2.2.1 不等式及其性质-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教B版）

042 〉对点训练 3.甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地 所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度. ●易混易错警示未对参数分类讨论致误 例 ry mx +1, 4.若方程组 3y2 有解，则m的取值范围是 =1 3 错因探究：消去y可得(3-m2)x2-2mx-4=0,△=4m2+16(3-m2)≥0，即-2≤m≤2时，方程有解. 纠错：消去y所得方程中x2系数含有参数，应分x2系数是否为0，讨论求解. 课堂检测 固双基 1.二元一次方程组+3)7的解集是 倍少180毫升.若过程中水没有溢出，则原本甲、乙 ( y-x=1 两杯内的水量相差 () A.{(1,2)} B.{(1,0) A.80毫升 B.110毫升 C.{(-1,2)} D.{(1,-2)} C.140毫升 D.220毫升 2.下列方程组中是二元二次方程组的有 「x-y=0, @/+=2, 22+y=7, 4.方程组 x2+y=2 的解集是 lx+y=4; ly(x-y)=5; 5.设计一个二元二次方程组，使得这个二元二次方程组 8V可+5=x, ④/-5， (xy-2=y; lx2+y2=5. 的解是=2， =3和代-3试写出符合要求的方程组 y=-2. A.1个B.2个C.3个 D.4个 3.桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些 夯基提能作业 水.先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为 请同学们认真完成练案[11] 原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全 部倒人丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3 2.2 不等式 2.2.1不等式及其性质 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，理解不等 1.借助实际问题表示不等式，提升数学建模素养。 式的概念.（一般) 2.通过两数（式）的大小比较，培养数学运算、逻辑推 2.理解实数比较大小的基本事实，初步学会用作差法 理素养 比较两个实数的大小.（重点） 3.通过综合法、分析法、反证法的证明，提升数学抽象 3.认识并证明不等式的性质及推论，能利用不等式的 逻辑推理能力. 性质证明简单的不等式.（重点、难点） ●043 必备知识探新知 知识点1不等关系与不等式 1.不等式的定义 我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间 的不等关系，含有这些 的式子，称为不等式 2.比较两个实数（代数式）的大小 作差法的理论依据： a-b<0 a-b=0台 a-b>0台 提醒：比较两个实裁a,b的大小，只需确定它们的差a-b与0的大小关系，与差的 具体数值无关.因此，比较两个实数，b的大小，其关健是经过适当变形，能够确认差 a-b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等. ●对应练习 (1)已知t=a+4b,s=a+b2+4,则t和s的大小关系是 A.t>s B.t≥s C.t<s D.t≤s (2)设a,b>0,P=√a+√b,Q=√a+b,则P与Q的大小关系是 A.P≥Q B.P≤Q C.P>Q D.P<Q 知识点2不等式的性质 1.不等式的性质 (1)性质1（可加性）：a>b→ (2)性质2（可乘性）：“> c>0 a>b] (3)性质3（可乘性）： c<0 (4)性质4（传递法）：a>b,b>c→ (5)性质5（对称性）：a>b台 2.不等式性质的推论 思考：利用不等式性 (1)推论1（移项法则）：a+b>c一 质应注意哪些问题？ a>b1 (2)推论2（同向可加性）： 提示：在使用不等式 e>d 性质时，一定要弄清 >b>01 不等式（组）成立的前 (3)推论3（同向同正可乘性）： c>d>0J 提条件.不可强化或 (4)推论4（正数乘方性）：a>b>0→ (nENn>1) 弱化成立的条件.如 (5)推论5（正数开方性）：a>b>0曰→ P[思考] “同向不等式”才可 ●对应练习 相加、“同向且两边 同正的不等式”才可 (1)已知a≥b,可以推出 () 相乘；可乘性中的“℃ A=分 B.ac2≥bc2 c. D.(ac)2≥(bc)2 的特号”等都需要 注意. (2)若a<b<0,则下列结论正确的是 () A.b2>a2 B.a a>6 C.ab b2 D.ac2>be2 044 知识点3证明问题的常用方法 方法 定义 综合法 从 出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法 从要证明的 使它成立的充分条件，直至最后，把要 分析法 证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理 等)为止 首先假设结论的 成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不 反证法 成立.反证法是一种间接证明的方法 提醒：综合法与分析法都是直接证明的方法，反证法是一种间接证明的方法。 (1)综合法中，最重要的推理形式为p一→9，其中p是已知或者已经得出的结论，所以 综合法的实质就是不断寻我女然成立的结论 (2)分析法中，最重要的推理形式是“要证P,只需证明q”,这可以表示为pq,其 中卫是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻我结论成立的充分条件 ●对应练习 1.思考辨析（正确的打“V”,错误的打“×”） (1)综合法是从结论向已知的逆推证法， (） (2)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程.分析法的推理过程实际上 是寻求使结论成立的充分条件的过程。 () (3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a≤b”. () (4)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾， () 2将下面用分标法证明少≥山的步螺补充完整：要证少≥d,只省证。2+公≥ 2ab,也就是证 ,即证 ,由于 显然成立，因此原不 等式成立 关键能力 攻重难 题型一作差法比较大小 归纳提升：比较两个 例 1.已知a,b均为正实数.试利用作差法比较a3+b与ab+ab2的大小 实裁的大小，可以求 出它们的差的符号 作差法比较实数的大 小的一般步骤是作差 →恒等变形→判断差 的符号→下结论.作 ●[归纳提升] 差后变形是比较大小 对点训练 的关健一步，变形的 1,已知x<1,试比较x3-1与2x2-2x的大小 方向是化成几个完全 平方裁和的形式或一 些易判断符号的因式 积的形式 ●045 ●题型二不等式性质的应用 归纳提升：1.利用不 例2(1)（多法圈）(2026·枣庄高一检测)若a6,ceRa<6<0,则下列不等式正确 等式的性质判断命题 真假的关注点 的是 () (1)利用不等式的性 A< B.ab >b2 质判断时，要注意不 C.a(c2+1)<b(c2+1) D.a cxb e 等式成立的条件，不 (2)(2026·滨州高一检测)已知2<a<3,-2<b<-1,则2a-b的取值范围 要弱化条件，尤其是 为 () 不能凭想当然随意捏 造性质。 A.(0,2)B.(2,5) C.(5,8) D.(6,7) (2)解有关不等式的 [归纳提升] 选择题时，也可采用 对点训练 特殊值法进行排除， 2.(1)(2026·济宁高一检测)若a>b>0,c<d<0,则一定有 () 注意取值一定要遵循 A.ac <bd B.ac bd 如下原则：一是满足题 设条件；二是取值要简 (2)(2026·沈阳高一检测)已知a,b∈R且满足 r1≤a+b≤3， 则4a+2b的取值范 单，便于验证计算 -1≤a-b≤1， 围是 2.利用不等式性质求 () 范围的一般思路 A.[0,12] B.[4,10] C.[2,10] D.[2,8] (1)借助性质，转化为 ●题型三不等式的证明 同向不等式相加进行 例3.1)已知a>6>0.c<0求证：台>云 解答 (2)借助所给条件整 (2)已知c>1,证明e-I++I<2c; 体使用，切不可随意 (3)若a3+b3=2,求证：a+b≤2 拆分所给条件. (3)结合不等式的传 递性进行求解 归纳提升：证明不等 式的方法有综合法、 分析法与反证法.综 合法的实质是不断寻 我女然成立的结论： ●[归纳提升] 分析法的实质是不断 )对点训练 寻我结论成立的充分 条件；用反证法证明 3.已知x>0,y>0,且x+y>2,求证：1+x与+2中至少有一个小于2 不等式，其实质是从 否定结论出发，通过 逻辑推理，导出与已 和条件或公理相予盾 的结论，从而肯定原 命题成立 046 。易混易错警示 忽略不等式性质成立的条件致错 例4给出下列命题： ①若a<b,c<0,则后<分： ②若ac3>bc3,则a>b: ③若a>b且k∈N,,则a>b; ④若c>a>6>0.则。二。>之。其中正确命题的序号是 错因探究：在使用不等式的性质时，要考虑全面，否则会得出错误的结果，如①中易因没有考虑山<0的 情况，直接由a<6推出日>行从而荆断①正确：③中易忽视a与6的符号，骏认06月为正，即推出> b,造成错误 误区警示：应用不等式的性质时，一定要注意“保序”时的条件，如“非负乘方保序”.还应特别注意“乘负 反序”“同号取倒反序”等情况。 课堂检测 固双基 1.下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是 3.设P=2a(a-2)+3,Q=(a-1)(a-3),a∈R,则有 ( ( A.a-b>0 B.a-b<0 A.P≥Q B.P>Q C.a-b≥0 D.a-b≤0 C.P<Q D.P≤Q 2.已知a,b,c∈R,则下列命题正确的是 )4.若-1<a<B<1,则下列各式中恒成立的是() A.a>b-→ae2>bc2 A.-2<a-B<0 B.-2<a-B<-1 B. →a>b C.-1<a-B<0 D.-1<a-B<1 c.a>611、1 5已知三个不等式：①6>0，②片>号③c>ad以其 “ab<0尸a>6 中两个作条件，余下一个作结论，则可组成 个 ab>0111 D 正确命题 axb a"b 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[12] 2.2.2不等式的解集 素养目标 定方向 学习目标 核心素养 1,了解不等式（组）解集的概念，会求简单的一元一次 1.通过求一元一次不等式（组）的解集，培养数学运算 不等式（组）的解集. 核心素养 2.了解含绝对值不等式的几何意义，能借助数轴解含 2.借助绝对值不等式的解法，提升数学抽象、数学运算 有绝对值的不等式.（重点、难点） 核心素养 3.掌握数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式 3.通过数轴上两点间距离公式及中点坐标公式的学 (重点) 习，培养直观想象核心素养=0,y2=-1. 例4：[-2,2]消去y可得(3-m2)x2-2mx-4=0, 把y1=0代入③，得x1=2; 当3-m2=0,即m=±√5时，方程有解； 把y2=-1代人③，得x2=0. 当3-m2≠0，△=4m2+16(3-m2)≥0，即m≠±3且 「x1=2,「x2=0, 所以原方程组的解是 -2≤m≤2时方程有解： ly=0,l2=-1. 综上所述，-2≤m≤2. 所以原方程组的解集为(2,0)，(0，-1)} :课堂检测固双基 (2)由方程②因式分解，得(x-3y)(x-y)=0,即x-3y=01.A由加减消元法可求得x=1,y=2,故所求方程组的解集为 或x-y=0. (1,2)}. 所以原方程组可化为两个方程组 「x2+y2=10,「x2+y2=10, 2.B① x+y=2 次数是2，符合二元二次方程组， 或{ x+y=4 Ix-y=0, x-3y=0. 解得原方程组的解为 ② 2x+y=7, 次数是2，符合二元二次方程组， [y(x-y)=5 「1=5,6=-5，=3，心=-3， ③可+5=，+5=x不是整式方程，所以不是二元二 y=5;l2=-√5：ly=1;ly4=-1. Lxy-2=y 所以原方程组的解集为(5，√5)，(-√5，-√5)，(3,1)， 次方程组， (-3,-1). ④/ z=-5 有三个未知数且次数是3，不符合二元二次方程 对点训练2：.方程①是x与2y的和，方程②是x与2y的积， x2+y2=5 .x与2y是方程2-4z-21=0的两个根，解此方程得1= 组，故选B. -3,2=7, 3.B设甲杯中原有水a毫升，乙杯中原有水b毫升，丙杯中原 x=-3, rx=7 有水c毫升， 即X -7或{ {2=-3,即y=子度=- 「a+c-40=2a,① 依题意有{ a+b+c+180=3b,② 所以原方程组的解集为{(-3，子)(，一受)} ②-①，得b-a=110,故选B. 「x-y=0,① 例3：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路分别是x4.{(-2,-2),(1,1)} Lx2+y=2,② km,ykm和zkm, ②+①，得x2+x=2,解得x1=-2,x2=1, x+y+z=70 y rx=12. 把1=-2代入①，得y1=-2, 由题意得2030+40=2.5，解得y=54, 把x2=1代人①，得y2=1, 品+0+希=2.3， z=4, 所以原方程组的解集{(-2，-2)，(1,1)}. 「xy=6, (答案不唯一）由于这两组解都有：xy=2×3= 故从甲地到乙地的过程中，上坡路是12km,平路是54km, (x-y=-1 下坡路是4km 6,x-y=-1, 对点训练3：设甲的速度为每小时x千米，乙的速度为每小时y (答案不唯一). 千米 故可组成方程组为厂y=6, (x-y=-1 ①当甲、乙两人相遇前相距3千米时，得 2.2不等式 3x+3y=30-3, 解得下=4， 30-5x=2(30-5y), y=5. 2.2.1不等式及其性质 ②当甲、乙两人经过3小时相遇后又相距3千米时， 得3r+3y=30+3, 必备知识探新知 30-5x=2(30-5y), 知识点1：1.不等号2.a<ba=ba>b 16 :对应练习 x=3 (1)D(2)C(1):s-t=a+62+4-(a+46)=b2-4b+4 解得 所以甲的速度为每小时4千米，乙的速度为每 17 =(b-2)2≥0，t≤3 y=1 3 ! (2)p=(a+b)2=a+b+2√ab,Q2=(a+b)2=a+b. 小时5千米或甲的速度为每小时5千米，乙的速度为每小时 .…a,b>0,.P2>Q2. 号干米 .P>Q. 知识点2：1.(1)a+c>b+c(2)ac>bc(3)ac<bc -169 (4)a>c(5)b<a2.(1)a>c-b(2)a+c>b+d(3)ac r1≤a+b≤3， 所以4a+2b=3(a+b)+a-b,因为 >bd(4)a>b(5)Wa>6 L-1≤a-b≤1， 可得 对应练习 r3≤3(a+b)≤9 所以2≤4a+2b≤10 (1)B(2)C(1)c2≥0，a≥b,.ac2≥bc2. L-1≤a-b≤1， (2)A选项：a<6<0,则-a>-b>0,所以a>B,故错误：B例3：)因为a>6>0,所议b>0,>0 选项名-各=，因为>6a<6<0,所以 于是a×6>6×即方>口由c<0,得后>后 ab 0,山>0，所以名台放指误：C选速项：a<<0,同乘&得心 (2)要证c-I+√c+1<2C,只需证（√c-1+√c+I)2 >b2,故正确：D选项：若c=0,则ac2=bc2,故错误. <(202, 知识点3：已知条件结论出发逐步寻求否定 即证2c+2c-1<4c,即证√c2-1<c 对应练习 而c>1,即证c2-1<c2.上式明显成立，不等式得证 1.(1)×(2)V(3)V(4)× (3)假设a+b>2,则a>2-b, 2.a2+62-2ab≥0(a-b)2≥0(a-b)2≥0用分析法证明 所以2=a3+63>(2-b)3+63,即2>8-12b+662 口≥山的步骤为：要证兰≥成立，只需证。+6≥ 2 即(b-1)2<0,这是不可能的，所以a+b≤2. 2ab,也就是证d+-2ab≥0，即证(a-b)2≥0.由于(a-对点训练3：假设+x与+y均不小于2，即+≥2，+y≥2，所 y b)2≥0显然成立，所以原不等式成立. 以1+x≥2y,1+y≥2x. 关键能力攻重难 将两式相加得x+y≤2 例1：因为a3+63-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2)=a2(a -b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b). 与已知的x+y>2矛盾，故假设不成立，即1+x与1+Y中至少 x 当a=b时，a-b=0,a3+b3=a2b+ab2; 有一个小于2. 当a≠b时，(a-b)2>0,由已知得a+b>0,所以a3+b3> ab+ab2. 例4：④①当b<0时，>1不成立，故①不正确：②当c<0 b 综上所述，a3+b≥2b+ab2. 时，c2<0,不等式ac3>bc3的两边同时乘以c3,得a<b, 对点训练1：因为(x3-1)-(2x2-2x)=x3-2x2+2x-1=(x3 故②不正确：③当a=1,b=-2,k=2时，命题不成立，故③ -x2)-(2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2 不正确：④a>b>0=-a<-b<0=0<c-a<c-b,同乘 =x-)(x-+1)=(x-[(x-2)广+] 以e-ac-万得0<6 1 万<1，又a>b>0,s c-a 又因为-+子>0x-1<0。 品6>6放③正晚 所x-[(-广+]<0，所以2-1<22-2 课堂检测固双基 1.Ca与b的差是非负数，即a-b≥0，故选C. 例2：(1)BC(2)C(1)取a=-2,b=-1,则a<b<0,但是 2.C当c=0时，A不成立；当c<0时，B不成立；当ab<0时， }=-弓>-1=女A错误：因为a<6,<0,所以心> 1 。>6一品<品即。>。C成立同理可置D不成立，故 62,B正确；因为a<b,c2+1>0,所以a(c2+1)<b(c2+ 选C. 1),C正确；取a=-2,b=-1,c=0,则a<b<0,但是 3.AP-Q=2a(a-2)+3-(a-1)(a-3)=a2≥0， ac=blcl,D错误. 所以P≥Q.故选A. (2)2<a<3,-2<b<-1, 4.A由-1<a<1,-1<B<1,得-1<-B<1. 故4<2a<6,1<-b<2,得5<2a-b<8. .-2<a-B<2,但a<B, 对点训练2：(1)A(2)C(1)因为a>b>0,-c>-d>0,所以 故知-2<a-B<0.故选A -ac>-bd,所以ac<bd,故A正确，B错误； 当a=26=16=-2,d=-1时会=兰=-1，放c.D53将2作等价变形，得台>号6,0 错误。 由ab>0,bc>ad,可得②成立，故①③=②： (2)设4如+26=M(a+6)+B(a-b),可得A+B=4, 解 若山>0，cb24>0则c>ad,放①2③： A-B=2, 若k>ad,c=4>0,则ab>0,故②3→①. A=3, ab 得 B=1, 所以可组成3个正确命题， -170