练案8 第一章 1.2.3 充分条件、必要条件-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教B版）

5[0,4因为命题“3xeR,使4+(a-2)x+号<0”是假 则“x1>0且2>0”是“x1+2>0且x2>0”的充要条件； (2)因为：1>2且x2>2,则可以推出x1+2>4且x1x2>4, 命题，所以命题“YxeR,42+(a-2)x+4≥0”是真命题， 反之，x1+x2>4且x12>4,可以取x1=8,2=1,满足条件，但 不能推出x>2且x2>2, 即判别式4=(a-22-4×4×子≤0， 则“x1>2且x2>2”是x1+x2>4且x1x2>4的充分不必要 即(a-2)2≤4，则-2≤a-2≤2，即0≤a≤4 条件 6.因为命题p是假命题，所以p:xeR,x号+(a-1)x+1<9.(1)由a2=4得a=±2，所以由p:a2=4不能推出q:a=-2, 0是真命题，则4=(a-1)2-4>0,解得a<-1或a>3. 由q:a=-2能推出p:a2=4,所以p是q的必要不充分条件. 因为命题q:3x0eR,ax后-2ax-3>0是真命题. (2)由AUB=B得ACB,所以p=q,即p是q的充要条件. 所以当a=0时，-3<0，不合题意； (3)若两个三角形全等，则两个三角形面积必相等，即由P能 当a<0时，(-2a)2+12a>0,所以a<-3. 推出q:由两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，即 当a>0时，函数y=aa2-2ax-3的图像开口向上，一定存在 由q不能推出p,所以p是g的充分不必要条件. 满足条件的xo 10.(1)由x∈P是x∈S的必要条件，知S二P, 故a<-3或a>0. 1-m≤1+m, 综上，a的取值范围是(-∞，-3)U(3,+). 则1-m≥-2， C组创新拓展 l1+m≤10， D全称量词命题的否定是存在量词命题，故A,B错误；命题 解得0≤m≤3. 的否定形式为原命题的题设不变，结论改否定，故C错误，D :.当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取 满足题意。 值范围是0≤m≤3. 练案[8] (2)若x∈P是x∈S的充要条件，则P=S, 1-m=-2,.「m=3, A组基础巩固 i+m=10,m=9: 1.C如下图所示， .不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件 即所求m的取值范围是m∈)， (3):x∈C.P是x∈CS的必要不充分条件， ∴.x∈P→xeS且xeS台xeP. .'.PS, ACB→An(CuB)=,同时An(CB)=☑=ACB,故选C. -m≤-2或-m-2, 1+m>10, 1+m≥10. 2.B由已知：由“是仙”可以推出“到过蓬莱”，而“到过蓬莱”不 解得m≥9， 一定推出“是仙”，所以“是仙”是“到蓬莱”的充分不必要条 即实数m的取值范围是m≥9. 件，故选B. !B组素养提升 3.Ba2=b2,即(a+b)(a-b)=0,解得a=-b或a=b, 1.A因为甲是乙的必要条件，所以乙→甲.又因为丙是乙的充 a2+b2=2ab,即(a-b)2=0,解得a=b, 故“a2=b2”不能推出“a2+62=2ab”,充分性不成立， 分条件，但不是乙的必要条件，所以丙→乙，但乙≠丙，如图. “a2+b2=2ab”能推出“a2=b2”,必要性成立， 综上，有丙一甲，但甲台丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲 故“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件.故选B. 的必要条件.故选A. 4.D ab(a-b)<0ea'b-ab<0<ab 甲 a28<a296 <放选D 丙 5.B由lx+1|≤2得-3≤x≤1，即p:-3≤x≤1，若p是q的充 分不必要条件，则a≥1，故选B. 2.A由2x2-a≥0，得a≤2x2, 6.充分必要由x=-1→x2-x-2=0,所以“x=-1”是“x2 函数y=2x2在[1,2]上的最小值为2. -x-2=0”的充分条件，“x2-x-2=0”是“x=-1”的必要 若对Hxe[1,2],2x2-a≥0成立，则a≤2， 条件. 所以由a≤1，得a≤2成立，反之不成立， 7.3①②④中命题均为真命题，③为假命题.故填3. 则a≤1是“Vxe[1,2],2x2-a≥0”为真命题的一个充分不 8.充要充分不必要(1)因为x1>0且2>0，则可以推出x1 必要条件； +x2>0且x1x2>0, a≤2是“Hx∈e[1,2],2x2-a≥0”为真命题的一个充分必要 反之，x1+x2>0且1x2>0,可以推出x>0且x2>0, 条件； -198 a≤3与a≤4是“Hxe[1,2],2x2-a≥0”为真命题的不充分 练案[9] 条件，故选A. - 3.ABD△≥0台方程ax2+bx+c=0有实根，A对： !A组 基础巩固 △=0一方程amx2+bx+c=0有实根，B对； 1.Aax=ay,当a≠0时，x=y,故A选项错误，符合题意； △>0→方程a2+bx+c=0有实根，但ax2+bx+c=0有实根ax=ay,.ax+1=ay+1,故B选项正确，不合题意；：ar= 推不出△>0，C错； ay,∴.2ax=2ay,故C选项正确，不合题意；：ax=ay,∴.3-ax △<0台方程a2+bx+c=0无实根，D对，故选ABD, =3-ay,故D选项正确，不合题意.故选A. 4.(-∞，8)因为p:x<8,9:x<a,且9是p的充分而不必要条2.ABA、B属于恒等式；只有当x=506时，等式4x=2024才成 件，所以a<8. 立，只有当x=1时，等式(x-1)2=0才成立，所以C、D不是 5.{ala≥3或a≤-3}因为xeA是x∈B的充分不必要条件， 恒等式.故选AB. 所以A手B, 3.A(a+b)2+8(a+b)-20=[(a+b)-2][(a+b)+10]= 又A={xla<x<a+2},B={xlx<-1或x>3}. (a+b-2)(a+b+10). 因此a+2≤-1或a≥3， 4.A因为对于任意实数a,b,都有a★b=a2-2a+b,所以x★3 所以实数a的取值范围是{ala≥3或a≤-3}. =x2-2x+3,因为x★3=6， ! 6(1)当a=2时， 所以x2-2x+3=6, : 所以x2-2x-3=0, A={2<x<3}B={分<<} 因式分解得(x-3)(x+1)=0,所以x1=-1,x2=3. _91 5.B因为关于x的一元二次方程 (m-2)x2+x+m2-4=0有一个根为0， 所以m2-4=0且m-2≠0，解得m=-2. 6.{0因为y=1是方程2-13(m-y)=2y的解， (2)a2+2>a, 所以2-13(m-1)=2,即m=1. .B={xla<x<a2+2} 所以方程m(x-3)-2=m(2x-5)变为(x-3)-2=2x-5, ①当3a+1>2,即a>写时，4=x2<x<3a+1 解得x=0. 所以方程的解集为0} :q是p的必要条件，A二B. :as2, 7.-2或1设a+6=,则原方程可化为4(4-2)-8=0，整 13a+1≤a2+2 解得时<a≤3,5 2 理，得(2x+1)(x-1)=0 ②当3a+1=2,即a=了时，4=⑦，不符合题意 解得x=宁或x=1,则a+6=-方或1 ③当3a+1<2,即a<号时，A=13a+1<x<2, 8.10或-1因为将实数对(m,3m)放入其中，得到实数5， 所以m2-9m-5=5,解得m=10或-1. 由ACB得s3a+1, 9.:(3x+2)(x+n)=3x2+(3n+2)x+2n=3x2-mx-2, 1a2+2≥2， 「3n+2=-m,「m=1, 解得-方<a<兮 1 12n=-2, n=-1. 综上所述，实数a的取值范围是 10.(1)x2+3xy+2y2+2x+4y =(x+2y)(x+y)+2(x+2y) 【(兮4 =(x+2y)(x+y+2): C组创新拓展 (2)4y+1-4x2-y2 充要条件是xy>0,证明如下： =1-(4x2-4xy+y2) 写>0.又>y则-y>0.所以对 必要性：由 =1-(2x-y)2 =(1+2x-y）(1-2x+y). >0. B组素养提升 充分性：因为x>y,所以y-x<0. 1.Ama2-m=m(x2-1)=m(x+1)(x-1),x2-2x+1=(x 因为y>0,所以1>0， -1)2,∴公因式为x-1,故选A. 2.Ba2+8ab-33b2=(a-3b)(a+11b). 所u号<0，< :3.B题图甲中阴影部分的面积为a2-b2, 综上所述，对于非零实数，当x>y时，<的充要条件 题图乙中阴影部分面积为(a+b)(a-b), 因为两个图形中阴影部分的面积相等， 是y>0. 所以a2-b2=(a+b)(a-b). -199练案[8] 第一章集合与常用逻辑用语 1.2[1.2.3 充分条件、必要条件] A组基础巩固 三、解答题 一、选择题 9.下列各题中，P是q的什么条件？ 1.设集合A、B是全集U的两个子集，则“ACB”是“An(1)p:a2=4,9:a=-2; (CB)=☑”的 (2)p:ACB,q:AUB=B; A.充分不必要条件 (3)P:两个三角形全等，9：两个三角形面积相等. B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.唐代诗人杜牧的七绝唐诗《偶题》传诵至今，“道在人 间或可传，小还轻变已多年.今来海上升高望，不到蓬 莱不是仙”，由此推断，后一句中“是仙”是“到蓬莱” 的 A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若a,b为实数，则ab(a-b)<0成立的一个充要条件 是 () A0<11 B0<11 :10.已知P={x|-2≤x≤10}，非空集合S={x11-m≤ a<b <a x≤1+m}. c.11 a<6 D.1 (1)若x∈P是x∈S的必要条件，求实数m的取值 6<a 范围； 5.已知p:lx+1|≤2,9：x≤a,且p是q的充分不必要条 (2)若x∈P是x∈S的充要条件，求实数m的取值 件，则a的取值范围是 范围； A.a≤1 B.a≥1 (3)若x∈CRP是x∈CRS的必要不充分条件，求m C.a≥-1 D.a≤-3 的取值范围。 二、填空题 6.“x=-1”是“x2-x-2=0”的 条件，“x2- x-2=0”是“x=-1”的 条件.（填“充分” 或“必要”) 7.对任意实数a,b,c,给出下列命题： ①“a=b”是“ac=bc”的充分条件； ②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件； ③“a>b”是“a2>b2”的充分条件； ④“a<5”是“a<3”的必要条件. 其中真命题的个数是 8.(1)“x1>0且x2>0”是“x1+x2>0且x1x2>0”的 条件；(2)“x1>2且x2>2”是x1+2>4且 x1x2>4的 条件. (从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分 也不必要”中选择恰当的填空) —115 B组素养提升 C组创新拓展 一、选择题 对于非零实数，y有x>y,试探求上<1的充要条 1.设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙 x Y 是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么() 件，并加以证明。 A.丙是甲的充分不必要条件 B.丙是甲的必要不充分条件 C.丙是甲的充要条件 :11 D.丙是甲的既不充分也不必要条件 2.命题“Hx∈[1,2]，2x2-a≥0”为真命题的一个充分 不必要条件是 A.a≤1 B.a≤2 C.a≤3 D.a≤4 3.(多选题)已知实系数一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，下列结论正确的是 A.A=b2-4ac≥0是这个方程有实根的充要条件 B.△=b2-4ac=0是这个方程有实根的充分条件 C.△=b2-4ac>0是这个方程有实根的必要条件 D.△=b2-4ac<0是这个方程没有实根的充要条件 二、填空题 4.已知p:x<8,9:x<a,且g是p的充分不必要条件，则 a的取值范围为 5.若A={xa<x<a+2},B=xx<-1或x>3,且 x∈A是xeB的充分不必要条件，则实数a的取值范 围是 三、解答题 6.已知全集U=R,非空集合A={x x-2 x-(3a+1)<0 -。2 (I)当a=2时，求(CB)nA: (2)命题p:x∈A;命题q:x∈B,若q是p的必要条件， 求实数a的取值范围. 116