 2V3+2 2.Ba=a0,十>√而>·b=b,因此只有B项正确， 2 2 当且仅当兰，即=时，等号成立， y a.c由瓜-+≥2√层得w≥2，当且仅当- 2 解得1-是，=2-1， 时取“=”.故选C. 0=2,故 4.2已知x>0y>0,y=10,则z=+≥2√灯 所以当x=1-号，y=万-1时，+有最小值3+2厄 z最小值=2，当且仅当2y=5x时取等号.又y=10,即x=2,y=5 方法=+-（仕+）1=（任+2x*)= 时等号成立 y.2x=3+25, +2+≥3+2√·y 5.号因为a>0.6>0,所以2a+=3≥2√=当且仅当2a 以下同方法一 6,即a=3 1 6=子时，等号成立，所以号≤号 对点训练2：(1)因为ab=100,且a>0,b>0, 第2课时均值不等式的应用 因此由均值不等式可得a+b≥2√ab=2√100=20， 当且仅当a=b=10时，a+b取到最小值20. 必备知识探新知 (2)因为x>0,y>0,2x+3y=6, 知识点：(1)大(2)小 对应练习 (1)V (2)V(3)×(1)由a+b≥2√ab可知正确. 当且仅当2x=3y, 即=子y=1时取到最大值子 (2)由≤（生） =4可知正确。 (3)因为+号=1，所以+=(+)(+ (3)√不是常数，故错误 关键能力攻重难 =1+9x+y+9=Y+9x+10, y y 例1：(1)-12因为x<0,所以-x>0. 又因为x>0,y>0, 则3x+是-[2+(-3x]s-2√(-3) 所u++0=2任·罗10=16 y -12, 当日仅当兰空，即y=3x时，等号成立 当且仅当2=-3x,即x=-2时，3x+2取得最大值为 1 [y=3x, 得∫4， -12. Lx y x-2=x-2+1 (2)因为x>2,所以x-2>0,所以x+ -2+ -174