2.2.2 不等式的解集-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

046 ● 易混易错警示 忽略不等式性质成立的条件致错 例4给出下列命题： ①若a<b,e<0,则合<分： ②若ac3>bc-3,则a>b: ③若a>b且keN,,则a>b; ④若c>0>6>0,则”。>其中正确命题的序号是 错因探究：在使用不等式的性质时，要考虑全面，否则会得出错误的结果，如①中易因没有考虑山<0的 特况，点接南0<接出日>行从而刺断①正确：③中号忽视a与6的符号，骏认0,6同为正，即接出> b,造成错误。 误区警示：应用不等式的性质时，一定要注意“保序”时的条件，如“非负乘方保序”.还应特别注意“乘负 反序”“同号取倒反序”等情况。 课堂检测 固双基 1.下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是 3.设P=2a(a-2)+3,Q=(a-1)(a-3),a∈R,则有 ( A.a-b>0 B.a-b<0 A.P≥Q B.P>Q C.a-b≥0 D.a-b≤0 C.P<Q D.P≤Q 2.已知a,b,ceR,则下列命题正确的是 )4.若-1<a<B<1,则下列各式中恒成立的是() A.a>b-→ac2>bc2 A.-2<a-B<0 B.-2<a-B<-1 B. c →a>b C.-1<a-B<0 D.-1<a-B<1 c.0>611、1 5.已知三个不等式：①6>0，②后>号，③c>ad以其 “ab<0尸a>6 中两个作条件，余下一个作结论，则可组成 个 ab>01.1、1 D 正确命题 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[12] 2.2.2 不等式的解集 素养目标 定方向 学习目标 核心素养 1.了解不等式（组）解集的概念，会求简单的一元一次1.通过求一元一次不等式（组）的解集，培养数学运算 不等式（组）的解集。 核心素养 2.了解含绝对值不等式的几何意义，能借助数轴解含 2.借助绝对值不等式的解法，提升数学抽象、数学运算 有绝对值的不等式.（重点、难点） 核心素养 3.掌握数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式 3.通过数轴上两点间距离公式及中点坐标公式的学 (重点) 习，培养直观想象核心素养。 047 必备知识探新知 知识点1不等式的解集与不等式组的解集 不等式的 组成的集合称为不等式的解集，构成不等式组的各个不等式的 解集的 称为不等式组的解集， P[思考] ●对应练习 (1)不等式2x+9≥3(x+2)的解集是 A.(-0,3] B.（-0,-3] C.[3,+o) D.[-3,+∞) r-x+2>0, (2)不等式组 的解集为 思考：不等式的解与 2x+1>0 解集的区别和联系是 知识点2绝对值不等式 什么？ 1.绝对值不等式的概念及解法 提示：(1)不等式的解 (1)绝对值不等式的定义：含有绝对值的不等式 是指满足这个不等式 (2)绝对值不等式的解集， 的未知数的一个值， 不等式(m>0) 不等式的解集 而不等式的解集是指 lxl <m 满足这个不等式的未 lxl>m {xx>m或x<-m 知数的所有值。不等 式的解是不等式的解 (3)lax+b1≤c,Iax+bl≥c(c>0)型不等式的解法： ①lax+bl≤c曰-c≤ar+b≤c. 集中的一个 (2)不等式的解集 ②1ax+b|≥cax+b≥c或ax+b≤-c 2.绝对值不等式的几何意义 须满足两个条件：一 是解集内的裁都是不 (1)数轴上两点之间的距离公式：数轴上两点A(a),B(b)之间的距离AB= 等式的解：二是解集 (2)数轴上两点的中点坐标公式：数轴上两点A(a),B(b)的中点坐标x= 外的裁都不是不等式 (3)绝对值不等式的几何意义 的解。 不等式(m>0) 解集的几何意义 Ixl <m 数轴上与原点的距离 m的所有数的集合 Ixl >m 数轴上与原点的距离 m的所有数的集合 Ix-bl<m 数轴上与表示b的点的距离小于m的所有数的集合 lx-bl >m 数轴上与表示b的点的距离大于m的所有数的集合 ●对应练习 1.(1)不等式Ix1>2的解集为 (2)不等式1x-1|≤2的解集为 2.若A,B两点在数轴上的坐标分别为A(2),B(-4),则AB= ,线段AB的中 点M的坐标为 048 关键能力攻重难 ●题型一不等式（组）的解集 例1求下列不等式（组）的解集 4(2x-1)<3(4x+2), (1)2x+4>9;(2)-4x<2;(3) 4x-1_1-5x 2 ≤6 归纳提升：一元一次 不等式（组）的解法 (1)解不等式与解方 程类似，不同之处在 [归纳提升] 于系数化为1时，若 不等式两边同时乘 )对点训练 1.(1)不等式8-2x>0的解集在数轴上表示正确的是 ( (或除)以一个负数， 要改变不等号的 ，。 02 46 0246主 0246 0246x 方向. D (2)解不等式组的方 2x+1>3, 法是分别解不等式组 (2)已知关于x的不等式组 的解集为(1,3)，则a的值为 a-x>1, 中各个不等式，再利 用裁轴求出这些不等 ●题型二绝对值不等式的解法 式解集的公共部分 角度1：|ax+b1≤c与1ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 例2解下列不等式： (1)15x-21≥8； 归纳提升：形如ax+b (2)2≤1x-21≤4. <c,|ax+b|>c(c∈ R)型不等式的解法 (1)当c>0时，|ax +bl<c→-c<ax+b <c; [归纳提升] Iax+bl>c台ax+b> 对点训练 c或ax+b<-c. 2.解下列不等式： (2)当c=0时，lax+b1 (1)I3-2x1<9: <c无解： (2)4<13x-21<8. Iax+b1>c台ax+b ≠0. (3)当c<0时，1ax +b1<c无解 1ax+bI>c台解集 为R 049 角度2：lx-al+Ix-b1≥c和lx-al+|x-b≤c型不等式的解法 例3解不等武x+71-1x-21≤3. 归纳提升：含有两个绝对值 不等式的解法 1.利用绝对值的几何意义解 不等式 (1)1a-b1的几何意义是数 轴上表示a的点与表示b的 点之间的距离 [归纳提升] (2)利用绝对值的几何意义 》对点训练 解决含有两个绝对值的不等 3.解不等式1x-11+12-x|>3+x. 式Ix-al+|x-b|≥c, |x-al+lx-b|≤c比较直 观，但只适用于戴据较简单 的情况 2.用分段讨论法解不等式 (1)令每个绝对值内的代裁 式为零，并求出相应的根. ○题型三数轴上两点间的距离及中点表示 (2)将这些根按从小到大的 例1)在数轴上到-1的点的距离是3的点所表示的数为 ()顺序排列，把实裁集分为若 A.2 B.-4或2 C.-4 D.-2或4 千个区间. (2)在数轴上，点A表示的数是-4，点B表示的数是2，线段AB的中点表 (3)在所分区间内去掉绝对 示的数为 (）值得若千个不等式，解这些 A.1 B.-1 C.3 D.-3 不等式，求出解集 )对点训练 (4)各个不等式解集的并集 4.数轴上点A,B,M表示的数分别是a,2a,9,点M为线段AB的中点，则a的值是 就是原不等式的解集 () A.3 B.4.5 C.6 D.18 课堂检测 固双基 1.已知点P(1-2a,a+3)在第二象限，则a的取值范围3.不等式1x-21>x-2的解集是 是 ( A.(-0,2) A.（-∞，-3) B.(0.5,+o) B.(-0,+o) C.(-0.5,3) D.(-3,0.5) C.(2,+∞) 2.关于x的不等式-2x+a≤2的解集如图所示，那么a D.(-∞，2)U(2,+∞) 的值是 () 4不等式组-1≥0， {4-2<0的最小整数解是 -2-101 5.不等式1x-21-1x-1|>0中x的取值范围为 A.-4 B.-2 c.0 D.2 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[13]又d>0,两边同除以d得，去≤ 先称得的黄金的实际质量为x,后称得的黄金的实际质量 d 为y, 方法=：--a+bdc+db_4-9 bd bd 由杠杆的平衡原理：bx=a×6,ay=b×6, 因为bc-ad≥0，所以ad-bc≤0， 解得会y兽 a 又6d>0,所以4≤0，即≤ d 则+y-g+0 B组素养提升 下面用作差法比较x+y与12的大小， 1.Ac-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0，所以c≥b,已知两式作差 得2站=2+2x,即6=1+G,因为1t8-a=(a-宁+子 (x+y）-12=60+66-12=6(6-@2 b a ab 又因为a≠6，所以b=a)>0, >0,所以1+a2>a,所以b=1+a2>a,所以c≥b>a. ab 2.A设a+3B=A(a+B)+u(a+2B)=(入+)a+(入+2)B. 所以x+y>12, 比较B的系数，得人+引；从而解得A-1, 所以顾客实际购买的黄金大于12克. 入+2=3， v=2. 2.2.2不等式的解集 由题意得-1≤-a-B≤1,2≤2a+4β≤6， 两式相加，得1≤a+3B≤7.故选A 必备知识探新知 3.ABD正实数x,y满足x-y<上-1 知识点1：所有解交集 x y 对应练习 化简得，-y<号，进面得到(x-y)(1+)<0。 xy (1)A 2(-32 (1)原不等式可化为2x+9≥3x+6, 因为，y为正实数，所以得1+1>0， 即x≤3 XV (2)由-x+2>0解得x<2, 对于A,可知x-y<0,即x<y,故正确； 1 对于B,由正实数x,y,且x<y,可知x<1,故正确； 由2x+1>0解得x>- 不等式组的解集为它们的交集， 对于C,由正实数小，且x<,可得>，放错误： 对于D,由正实数x,y,且x<y,可得x<y,故正确 4.20330设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件 即解集为(-22引 (50-)件根据题意，得竞+0≤20，解得≤20由题 3 知识点2：l.(2){x-m<x<m2.(1)1a-b1(2)a+b 2 意，得总产值y=7.5x+6×(50-x)=300+1.5x≤330，当且 (3)小于大于 仅当x=20时，y取最大值330.所以欲使总产值最高，A类电对应练习 子器件应开发20件，最高产值为330万元. :1.(1)(-0,-2)U(2,+∞)(2)[-1,3](1)由1xl>2, 5.a<c<d<b由a-d=c-b,a+d<b+c相加得a<c,又b- 解得x<-2或x>2. d=c-a>0,得b>d,又d>c,故a<c<d<b. 所以不等式的解集为(-0，-2)U(2,+0). 6.因为x≥1，y≥1，所以xy≥1， (2)由1x-11≤2得-2≤x-1≤2，解得-1≤x≤3 111 所以x+y+ 所以不等式的解集为[-1,3]. 可≤元+了+0y(x+）+1≤)+x+()月 2.6-1AB=I2-(-4)I=6:线段AB的中点M的坐标为 将上面不等式中的右端减左端，得 2-4=-1. [y+x+(xy)2]-[xy(x+y)+1] 2 =[(y)2-1]-[y(x+y)-(x+y)] 关键能力攻重难 =(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1) 例1：(1)由2x+4>9得2x>5, =(xy-1)(xy-x-y+1) 所以x>,所以不等式的解集是(3，+ =(y-1)(x-1)(y-1). 因为x≥1，y≥1，xy≥1，所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0，从而 (2)由-4x<2得4x>-2, 所要证明的不等式成立. 所以>一之所以不等式的解集是(-分，+） C组创新拓展 (3)由4(2x-1)<3(4x+2),得4x>-10, A由于天平的两臂不等长，故可设天平左臂长为a,右臂长 为b(不妨设a>b), 所以>-子， -183 <。,得17x≤4，所以≤号② 原不等式变为x-1-(x-2)>3+x,解得xe): 2 6 (3)当x>2时， ①2取公共部分得-各<≤ 4 原不等式变为x-1+x-2>3+x,解得x>6. 综上，原不等式解集为(-0,0)U(6,+0). 所以不等式组的解集是(-多，引 例4：(1)B(2)B(1)设该点表示的数为x,由题意得Ix- 对点训练1：(1)C(2)4(1)不等式8-2x>0的解集是 (-1)「=1x+11=3,所以x=2或-4. （-0,4),故选C. 所以在数轴上到一1的点的距离是3的点所表示的数为 (2)由2x+1>3,得x>1,由a-x>1,得x<a-1. -4或2，故选B 又：不等式组的解集为(1,3)，.a-1=3,即a=4. (2)设点C是AB的中点，点A表示的数是-4，点B表示的 例2：(1)15x-21≥85x-2≥8或5x-2≤-8曰x≥2或x≤ 6 数是2，则点C表示的数是2。-1放选以 Γ5 对点训练4：C因为数轴上点A,B,M表示的数分别是a,2a,9 .原不等式的解集为{x ≥2或≤-号} 点M为线段的中点，所以2-9， (2)原不等式等价于{ lx-21≥2，① 解得a=6,故选C. x-21≤4.② 课堂检测固双基 由①得x-2≤-2或x-2≥2，x≤0或x≥4. 1-2a<0. 由②得-4≤x-2≤4，.-2≤x≤6 1.B由点P(1-2a,a+3)在第二象限，得 a+3>0, .原不等式的解集为{x-2≤x≤0或4≤x≤6} 解得a>0.5,故选B. 对点训练2：(1)：13-2xl<9,.12x-31<9..-9<2x-3< 9,即-6<2x<12. 2.C解不等式-2x+a≤2，得x≥a,2 从数轴看出它的解集 2 ..-3<x<6..原不等式的解集为(-3,6). 为≥-1，所以922=-1，即a=0.放选C (2)由4<13x-21<8, 得13x-21>4, 3.A原不等式同解于x-2<0, I3x-21<8 即x<2.故选A. x≥1， 4.3解不等式组得 即不等式组的解集为(2，+∞)，从 3x-2<-4或3x-2>4, 3或x>2, x>2, 1-8<3x-2<8 而最小整数解为3. 31 原不等式等价于1x-21>Ix-11,则 原不等式的解集为(-2，-号)(2，) 5.（-,2 1x-212>1x-12,解得x<2 例3：方法一：Ix+71-1x-21可以看成数轴上的动点（坐标为 x)到-7对应点的距离与到2对应点的距离的差，先找到 这个差等于3的点，即x=-1.由图易知不等式1x+71- 即原不等式的解集为(-0，) 1x-2I≤3的解为x≤-1，即xe(-∞，-1]. 练案[13] -7 0 A组 基础巩固 方法二：令x+7=0,x-2=0得x=-7,x=2. 1c=号号 ①当x<-7时，不等式变为-x-7+x-2≤3，“-9≤3， 成立，x<-7. 2.C 由+1<3得>-2， .x≥1 l3x+1≥4，lx≥1. ②当-7≤x≤2时，不等式变为x+7+x-2≤3，即2x≤-2， 3.D1≤12x-11<2,则1≤2x-1<2或-2<2x-1≤-1，因 .x≤-1，.-7≤x≤-1. ③当x>2时，不等式变为x+7-x+2≤3，即9≤3，不成 此1≤x<号或-7<x≤0 立，“x∈☑ 4.C解不等式1+x<a,得x<a-1. ∴.原不等式的解集为(-∞，-1] 对点训练3：把原不等式变为|x-11+1x-21>3+x, 解不等式9+1≥-1，得-3 3 (1)当x≤1时 因为不等式组有解， 原不等式变为-(x-1)-(x-2)>3+x,解得x<0; 所以a-1>-37,即a>-36. (2)当1<x≤2时， :5.ACD原不等式可化为 —184