2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教B版）

036 课堂检测 固双基 1.(多选题)若3a=2b,下列各式进行的变形中，正确的 是 D-了-2的解集是{-引 A.3a+1=2b+1 B.3a-1=2b-1 3.(m+n)-2(m-n)的计算结果是 C.9a=4b D.-9=- A.3n +2m B.3n+m 3 C.3n-m D.3n-2m 2.下列方程的解正确的是 )4.方程-3x2-4x+4=0的解集是 A.x-3=1的解集是{-2} 5.因式分解：(a-b)2+11(a-b)+28= B. 2x-2x=6的解集是{-4 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[9] C.3x-4=(x-3)的解集是13 2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.理解一元二次方程的定义，并会求一元二次方程的解集.（重点） 1.通过对一元二次方程的解集及根与系数 2.掌握一元二次方程的根的判别式，并会用其判断根的个数.（重 的关系的学习，培养数学抽象、逻辑推理 点) 的数学素养 3.掌握一元二次方程的根与系数的关系，并会用其求一些关于方 2.通过求一元二次方程的解集，提升数学 程两根的代数式的值.（重点、难点） 运算素养 必备知识探新知 知识点1一元二次方程的定义及其解法 1.一元二次方程的定义：形如a2+bx+c=0的方程为一元二次方程，其中a,b,c 思考1：方程ax2+bx 是 ,且 [思考1] +c=0(a,b,c是常 2.一元二次方程的解法 数)一定是一元二次 直接开 方程吗？ 形如(x-k)2=t(t≥0)的方程，两边 转化为两个一元一次方程 平方法 提示：不一定，a≠0 时为一元二次方程，a 把一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过 化成(x-k)2=t(t≥0)的 配方法 =0,b≠0时为一元 形式，再用 求解 一次方程 元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足b2-4ac≥0，利用求根公式x= 公式法 求解 因式 一元二次方程的一边为0，另一边分解成两个 的乘积，即可化成 分解法 a(x+m)(x+n)=0(a≠0)的形式，即可解得两根为：x,= ,x2= 提醒：求根公式只适用于解一元二次方程，只有确定方程是一元二次方程才能使 用，其使用的限制条件是△=b2-4ac≥0. ●037 ●对应练习 (1)用配方法解方程x2-8x+5=0,将其化为(x+a)2=b的形式，正确的是( A.(x+4)2=11 B.(x+4)2=21 C.(x-8)2=11 D.(x-4)2=11 (2)用公式法解方程6x-8=5x2时，a,b,c的值分别是 ( A5,6,-8 B.5,-6,-8 C.5,-6,8 D.6,5,-8 知识点2一元二次方程根的判别式 式子b2-4ac称为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用△表示， 即△=b2-4ac.当△>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个的实数 思考2：利用一元二次 根；当A=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个 的实数根；当A<0 方程根与系数的关系 时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 实数根. 解题时，需要注意什 ●对应练习 么条件？ (1)方程2x2-5x+3=0的根的情况是 ( 提示：先把方程化为 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 ax2+bx+c=0的形 C.无实数根 D.无法确定 式，然后验证，是否 (2)若关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个实数根，则k的取值范围是 满足a≠0,4=b2 4ac≥0这两个条件， 知识点3一元二次方程的根与系数的关系 同时满足这两个条件 如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是x1,x2,那么1+x2= 才能用根与系戴关系 ,X1·X2= 解題 提醒：(1)如果方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2那么x1+x2=-P,x1·x3 =9 (2)以两个戴x1,x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2-(x1+x2)x+ x1x2=0. P[思考2] ●对应练习 (1)已知一元二次方程的两根分别是4和-5，则这个一元二次方程可以是( A.x2-6x+8=0 B.x2+9x-1=0 C.x2-x-6=0 D.x2+x-20=0 (2)若2和-5为一元二次方程x2+bx-c=0的两根，则b,c的值分别等于 关键能力 攻重难 ●题型一 求一元二次方程的解集 归纳提升：解一元二 次方程时，首先考虑 例 1.用适当的方法求下列方程的解集， 用直接开平方法或因 (1)x2-2x-8=0; 式分解法求解，如果 (2)2x2-7x+6=0: 不能用这两种方法， (3)(x-1)2-2x+2=0. 再考虑用公式法或配 思路探究：根据方程的特征，合理选用配方法、公式法或因式分解法解方程 方法.公式法是解一 元二次方程的通用方 法，可以解所有的 元二次方程 [归纳提升] 0384 归纳提升：1.只有当对点训练 方程是一元二次方程 1.(2026·全国同步练习)求下列方程的解集： 时，才能利用根的判 (1)3x2+8x-3=0; 别式确定宇母的取值 (2)x2+3x-1=0; 范围 (3)(x+4)2=5(x+4); 2.对于一元二次方程 (4)(x-1)2-2(x-1)=15. ax2+bx+c=0(a≠ 0),其根的判别式为 4=b2-4ac. (1)“方程有两个不 相等的实根”的充要 条件是“A>0”: (2)“方程有两个相 ●题型二一元二次方程根的判别式的应用 等的实根”的充要条 件是“4=0”： 2.已知关于x的方程(m+1)x2+2mx+m-3=0有实数根. (3)“方程有两个实 (1)求m的取值范围； 根”的充要条件是 (2)m为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个实数根 “4≥0”： 思路探究：(1)方程的二次项系数为m+1,因此不确定方程是否为一元二次方 （4)“方程没有实 程，需对m+1与0的关系进行讨论 根”的充要条件是 (2)方程有两个相等的实数根，则该方程为一元二次方程，故可利用根的判别式 “△<0”. 进行求解 归纳提升：与一元二 [归纳提升] 次方程两根有关的几 对点训练 个代数式的变形： 2.(2026·江苏省单元测试)方程(x-1)2=t-2(1为常数)的解集为 ( (1)x+x=(x+2xx A.⑦ +x)-2x1x2=（x1+ B.1} 2)2-2x162: C.{1-t-2,1+1-2} (2)1+⊥=+西 D.⑦或1}或{1--2,1+√-2} x12 ●题型三根与系数关系的应用 (3)lx1-x21 3.若x,和x2是一元二次方程2x2+5x-3=0的两根. =√(x1-x2刀 例 (1)求1x1-x21的值； =√(x+为)-4 四冰号的值： (4)3+当= 号+ (3)x+x3. (x1+62)2-2x1x2 X12 (5)(x1-2)2=(x1+ 6)2-4x12 (6)(x1+k)(x2+k) =xx2+k(x1+x2)+ [归纳提升] 039 对点训练 3.已知x1,x2是方程x2-√7x+1=0的两根，则x2+x号= A.2 B.3 C.4 D.5 ●易混易错警示忽略根与系数的关系成立的前提条件致误 例4若是方程：-2+-m-1=0的两个根，且气+5=1-有则m的值为 A.-1或2 B.1或-2 C.-2 D.1 错因探究：因为x1,x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根， 所以x1+x2=2m,x1·x2=m2-m-1. 因为x1+x2=1-x1x2, 所以2m=1-(m2-m-1）, 即m2+m-2=(m+2)(m-1)=0, 解得m1=-2,m2=1.故选B. 纠错：根与系数的关系成立的前提是4=B-4c≥0，方程有两个实数根，=b+公-4 2a ,x2= b -b-B-4ac时，有 「x1+x2= 2a c a 课堂检测 固双基 1.(教材改编题)关于x的一元二次方程x2+8x+g=0 A.6 B.8 有两个不相等的实数根，则9的取值范围是(） C.14 D.16 A.g<16 B.q>16 4.三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2 C.q≤4 D.q≥4 6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长为（) 2.已知关于x的方程x2+x-a=0的一个根为2，则另 A.11 B.13 一个根是 C.11或13 D.12 A.-3 B.-2 5.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-5x+a=0的 C.3 D.6 两个实数根，且x2-号=l0,则a= 3.设x1,2是一元二次方程x2-2x-5=0的两根，则 夯基提能作业 x+x号的值为 ) 请同学们认真完成练案[10] 2.1.3 方程组的解集 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.理解方程组的解集的定义及表示方法.（难点） 1.通过理解方程组的定义，培养数学抽象的素养。 2.掌握用消元法求方程组解集的方法.（重点）》 2.通过求方程组的解集，提升数据分析、数学运算的学 3.会利用方程组知识解决一些简单的实际问题.（重 科素养 点、难点)0,解得x=子或x=-2,所以原方程的解集为{-2，号} 六方程的解集为2，} 5.(a-b+4)(a-b+7)把a-b看作一个整体 (3)原方程可化为(x-1)2-2(x-1)=0. 14 因式分解，得(x-1)(x-1-2)=0..x-1=0或x-3= 17 0.∴.x1=1,x2=3. 因为4+7=1门 ·.方程的解集为{1,3}. 所以，原式=(a-b+4)(a-b+7). 对点训练1：(1)因式分解法：(3x-1)(x+3)=0, .∴.3x-1=0或x+3=0, 2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系 解得x=了或x=-3, 必备知识探新知 知识点1：1.常数a≠02.开平方配方直接开平方法 方程的解集为[-3，} -b±-4ac 一次因式-m-n (2)公式法：4=32-4×1×(-1)=13>0， 2a 对应练习 =-3-3 2 6=3+3 2 (1)D(2)C(1)x2-8x+5=0,x2-8x=-5,x2-8x +16=-5+16,.(x-4)2=11,故选D. 六方程的解奖为3正-可 (2)原方程可化为5x2-6x+8=0,a=5,b=-6,c=8,故 (3)因式分解法：(x+4)[(x+4)-5]=0, 选C. 即(x+4)(x-1)=0,.x+4=0或x-1=0, 知识点2：不相等相等没有 解得x=-4或x=1,∴.方程的解集为：{-4,1} 对应练习 (4)因式分解法：方程化为(x-1)2-2(x-1)-15=0, (1)A(2)(-∞，4](1)4=(-5)2-4×2×3=1>0， .[(x-1)-5][(x-1)+3]=0, .方程2x2-5x+3=0有两个不相等的实数根.故选A. .∴.(x-6)(x+2)=0,.x-6=0或x+2=0, (2)因为一元二次方程x2+4x+k=0有两个实数根，所以△= 解得x=6或x=-2, 16-4k≥0，即k≤4. ∴.方程的解集为-2,6. 知识点3：-名台 例2：(1)关于x的方程(m+1)x2+2mx+m-3=0有实数根，分 对应练习 两种情况讨论： (1)D(2)3,10(1)设所求方程为ax2+bx+c=0(a≠0)， ①当m+1=0,即m=-1时，原方程是一元一次方程，此 则由题意，可得4+(-5)=-女4x(-5)=台即合=1 时方程为-2x-4=0,必有实数根； a ②当m+1≠0，即m≠-1时，原方程是一元二次方程， 合=-20，验证四个选项，只有D项符合条件 因为已知方程有实数根， 所以△=b2-4ac=(2m)2-4×(m+1)×(m-3)=8m+ (2)由一元二次方程根与系数的关系，可得 12≥0， 2+(-5)=-b 12×(-5)=-c 解得63， c=10. 解得m≥- 关键能力攻重难 综上可知，当m≥二时，方程(m+1)t2mx+m-30 例1：(1)方法一：移项，得x2-2x=8.配方，得(x-1)2=9.由此 可得x-1=±3 有实数根 .x1=4,2=-2.方程的解集为-2,4} (2)关于x的方程(m+1)x2+2mx+m-3=0有两个相 方法二：原方程可化为(x-4)(x+2)=0, 等的实数根， x-4=0或x+2=0.x1=4,x2=-2. 「m+1≠0， ∴.方程的解集为{-2,4}. 14=b-4ac=(2m)2-4×(m+1)×(m-3)=8m+12=0, (2)方法一：原方程可化为(x-2)(2x-3)=0, 解得m=-之： 3 x-2=0或2x-3=0.离=2=子 方程为-之-3-号0， 1 方程的解集为2，引 两边同时乘以-2，得x2+6x+9=0,即(x+3)2=0, 方法二：a=2,b=-7,c=6,.4=b2-4ac=1>0. 解得x1=龙=-3. x=b±-c:-》±，即新=2= 对点训练2：D当t-2<0,即t<2时，方程的解集为☑： 2a 2×2 当t-2=0,即t=2时，方程的解集为{1}； -167 当t-2>0,即t>2时，方程的解集为{1-√-2,1+对应练习 t-2} 1.(1)×(2)V(3)×(1)方程1+士=-2是分式方程， 综上知，方程的解集为⑦或{1}或{1-√-2,1+√-2}.故 不是一元一次方程 选D. x=2. rx+y-2z=5, 例3：因为1和x2是一元二次方程2x2+5x-3=0的两根， (2)经代人验证，知y=-3,是方程组{2x-y+z=4,的解. 所以+=-西=-子 5 z=-3 2x+y-3z=10 (3)解方程组消元的方法主要有代入消元法和加减消元法， (1)因为x1-522=x号+x号-2x1x2=(x1+x2)2-4x1x2= r2x+y=7,① (多-4×(）空6=碧所以--子 2.A ①+②得：3x+3y=15,解得x=2,y=3,解 Lx+2y=8,② =(+)尸-25 集为(2,3)}，故选A. (x2)2 3.C 根据题意，得+y=5, --2x-别9+3 l2x-y=4, 31 由代人消元法可求得x=3,y=2,故A∩B=(3,2). (-2)》 9 !4. 「x=-2, 将=3，代人方程组+y=m中 ly=3 ly=-2 [x+y=n (3)x+x号=(x1+2)(x号-xx2+x号)=(x1+x2)[(x1+ )2-31=(-）×[(-)-3×(-2】 得m13, ln=1, 即原方程组化为+=13， x+y=1, 对点训练3：Dx2是方程x2-7x+1=0的两根， 由x+y=1得x=1-y,将x=1-y代入方程x2+y2=13中 无1+2=万，12=1， 可得y2-y-6=0, 所以x号+号=(x1+x2)2-2x2=7-2=5,故选D. 解得y=3或y=-2,将y=3代人x+y=1中得x=-2, 例4：D因为x1,2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根， 所以方程组的另一个解为 「x=-2, y=3. 所以x1+x2=2m,x1·x2=m2-m-1.因为x1+x2=1- 关键能力攻重难 x,所以2m=1-(m2-m-1),即m2+m-2=(m+ 例1：(1)①+②得，x=2,把x=2代入①，得6+2y=7,解得y 2)(m-1)=0,解得m1=-2,m2=1.因为方程x2-2mx 1 +m2-m-1=0有实数根，所以4=（-2m)2-4(m2-m 2' -1)=4m+4≥0，解得m≥-1.所以m=1.故选D. rx=2, 课堂检测固双基 故原方程组的解为{ 1 y=2 1.A根的判别式为4=64-4g>0,解得q<16.故选A. (2)①+②，得5x-z=2,④ 2.A设方程的另一个根为t,根据题意得2+t=-1,解得t=-3, ②-③，得2x+3z=-6,⑤ 即方程的另一个根是-3.故选A. 3.C根据题意得x1+x2=2,x2=-5,所以+x号=(x1+ 联立④⑤ 5x-z=2, 2x+3z=-6 解得∫0， 2=-2, 将x=0,2=-2代 x2)2-2x2=22-2×(-5)=14,故选C. 入③得y=-3. 4.B解方程x2-6x+8=0得x=2或4，所以第三边长为2或 x=0, 4.边长为2,3,6不能构成三角形； 所以原方程组的解为y=-3 而3,4,6能构成三角形， 1z=-2. 所以三角形的周长为3+4+6=13，故选B. 对点训练1：①-③，得2a-2b=8.④ 5头由根与系数的关系得气+=5，=a由号-后=10， ④-②，得-5b=10,所以b=-2. 得(x1+x2)(x1-2)=10.x1+x2=5,.x-2=2, 将b=-2代人②，得a=2. 将a=2,b=-2代人③，得c=-1. 六(-)尸=(1+)2-4x=25-4a=4,解得a=2头 4 a=2, 所以原方程组的解为{b=-2, 2.1.3方程组的解集 Lc=-1. 必备知识探新知 例2：(1)由②，得x=2y+2,③ 知识点：1.交集2.消元法 把③代入①，整理，得8y2+8y=0,即y(y+1)=0.解得y -168