练案9 第二章 2.1.1 等式的性质与方程的解集-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教B版）

练案[9] 第二章 等式与不等式 2.1[2.1.1 等式的性质与方程的解集] A组基础巩固 三、解答题 一、选择题 9.若式子3x2-mx-2因式分解的结果是(3x+2)(x+ 1.已知等式ax=y,下列变形不正确的是 n),试求实数m,n的值. A.x=y B.ax +1=ay+1 C.2ax =2ay D.3-ax=3-ay 2.(多选题)下列属于恒等式的有 A.(a+b)c=ac+bc B.(a+b)(a-b)=a2-b2 C.4x=2024 D.(x-1)2=0 3.(a+b)2+8(a+b)-20分解因式得 A.(a+b+10)(a+b-2) B.(a+b+5)(a+b-4) C.(a+b+2)(a+b-10) D.(a+b+4)(a+b-5) 4.现定义运算“★”：对于任意实数a,b,都有a★b=a2 -2a+b,如3★4=32-2×3+4，若x★3=6，则实数 x的值为 A.3或-1 B.-3或1 C.±23 D.±3 5.关于x的一元二次方程(m-2)x2+x+m2-4=0有 一个根为0，则m的值应为 A.2 B.-2 C.2或-2 D.1 二、填空题 6.已知y=1是方程2-13(m-y)=2y的解，则关于x 的方程m(x-3)-2=m(2x-5)的解集为 7.若实数a,b满足(4a+4b)(4a+4b-2)-8=0,则a +b= 8.小奇设计了一个魔术盒，当任意实数对(a,b)进人其 中时，会得到一个新的实数a2-3b-5,例如把 (1,-2)放入其中，就会得到12-3×(-2)-5=2. 现将实数对(m,3m)放入其中，得到实数5，则m= —117 10.因式分解： 二、填空题 (1)x2+3y+2y2+2x+4y; 4.若x+y=10,y=1,则xy+y3的值是 (2)4y+1-4x2-y2. a b x 2 5.规定一种运算： =ad-bc.例如 =8,运 c d 15 算得5x-2=8,解得x=2.按照这种运算的规定，那 x 2x =5时，x的值为 2 x 三、解答题 6.已知：a,b,c为△ABC的三边长， ! (1)当a2+b2+c2=ab+ac+bc时，试判断△ABC的 形状，并证明你的结论 (2)判断代数式d2-b2+c2-2ac值的符号. B组素养提升 一、选择题 1.多项式mx2-m和多项式x2-2x+1的公因式是 ( A.x-1 B.x+1 C.x2-1 D.(x-1)2 2.分解因式a2+8ab-33b2得 A.(a+11)(a-3)B.(a+11b)(a-3b) C.(a-11b)(a-3b)D.(a-11b)(a+3b) 3.(2026·抚顺高一检测)在边长为a的正方形中挖去 一个边长为b的小正方形(a>b)(如图甲)，将余下 的部分剪接拼成一个长方形（如图乙），根据两个图 形中阴影部分的面积相等，可以验证的等式为( C组创新拓展 b 在实数范围内定义一种运算“⑧”，其规则为a⑧b= 图甲 图乙 a2-b2-5a,则方程(x+2)⑧6=0的所有解的和为 A.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2 () B.a2-b2=(a+b)(a-b) A.-1 B.0 C.(a+b)2=2+2ab+b2 C.1 D.2 D.(a-b)2=a2-2ab+b2 118a≤3与a≤4是“Hxe[1,2],2x2-a≥0”为真命题的不充分 练案[9] 条件，故选A. - 3.ABD△≥0台方程ax2+bx+c=0有实根，A对： !A组 基础巩固 △=0一方程amx2+bx+c=0有实根，B对； 1.Aax=ay,当a≠0时，x=y,故A选项错误，符合题意； △>0→方程a2+bx+c=0有实根，但ax2+bx+c=0有实根ax=ay,.ax+1=ay+1,故B选项正确，不合题意；：ar= 推不出△>0，C错； ay,∴.2ax=2ay,故C选项正确，不合题意；：ax=ay,∴.3-ax △<0台方程a2+bx+c=0无实根，D对，故选ABD, =3-ay,故D选项正确，不合题意.故选A. 4.(-∞，8)因为p:x<8,9:x<a,且9是p的充分而不必要条2.ABA、B属于恒等式；只有当x=506时，等式4x=2024才成 件，所以a<8. 立，只有当x=1时，等式(x-1)2=0才成立，所以C、D不是 5.{ala≥3或a≤-3}因为xeA是x∈B的充分不必要条件， 恒等式.故选AB. 所以A手B, 3.A(a+b)2+8(a+b)-20=[(a+b)-2][(a+b)+10]= 又A={xla<x<a+2},B={xlx<-1或x>3}. (a+b-2)(a+b+10). 因此a+2≤-1或a≥3， 4.A因为对于任意实数a,b,都有a★b=a2-2a+b,所以x★3 所以实数a的取值范围是{ala≥3或a≤-3}. =x2-2x+3,因为x★3=6， ! 6(1)当a=2时， 所以x2-2x+3=6, : 所以x2-2x-3=0, A={2<x<3}B={分<<} 因式分解得(x-3)(x+1)=0,所以x1=-1,x2=3. _91 5.B因为关于x的一元二次方程 (m-2)x2+x+m2-4=0有一个根为0， 所以m2-4=0且m-2≠0，解得m=-2. 6.{0因为y=1是方程2-13(m-y)=2y的解， (2)a2+2>a, 所以2-13(m-1)=2,即m=1. .B={xla<x<a2+2} 所以方程m(x-3)-2=m(2x-5)变为(x-3)-2=2x-5, ①当3a+1>2,即a>写时，4=x2<x<3a+1 解得x=0. 所以方程的解集为0} :q是p的必要条件，A二B. :as2, 7.-2或1设a+6=,则原方程可化为4(4-2)-8=0，整 13a+1≤a2+2 解得时<a≤3,5 2 理，得(2x+1)(x-1)=0 ②当3a+1=2,即a=了时，4=⑦，不符合题意 解得x=宁或x=1,则a+6=-方或1 ③当3a+1<2,即a<号时，A=13a+1<x<2, 8.10或-1因为将实数对(m,3m)放入其中，得到实数5， 所以m2-9m-5=5,解得m=10或-1. 由ACB得s3a+1, 9.:(3x+2)(x+n)=3x2+(3n+2)x+2n=3x2-mx-2, 1a2+2≥2， 「3n+2=-m,「m=1, 解得-方<a<兮 1 12n=-2, n=-1. 综上所述，实数a的取值范围是 10.(1)x2+3xy+2y2+2x+4y =(x+2y)(x+y)+2(x+2y) 【(兮4 =(x+2y)(x+y+2): C组创新拓展 (2)4y+1-4x2-y2 充要条件是xy>0,证明如下： =1-(4x2-4xy+y2) 写>0.又>y则-y>0.所以对 必要性：由 =1-(2x-y)2 =(1+2x-y）(1-2x+y). >0. B组素养提升 充分性：因为x>y,所以y-x<0. 1.Ama2-m=m(x2-1)=m(x+1)(x-1),x2-2x+1=(x 因为y>0,所以1>0， -1)2,∴公因式为x-1,故选A. 2.Ba2+8ab-33b2=(a-3b)(a+11b). 所u号<0，< :3.B题图甲中阴影部分的面积为a2-b2, 综上所述，对于非零实数，当x>y时，<的充要条件 题图乙中阴影部分面积为(a+b)(a-b), 因为两个图形中阴影部分的面积相等， 是y>0. 所以a2-b2=(a+b)(a-b). -199 4.98x3y+xy3=xy(x2+y2)=xy[(x+y)2-2y]. 6.1设另一个根为a. 当x+y=10,xy=1时， 根据题意可得a+2=m,2a=m-1, xy[(x+y)2-2xy]=1×(102-2×1)=98. .a+2=2a+1,.a=1,∴.另一个根为1. 15或-1由题意，得x2 =x2-4x=5, 7.-2-3甲同学看错了p,但没有看错9，乙同学看错了9， 2 x 但没有看错p,所以根据根与系数的关系，得q=（-3)×1= 即x2-4x-5=0,解得x=5或x=-1. -3,p=-(-2+4)=-2 6.(1)△ABC为等边三角形. 8.3一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0有两个不相等的实 证明：因为a2+b2+c2=ab+bc+ac, 数根 所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0, 则4=(2m+3)2-4m>0,解得m>子 所以(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0, 所以a=b,b=c,a=c,所以△ABC为等边三角形， a+B=-2m-3,8=m2, (2)a2-b2+c2-2ac=(a2-2ac+c2)-b2 则+人=+=2m-3=-1, 'a B aB =(a-c)2-62=(a-c+b)(a-c-b) m2 即m2-2m-3=0, =[(a+b)-c][a-(b+c)], 又因为a+b>c,a<b+c, 解得m=3或m=-1,因为m>子， 所以[(a+b)-c][a-(b+c)]<0, 所以只有m=3符合题意.故答案为3. 所以a2-b2+c2-2ac值的符号为负， 9.(1):x2-2(k-3)x+2-4k-1=0有实数根， C组创新拓展 ! ∴.△=4(k-3)2-4(2-4h-1)=42-24k+36-4k2+16k+ C根据题意得(x+2)2-(6)-5(x+2)=0, 4=40-8k≥0， 整理得(x+2)2-5(x+2)-6=0, 解得：k≤5 即(x+2-6)·(x+2+1)=0,即(x-4)(x+3)=0, 即实数k的取值范围为(-∞，5]. 解得x=4或x=-3,因为4-3=1， (2):方程的两实数根分别为x1,x2, 所以方程(x+2)⑧6=0的所有解的和为1. 1+=2(k-3),x1·x2=2-4h-1. 练案[10] ‘x1+行=x1x2+7, .(x1+x2)2-3xx2-7=0, A组基础巩固 .k2-12k+32=0,解得k1=4,k2=8. 1.D两边开平方，得x+3=±5，即x=±5-3，所以x1=-8, 又k≤5∴.k=4. x2=2,所以方程的解集为{-8,2}. 102-2x子-0，移项得2-2x=子， 5 2.C由题意知：△=m2-4m≥0，解得m≥4或m≤0，故选C. ®AB当m三0时，方程化为-4x+50,解得x=子，此时方程 配方得-2x+1=子，即(x-1)2=是 只有一个实数根，A正确；当m=1时，方程化为x2-4x+4= 0,因为4=(-4)2-4×1×4=0， 开方得x-1=士子解得=各4=司 所以此时方程有两个相等的实数根，B正确： ①把x=多代人2-(h+2)x+是=0中， 当m=-1时，方程化为-x2-4x+6=0, 因为4=(-4)2-4×(-1)×6=40>0，所以此时方程有两： 得+2+号-0， 个不相等的实数根，C错误； 当m=2时，方程化为2x2-4x+3=0,因为△=(-4)2-4×2 解得=了 ×3=-8<0,所以此时方程无实数根，D错误故选AB. ②把x=-号代人2-(k+2)x+ 4=0中， 4.B设方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两根为x1,x2,由题意 知，x1+x2=0,即-(a2-2a)=0,解得a=0或a=2, 得(-2+分6+2)+-0， 又.x1x2=a-1≤0，.a≤1.故选B. 解得k=-7. 5.D设关于x的方程x2+2(k+2)x+2=0的两个实数根为 a,6由根与系数的关系得a+6=-2k+2】=-(2k+4). 百k三=或-7时，6-4c=(k+2)2-9都大于0 :关于x的方程x2+2(k+2)x+2=0的两个实数根之和大 综上所述，k的值为-7或号 于-4，..-(2k+4)>-4,.k<0. ;B组素养提升 由4=[2(k+2)]2-4×1·k2=16(k+1)≥0，解得k≥-1,1.D:m,n是关于x的一元二次方程x2-2+-2t+4=0 即k的取值范围是[-1,0).故选D. 的两实数根， —200