2.2.2 不等式的解集-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教B版）

2.2.2不等式的解集 ÷原不等式的解集为≥2或三} 必备知识探新知 (2)原不等式等价于{ lx-21≥2，① 知识点1：所有解交集 lx-21≤4.② 对应练习 由①得x-2≤-2或x-2≥2，.x≤0或x≥4. (1)A 2(-32 由②得-4≤x-2≤4，.∴.-2≤x≤6 (1)原不等式可化为2：+9≥3x+6, ·.原不等式的解集为x1-2≤x≤0或4≤x≤6}： 即x≤3. 对点训练2：(1)：13-2x<9,.12x-31<9..-9<2x-3< (2)由-x+2>0解得x<2, 9,即-6<2x<12. 由2x+1>0解得x>-2 .-3<x<6.∴.原不等式的解集为(-3,6). (2)由4<13x-21<8, 不等式组的解集为它们的交集， 放-7<x<2. 得13-21>4， → I3x-21<8 即解集为-22) 「3x-2<-4或3x-2>4, <-或>2 -8<3x-2<8 知识点2：1.(2){xl-m<x<m}2.(1)1a-bl (2)a+6 2 -2 (3)小于大于 原不等式的解集为(-2，-u(2,号) 对应练习 例3：方法一：Ix+71-Ix-2I可以看成数轴上的动点（坐标为 1.(1)(-0,-2)U(2,+∞)(2)[-1,3](1)由1xl>2, x)到-7对应点的距离与到2对应点的距离的差，先找到 解得x<-2或x>2. 这个差等于3的点，即x=-1.由图易知不等式1x+71- 所以不等式的解集为(-∞，-2)U(2,+∞). 1x-21≤3的解为x≤-1，即x∈(-0，-1]. (2)由lx-11≤2得-2≤x-1≤2，解得-1≤x≤3. 所以不等式的解集为[-1,3]. -7 -1 0 2 2.6-1AB=12-(-4)1=6;线段AB的中点M的坐标为 方法二：令x+7=0,x-2=0得x=-7,x=2. 2-4=-1 2 ①当x<-7时，不等式变为-x-7+x-2≤3，·-9≤3， 成立，.x<-7. 关键能力攻重难 ②当-7≤x≤2时，不等式变为x+7+x-2≤3，即2x≤-2， 例1：(1)由2x+4>9得2x>5 x≤-1.-7≤x≤-1. 所以>多，所以不等式的解集足(3，+∞】 ③当x>2时，不等式变为x+7-x+2≤3，即9≤3，不成 (2)由-4x<2得4x>-2, 立，xe⑦. 所以>子所以不等式的解集足（子+”） ∴原不等式的解集为(-∞，-1] 对点训练3：把原不等式变为1x-1|+1x-21>3+x, (3)由4(2x-1)<3(4x+2),得4x>-10, (1)当x≤1时， 所以x>-子，① 原不等式变为-(x-1)-(x-2)>3+x,解得x<0; (2)当1<x≤2时， “≤。，得17x≤4，所以≤号，② 原不等式变为x-1-(x-2)>3+x,解得x∈⑦； 2 6 (3)当x>2时， ①2取公共部分得- 4 立<x≤7 原不等式变为x-1+x-2>3+x,解得x>6. 所以不等式组的解集足(-号引 综上，原不等式解集为(-∞，0)U(6,+∞ 例4：(1)B(2)B(1)设该点表示的数为x,由题意得Ix 对点训练1：(1)C(2)4(1)不等式8-2x>0的解集是 (-1)1=1x+11=3,所以x=2或-4. （-∞，4)，故选C. 所以在数轴上到-1的点的距离是3的点所表示的数为 (2)由2x+1>3,得x>1,由a-x>1,得x<a-1. -4或2，故选B. 又：不等式组的解集为(1,3)，∴.a-1=3,即a=4. (2)设点C是AB的中点，点A表示的数是-4，点B表示的 例2：(1)15.x-21≥85x-2≥8或5x-2≤-8曰x≥2或x≤ 数是2，则点C表示的数是-4，+2=-1.故选B, 2 6 5 :对点训练4：C因为数轴上点A,B,M表示的数分别是a,2a,9, 171 点M为线段AB的中点，所以24=9， 所以方程22+7x+3=0有两个不等实根x1=-3,:= 2 解得a=6,故选C -2 课堂检测固双基 所以原不等式的解集为>或x<3} 1.B由点P(1-2a,a+3)在第二象限，得 1-2a<0, a+3>0, (2)原不等式可化为(x-5)(x+1)≤0，解得-1≤x≤5， 所以原不等式的解集为{x1-1≤x≤5}. 解得a>0.5,故选B. 对点训练1：(1)原不等式可化为x2-6x+10<0, 2.C解不等式-2x+a≤2，得x≥“，2，从数轴看出它的解集 2 而2-6x+10=(x-3)2+1≥1， 为x1x≥-1，所以92=-1，即a=0.故选C 所以原不等式的解集为. 2 (2)原不等式可化为2x2-3x+2>0, 3.A原不等式同解于x-2<0, 因为4=9-4×2×2=-7<0， 即x<2.故选A. 所以方程2x2-3x+2=0无实根， 43解不等式组得≥1 即不等式组的解集为(2，+0)，从 所以原不等式的解集为R Lx>2, (3)原不等式可化为x2-7x+6<0. 而最小整数解为3. 解方程x2-7x+6=0,得x1=1,2=6. 5(2) 原不等式等价于1x-21>1x-11,则 所以原不等式的解集为{x1<x<6} 例2：原不等式移项得ax2+(a-2)x-2≥0， 1-212>1x-1,解得x<号 化简为(x+1)(ax-2)≥0. 因为a<0, 即原不等式的解集为(-，) 所以+1(-名)0 2.2.3一元二次不等式的解法 当-2<a<0时，名≤s-1: 必备知识探新知 当a=-2时，x=-1; 知识点1：a2+bx+c>0“<”“≥”“≤” 对应练习 当a<-2时，-1≤x≤2 (1)不是，a=0时，不符合一元二次不等式的定义；(2)不是，x 的最高次数为3；(3)、(4)是，符合一元二次不等式的定义； 综上所述，当-2<a<0时，解集为{只≤x≤-} (5)不是，m=0时，为一元一次不等式.m≠0时，含有x,y两 当a=-2时，解集为xlx=-1}: 个未知数；(6)不是，a=0时，x的最高次数不是2；(7)不是， 当a<-2时，解集为{ 因为不是整式不等式， :对点训练2：原不等式可化为(ax+1)(x-1)<0. 知识点2：1.(x1,x3)(-0,x)U(x2,+∞)2.(x-h)2 当a=0时，x<1; >k(x-h)2<k 对应练习 当a>0时，(+x-1)<0, ((-3,)2)R)原不等式可化为x-)水x+3) 所以-1 <x<1; <0,所以-3<x<子，所以原不等式的解集为(-3，) 当a=-1时1；当-1<a<0时，(x+}x-1)>0,所 (2)因为4=(-2)2-4×3×1=4-12=-8<0，所以不等式 以x>-或x<1: 3x2-2x+1>0的解集为R. 知识点3：1.分母 当a<-1时，-。<1，所以>1或<-日 对应练习 C原不等式等价于(x-1)(2x+1)≥0且2x+1≠0， 综上，当a>0时，原不等式的解集足{-。<x<1} 解得x<-7或≥1， 当a=0时，原不等式的解集是{xlx<1};当-1<a<0时，原 所以原不等式的解集为{xx<-之或x≥1小 不等式的解集足{x<1或x>。}当a=-1时，原不等 式的解集是{xIx≠1}：当a<一1时，原不等式的解集 关键能力攻重难 例1：(1)因为4=72-4×2×3=25>0， ! 是{<-或x>} 172046 。易混易错警示 忽略不等式性质成立的条件致错 例4给出下列命题： ①若a<b,c<0,则后<分： ②若ac3>bc3,则a>b: ③若a>b且k∈N,,则a>b; ④若c>a>6>0.则。二。>之。其中正确命题的序号是 错因探究：在使用不等式的性质时，要考虑全面，否则会得出错误的结果，如①中易因没有考虑山<0的 情况，直接由a<6推出日>行从而荆断①正确：③中易忽视a与6的符号，骏认06月为正，即推出> b,造成错误 误区警示：应用不等式的性质时，一定要注意“保序”时的条件，如“非负乘方保序”.还应特别注意“乘负 反序”“同号取倒反序”等情况。 课堂检测 固双基 1.下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是 3.设P=2a(a-2)+3,Q=(a-1)(a-3),a∈R,则有 ( ( A.a-b>0 B.a-b<0 A.P≥Q B.P>Q C.a-b≥0 D.a-b≤0 C.P<Q D.P≤Q 2.已知a,b,c∈R,则下列命题正确的是 )4.若-1<a<B<1,则下列各式中恒成立的是() A.a>b-→ae2>bc2 A.-2<a-B<0 B.-2<a-B<-1 B. →a>b C.-1<a-B<0 D.-1<a-B<1 c.a>611、1 5已知三个不等式：①6>0，②片>号③c>ad以其 “ab<0尸a>6 中两个作条件，余下一个作结论，则可组成 个 ab>0111 D 正确命题 axb a"b 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[12] 2.2.2不等式的解集 素养目标 定方向 学习目标 核心素养 1,了解不等式（组）解集的概念，会求简单的一元一次 1.通过求一元一次不等式（组）的解集，培养数学运算 不等式（组）的解集. 核心素养 2.了解含绝对值不等式的几何意义，能借助数轴解含 2.借助绝对值不等式的解法，提升数学抽象、数学运算 有绝对值的不等式.（重点、难点） 核心素养 3.掌握数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式 3.通过数轴上两点间距离公式及中点坐标公式的学 (重点) 习，培养直观想象核心素养 047 必备知识 探新知 知识点1不等式的解集与不等式组的解集 不等式的 组成的集合称为不等式的解集.构成不等式组的各个不等式的 解集的 称为不等式组的解集。 P[思考] ●对应练习 (1)不等式2x+9≥3(x+2)的解集是 A.(-0,3] B.(-0,-3] C.[3,+0) D.[-3,+∞) 「-x+2>0, (2)不等式组 的解集为 思考：不等式的解与 2x+1>0 解集的区别和联系是 知识点2绝对值不等式 什么？ 1.绝对值不等式的概念及解法 提示：(1)不等式的解 (1)绝对值不等式的定义：含有绝对值的不等式 是指满足这个不等式 (2)绝对值不等式的解集， 的未知数的一个值， 不等式(m>0) 不等式的解集 而不等式的解集是指 lxl<m 满足这个不等式的未 lxl >m {xx>m或x<-m 知数的所有值.不等 式的解是不等式的解 (3)Iax+b1≤c,Iax+b1≥c(c>0)型不等式的解法： ①lax+b1≤c曰-c≤ax+b≤c. 集中的一个 ②lax+b1≥c→ax+b≥c或ax+b≤-c. (2)不等式的解集 2.绝对值不等式的几何意义 须满足两个条件：一 是解集内的裁都是不 (1)数轴上两点之间的距离公式：数轴上两点A(a),B(b)之间的距离AB= 等式的解；二是解集 (2)数轴上两点的中点坐标公式：数轴上两点A(a),B(b)的中点坐标x= 外的数都不是不等式 (3)绝对值不等式的几何意义 的解. 不等式(m>0) 解集的几何意义 lxl <m 数轴上与原点的距离 m的所有数的集合 Ixl >m 数轴上与原点的距离 m的所有数的集合 Ix-bl <m 数轴上与表示b的点的距离小于m的所有数的集合 lx-bl >m 数轴上与表示b的点的距离大于m的所有数的集合 ●对应练习 1.(1)不等式1x1>2的解集为 (2)不等式1x-11≤2的解集为 2.若A,B两点在数轴上的坐标分别为A(2),B(-4),则AB= ,线段AB的中 点M的坐标为 048 关键能力攻重难 ●题型一不等式（组）的解集 例1求下列不等式（组）的解集 4(2x-1)<3(4x+2), (1)2x+4>9;(2)-4x<2;(3) 4x-1_1-5x 2 ≤6 归纳提升：一元一次 不等式（组）的解法 (1)解不等式与解方 程类以，不同之处在 ●[归纳提升] 于系数化为1时，若 不等式两边同时乘 )对点训练 (或除)以一个负数， 1.(1)不等式8-2x>0的解集在数轴上表示正确的是 ( 要改变不等号的 02 46 0246主 0246 0246x 方向 B D (2)解不等式组的方 法是分别解不等式组 (2)已知关于x的不等式组 2x+1>3的解集为1,3)，则a的值为 a-x>1, 中各个不等式，再利 用裁轴求出这些不等 ●题型二绝对值不等式的解法 式解集的公共部分 角度1：|ax+b1≤c与lax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 例 2.解下列不等式： (1)15x-21≥8； 归纳提升：形如ax+bl (2)2≤1x-21≤4. <c,|ax+b|>c(c∈ R)型不等式的解法 (1)当c>0时，1ax +bl<c→-c<ax+b <c; ●[归纳提升] |ax+b1>c→ax+b> 对点训练 c或ax+b<-c. 2.解下列不等式： (2)当c=0时，lax+b1 (1)13-2x1<9; <c无解： (2)4<13x-21<8. |ax+b|>e台ax+b ≠0. (3)当c<0时，1ax +b1<c无解 Iax+bI>c台解集 为R ●049 角度2：lx-al+Ix-b1≥c和lx-al+|x-bl≤c型不等式的解法 例3解不等式1x+71-1:-21≤3. 归纳提升：含有两个绝对值 不等式的解法 1.利用绝对值的几何意义解 不等式 (1)la-b1的几何意义是数 轴上表示a的点与表示b的 点之间的距离. [归纳提升] (2)利用绝对值的几何意义 )对点训练 解决含有两个绝对值的不等 3.解不等式1x-11+12-x|>3+x. 式Ix-al+|x-b|≥c, Ix-al+Ix-bl≤c比较直 观，但只适用于裁据较筒单 的情况 2.用分段讨论法解不等式 (1)令每个绝对值内的代裁 式为零，并求出相应的根. ●题型三数轴上两点间的距离及中点表示 (2)将这些根按从小到大的 例1)在数轴上到-1的点的距离是3的点所表示的数为 (）顺序排列，把实戴集分为若 A.2 B.-4或2 C.-4 D.-2或4 千个区间. (2)在数轴上，点A表示的数是-4，点B表示的数是2，线段AB的中点表 (3)在所分区间内去掉绝对 示的数为 (） 值得若千个不等式，解这些 A.1 B.-1 C.3 D.-3 不等式，求出解集 )对点训练 (4)各个不等式解集的并集 4.数轴上点A,B,M表示的数分别是a,2a,9,点M为线段AB的中点，则a的值是 就是原不等式的解集 () A.3 B.4.5 C.6 D.18 课堂检测 固双基 1.已知点P(1-2a,a+3)在第二象限，则a的取值范围3.不等式lx-21>x-2的解集是 是 ( A.（-0,2) A.（-∞，-3) B.(0.5,+o) B.(-0,+o) C.(-0.5,3) D.(-3,0.5) C.(2,+0) 2.关于x的不等式-2x+a≤2的解集如图所示，那么a D.(-0,2)U(2,+0) 的值是 () 4不等式组-1≥0， {4-2x<0的最小整数解是 -2-101 5.不等式|x-21-Ix-1I>0中x的取值范围为 A.-4 B.-2 C.0 D.2 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[13]