2.1.3 方程组的解集-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教B版）

当t-2>0,即t>2时，方程的解集为{1-√-2,1+对应练习 t-2} 1.(1)×(2)V(3)×(1)方程1+士=-2是分式方程， 综上知，方程的解集为⑦或{1}或{1-√-2,1+√-2}.故 不是一元一次方程 选D. x=2. rx+y-2z=5, 例3：因为1和x2是一元二次方程2x2+5x-3=0的两根， (2)经代人验证，知y=-3,是方程组{2x-y+z=4,的解. 所以+=-西=-子 5 z=-3 2x+y-3z=10 (3)解方程组消元的方法主要有代入消元法和加减消元法， (1)因为x1-522=x号+x号-2x1x2=(x1+x2)2-4x1x2= r2x+y=7,① (多-4×(）空6=碧所以--子 2.A ①+②得：3x+3y=15,解得x=2,y=3,解 Lx+2y=8,② =(+)尸-25 集为(2,3)}，故选A. (x2)2 3.C 根据题意，得+y=5, --2x-别9+3 l2x-y=4, 31 由代人消元法可求得x=3,y=2,故A∩B=(3,2). (-2)》 9 !4. 「x=-2, 将=3，代人方程组+y=m中 ly=3 ly=-2 [x+y=n (3)x+x号=(x1+2)(x号-xx2+x号)=(x1+x2)[(x1+ )2-31=(-）×[(-)-3×(-2】 得m13, ln=1, 即原方程组化为+=13， x+y=1, 对点训练3：Dx2是方程x2-7x+1=0的两根， 由x+y=1得x=1-y,将x=1-y代入方程x2+y2=13中 无1+2=万，12=1， 可得y2-y-6=0, 所以x号+号=(x1+x2)2-2x2=7-2=5,故选D. 解得y=3或y=-2,将y=3代人x+y=1中得x=-2, 例4：D因为x1,2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根， 所以方程组的另一个解为 「x=-2, y=3. 所以x1+x2=2m,x1·x2=m2-m-1.因为x1+x2=1- 关键能力攻重难 x,所以2m=1-(m2-m-1),即m2+m-2=(m+ 例1：(1)①+②得，x=2,把x=2代入①，得6+2y=7,解得y 2)(m-1)=0,解得m1=-2,m2=1.因为方程x2-2mx 1 +m2-m-1=0有实数根，所以4=（-2m)2-4(m2-m 2' -1)=4m+4≥0，解得m≥-1.所以m=1.故选D. rx=2, 课堂检测固双基 故原方程组的解为{ 1 y=2 1.A根的判别式为4=64-4g>0,解得q<16.故选A. (2)①+②，得5x-z=2,④ 2.A设方程的另一个根为t,根据题意得2+t=-1,解得t=-3, ②-③，得2x+3z=-6,⑤ 即方程的另一个根是-3.故选A. 3.C根据题意得x1+x2=2,x2=-5,所以+x号=(x1+ 联立④⑤ 5x-z=2, 2x+3z=-6 解得∫0， 2=-2, 将x=0,2=-2代 x2)2-2x2=22-2×(-5)=14,故选C. 入③得y=-3. 4.B解方程x2-6x+8=0得x=2或4，所以第三边长为2或 x=0, 4.边长为2,3,6不能构成三角形； 所以原方程组的解为y=-3 而3,4,6能构成三角形， 1z=-2. 所以三角形的周长为3+4+6=13，故选B. 对点训练1：①-③，得2a-2b=8.④ 5头由根与系数的关系得气+=5，=a由号-后=10， ④-②，得-5b=10,所以b=-2. 得(x1+x2)(x1-2)=10.x1+x2=5,.x-2=2, 将b=-2代人②，得a=2. 将a=2,b=-2代人③，得c=-1. 六(-)尸=(1+)2-4x=25-4a=4,解得a=2头 4 a=2, 所以原方程组的解为{b=-2, 2.1.3方程组的解集 Lc=-1. 必备知识探新知 例2：(1)由②，得x=2y+2,③ 知识点：1.交集2.消元法 把③代入①，整理，得8y2+8y=0,即y(y+1)=0.解得y -168 =0,y2=-1. 例4：[-2,2]消去y可得(3-m2)x2-2mx-4=0, 把y1=0代入③，得x1=2; 当3-m2=0,即m=±√5时，方程有解； 把y2=-1代人③，得x2=0. 当3-m2≠0，△=4m2+16(3-m2)≥0，即m≠±3且 「x1=2,「x2=0, 所以原方程组的解是 -2≤m≤2时方程有解： ly=0,l2=-1. 综上所述，-2≤m≤2. 所以原方程组的解集为(2,0)，(0，-1)} :课堂检测固双基 (2)由方程②因式分解，得(x-3y)(x-y)=0,即x-3y=01.A由加减消元法可求得x=1,y=2,故所求方程组的解集为 或x-y=0. (1,2)}. 所以原方程组可化为两个方程组 「x2+y2=10,「x2+y2=10, 2.B① x+y=2 次数是2，符合二元二次方程组， 或{ x+y=4 Ix-y=0, x-3y=0. 解得原方程组的解为 ② 2x+y=7, 次数是2，符合二元二次方程组， [y(x-y)=5 「1=5,6=-5，=3，心=-3， ③可+5=，+5=x不是整式方程，所以不是二元二 y=5;l2=-√5：ly=1;ly4=-1. Lxy-2=y 所以原方程组的解集为(5，√5)，(-√5，-√5)，(3,1)， 次方程组， (-3,-1). ④/ z=-5 有三个未知数且次数是3，不符合二元二次方程 对点训练2：.方程①是x与2y的和，方程②是x与2y的积， x2+y2=5 .x与2y是方程2-4z-21=0的两个根，解此方程得1= 组，故选B. -3,2=7, 3.B设甲杯中原有水a毫升，乙杯中原有水b毫升，丙杯中原 x=-3, rx=7 有水c毫升， 即X -7或{ {2=-3,即y=子度=- 「a+c-40=2a,① 依题意有{ a+b+c+180=3b,② 所以原方程组的解集为{(-3，子)(，一受)} ②-①，得b-a=110,故选B. 「x-y=0,① 例3：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路分别是x4.{(-2,-2),(1,1)} Lx2+y=2,② km,ykm和zkm, ②+①，得x2+x=2,解得x1=-2,x2=1, x+y+z=70 y rx=12. 把1=-2代入①，得y1=-2, 由题意得2030+40=2.5，解得y=54, 把x2=1代人①，得y2=1, 品+0+希=2.3， z=4, 所以原方程组的解集{(-2，-2)，(1,1)}. 「xy=6, (答案不唯一）由于这两组解都有：xy=2×3= 故从甲地到乙地的过程中，上坡路是12km,平路是54km, (x-y=-1 下坡路是4km 6,x-y=-1, 对点训练3：设甲的速度为每小时x千米，乙的速度为每小时y (答案不唯一). 千米 故可组成方程组为厂y=6, (x-y=-1 ①当甲、乙两人相遇前相距3千米时，得 2.2不等式 3x+3y=30-3, 解得下=4， 30-5x=2(30-5y), y=5. 2.2.1不等式及其性质 ②当甲、乙两人经过3小时相遇后又相距3千米时， 得3r+3y=30+3, 必备知识探新知 30-5x=2(30-5y), 知识点1：1.不等号2.a<ba=ba>b 16 :对应练习 x=3 (1)D(2)C(1):s-t=a+62+4-(a+46)=b2-4b+4 解得 所以甲的速度为每小时4千米，乙的速度为每 17 =(b-2)2≥0，t≤3 y=1 3 ! (2)p=(a+b)2=a+b+2√ab,Q2=(a+b)2=a+b. 小时5千米或甲的速度为每小时5千米，乙的速度为每小时 .…a,b>0,.P2>Q2. 号干米 .P>Q. 知识点2：1.(1)a+c>b+c(2)ac>bc(3)ac<bc -169039 对点训练 3.已知x1,x2是方程x2-√7x+1=0的两根，则x2+x号= A.2 B.3 C.4 D.5 ●易混易错警示忽略根与系数的关系成立的前提条件致误 例4若是方程：-2+-m-1=0的两个根，且气+5=1-有则m的值为 A.-1或2 B.1或-2 C.-2 D.1 错因探究：因为x1,x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根， 所以x1+x2=2m,x1·x2=m2-m-1. 因为x1+x2=1-x1x2, 所以2m=1-(m2-m-1）, 即m2+m-2=(m+2)(m-1)=0, 解得m1=-2,m2=1.故选B. 纠错：根与系数的关系成立的前提是4=B-4c≥0，方程有两个实数根，=b+公-4 2a ,x2= b -b-B-4ac时，有 「x1+x2= 2a c a 课堂检测 固双基 1.(教材改编题)关于x的一元二次方程x2+8x+g=0 A.6 B.8 有两个不相等的实数根，则9的取值范围是(） C.14 D.16 A.g<16 B.q>16 4.三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2 C.q≤4 D.q≥4 6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长为（) 2.已知关于x的方程x2+x-a=0的一个根为2，则另 A.11 B.13 一个根是 C.11或13 D.12 A.-3 B.-2 5.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-5x+a=0的 C.3 D.6 两个实数根，且x2-号=l0,则a= 3.设x1,2是一元二次方程x2-2x-5=0的两根，则 夯基提能作业 x+x号的值为 ) 请同学们认真完成练案[10] 2.1.3 方程组的解集 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.理解方程组的解集的定义及表示方法.（难点） 1.通过理解方程组的定义，培养数学抽象的素养。 2.掌握用消元法求方程组解集的方法.（重点）》 2.通过求方程组的解集，提升数据分析、数学运算的学 3.会利用方程组知识解决一些简单的实际问题.（重 科素养 点、难点) 040 必备知识探新知 知识点方程组的解集与其解法 1.方程组的解集 般地，将多个方程联立，就能得到方程组.方程组中，由每个方程的解集得到的 称为这个方程组的解集 2.方程组的解法 求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是 P[思考] 提醒：1.代入消元法：把二元一（二）次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个 未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一（二）次方 程组的解； 思考：常用的消元法 2.加减消元法：当二元一（二）次方程组的两个方程中同一个未知裁的系裁相反或 有哪几种？ 相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知裁，得到一个一元一 提示：解方程组时常 (二)次方程 用的消元法有代入消 元法和加减消元法. ●对应练习 代入消元时一般需要 1.思考辨析（正确的打“V”,错误的打“×”） 把原式化简一下再代 (1)方程1+1=-2是一元一次方程 入：加减消元时，也 需要把原方程组中的 rx=2, rx+y-2z=5, 某一个或某些个转化 (2)y=-3,是方程组{2x-y+z=4,的解. 后再进行加减消元 z=-3 2x+y-3z=10 (3)解方程组时要用代入消元法把未知数逐渐变少. 2.二元一次方程组 2x+y=7,的解集为 [x+2y=8 A.{(2,3) B.(3,2){ C.{(-2,3)} D.{(-2,-3)} 3.已知A={(x,y)1x+y=5},B={(x,y)I2x-y=4},则A∩B= A.{(1,4) B.(2,3)} C.{(3,2) D.{(4,1)} 4.已知心=3， -2是方程组 心+y=m,的一个解，则此方程组的另一个解为 lx +y =n 关键能力攻重难 归纳提升：(1)解二元 ●题型一 解二元（三元）一次方程组 一次方程组时，用加 减（或代入）消元法 例 1.解方程组： 消去一个未知裁，再 (1) f3x+2y=7,① r2x+y-3z=3,① 求解 6x-2y=11( 2)3x-y+2=1,2 lx-v-z=5. (2)解三元一次方程组 ③ 时，通常通过加减消元 法，化三元为二元或通 过代入法，将三元一次 方程变为二元一次方程 的求解问題 ·[归纳提升] ●041 对点训练 3a-b+c=7,① 1.解方程组： 2a+3b=-2,② a+b+c=-1.③ 归纳提升：二元二次方程 组的解法 求二元二次方程组解集 的基本思想是消元和降 次，消元就是化二元为 ●题型二二元二次方程组的解法 一元，降次就是把二次 降为一次，因此可以通 例2(1)解方程组 2+4y2-4=0,① 过消元和降次把二元二 -2y-2=0. ② 次方程组转化为二元一 x2+y2=10, ① (2)解方程组 次方程组、一元二次方 x2-4y+3y2=0.② 程甚至一元一次方程 [归纳提升] 》对点训练 归纳提升：列方程组解应 用题的一般步骤 2.求方程组 x+2y=4,① 2y=-212的解集。 认真审题分清通中的已知 审量、未知量并明确它们之 :间的等量关系 设洽当地液未知载 向旅据面中的等受关泰列出 方程组 扇解方程组求出未知表的值 检验所求得的未知数的值是 寄写出结论 ●题型三方程组的实际应用 例3英为车在相距0的甲，乙两地往返行驶，行驶中有一披度均匀的小山.该 汽车从甲地到乙地需要2.5h,从乙地到甲地需要2.3h.假设该汽车在平路、 上坡路、下坡路的行驶过程中时速分别是30km,20km,40km,则从甲地到乙 地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？ 思路探究：题中有三个等量关系：(1)上坡路长度+平路长度+下坡路长度= 70km;(2)从甲地到乙地的过程中，上坡时间+平路时间+下坡时间=2.5 h;(3)从乙地到甲地的过程中，上坡时间+平路时间+下坡时间=2.3h. ●[归纳提升] 提醒：(1)一般来说，设几个未知裁就应列出几个方程.(2)设未知数及写结论 时，都要写清单位名称 042 〉对点训练 3.甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地 所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度. ●易混易错警示未对参数分类讨论致误 例 ry mx +1, 4.若方程组 3y2 有解，则m的取值范围是 =1 3 错因探究：消去y可得(3-m2)x2-2mx-4=0,△=4m2+16(3-m2)≥0，即-2≤m≤2时，方程有解. 纠错：消去y所得方程中x2系数含有参数，应分x2系数是否为0，讨论求解. 课堂检测 固双基 1.二元一次方程组+3)7的解集是 倍少180毫升.若过程中水没有溢出，则原本甲、乙 ( y-x=1 两杯内的水量相差 () A.{(1,2)} B.{(1,0) A.80毫升 B.110毫升 C.{(-1,2)} D.{(1,-2)} C.140毫升 D.220毫升 2.下列方程组中是二元二次方程组的有 「x-y=0, @/+=2, 22+y=7, 4.方程组 x2+y=2 的解集是 lx+y=4; ly(x-y)=5; 5.设计一个二元二次方程组，使得这个二元二次方程组 8V可+5=x, ④/-5， (xy-2=y; lx2+y2=5. 的解是=2， =3和代-3试写出符合要求的方程组 y=-2. A.1个B.2个C.3个 D.4个 3.桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些 夯基提能作业 水.先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为 请同学们认真完成练案[11] 原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全 部倒人丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3 2.2 不等式 2.2.1不等式及其性质 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，理解不等 1.借助实际问题表示不等式，提升数学建模素养。 式的概念.（一般) 2.通过两数（式）的大小比较，培养数学运算、逻辑推 2.理解实数比较大小的基本事实，初步学会用作差法 理素养 比较两个实数的大小.（重点） 3.通过综合法、分析法、反证法的证明，提升数学抽象 3.认识并证明不等式的性质及推论，能利用不等式的 逻辑推理能力. 性质证明简单的不等式.（重点、难点）