1.2 常用逻辑用语 1.2.3 充分条件、必要条件 第2课时 充要条件(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、综合应用、拓展提升三层设计，实现从充要条件概念辨析到跨知识点综合应用的递进，培养数学推理能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一充要条件判断|直接考查概念（如第1题不等式范围关系），夯实抽象能力| |综合应用|集合/方程/函数与充要条件结合|中档题融合多知识点（如第4题方程实根充要条件），发展推理意识| |拓展提升|含参数讨论与证明|解答题（如第14题集合充要条件探究），深化逻辑思维与数学表达|

第2课时　充要条件 1.B　[解析] 因为集合{x|0<x<3}是{x|-1<x<5}的真子集,所以p是q的必要不充分条件.故选B. 2.B　[解析] 若A与B中有一个为空集,则A∩B=∅,必要性成立;反之,取A={1,2},B={3,4},满足A∩B=∅,但A与B均不是空集,充分性不成立.所以A∩B=∅是A与B中有一个为空集的必要不充分条件.故选B. 3.D　[解析] 设集合A={x|-1<x<1},集合B={x|x>m},因为p是q的充分不必要条件,所以A是B的真子集,可得m≤-1.故选D. 4.A　[解析] 当a=0时,x=,方程有实根;当a≠0时,Δ=4+4a≥0,解得a≥-1,此时a≥-1且a≠0.综上可得,“方程ax2+2x-1=0有实根”的充要条件为a∈[-1,+∞).故选A. 5.C　[解析] 根据相似三角形的性质得,由“两个三角形相似”可得到“两个三角形的三边对应成比例”,即充分性成立;反之,由“两个三角形的三边对应成比例”可得到“两个三角形相似”,即必要性成立.所以“两个三角形相似”是“两个三角形的三边对应成比例”的充要条件.故选C. 6.C　[解析] 因为p是r的充分条件,所以p⇒r.因为q是r的充分不必要条件,所以q⇒r,r⇒/ q.因为s是r的必要条件,所以r⇒s.因为p是s的必要条件,所以s⇒p.由p⇒r,r⇒s,s⇒p可得p⇔r⇔s.则r是p的充要条件,命题①为假命题;r是s的充要条件,命题②为假命题;因为q⇒r,r⇒/ q,所以q⇒p,p⇒/ q,故q是p的充分不必要条件,命题③为真命题;易得s⇒/ q,q⇒s,所以s是q的必要不充分条件,命题④为假命题.故选C. 7.ACD　[解析] 由a>0,b>0可以推出ab>0,反之推不出,故A满足题意.当a=5,b=-4时,满足a+b>0,但不满足ab>0,故B不满足题意.由a<0,b<0可以推出ab>0,反之推不出,故C满足题意.由a>1,b>1可以推出ab>0,反之推不出,故D满足题意.故选ACD. 8.充分不必要　[解析] 因为“∀x∈A,x2-a≤0”是真命题,所以a≥(x2)max=4,设集合B={a|a≥4}.记集合C={a||a-8|≤3},则C={a|5≤a≤11}.因为C是B的真子集,所以q是p的充分不必要条件. 9.证明:充分性:如果b=0,那么y=kx,当x=0时,y=0,所以一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点. 必要性:因为一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点,所以当x=0时,y=0,即k×0+b=0,所以b=0. 综上,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点的充要条件是b=0. 10.D　[解析] 因为p:≤x≤1,q:a≤x≤a+1,q是p的必要不充分条件,所以且两个等号不同时成立,解得0≤a≤,经检验满足题意.故选D. 11.AC　[解析] 由p:x≤1,可得􀱑p:x>1.因为q是􀱑p的充分不必要条件,所以由q能推出􀱑p,􀱑p不能推出q,即q对应的集合是􀱑p对应集合的真子集.因为{x|x≥3}是{x|x>1}的真子集,所以x≥3是x>1的充分不必要条件,故A正确;因为{x|x≤0}与{x|x>1}没有包含关系,所以x≤0不是x>1的充分不必要条件,故B错误;因为{x|x>2}是{x|x>1}的真子集,所以x>2是x>1的充分不必要条件,故C正确;因为{x|x>1}={x|x>1},所以x>1是x>1的充要条件,不是充分不必要条件,故D错误.故选AC. 12.充要　[解析] 由题意可得A∪B={x|x<0或x>2},即A∪B=C,所以“x∈(A∪B)”是“x∈C”的充要条件. 13.-2　[解析] 若二次函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称,则m=-2;反之也成立.所以二次函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m=-2. 14.解:(1)不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.理由如下:假设x∈P是x∈S的充要条件,则P=S,所以此方程组无解, 故不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件. (2)由x∈P是x∈S的必要条件,得S⊆P. 因为S≠∅,所以1-m≤1+m,解得m≥0,因为S⊆P,所以解得m≤0,所以m=0. 所以实数m的取值范围为{0}. 15.0<a<3　[解析] 由“y∈B”是“y∈A”的必要条件,得A⊆B.又A中元素为整数,故A只可能为{1},{2},{1,2}.由点(x-1,x-a)不在第一、三象限,得或 即①或②.当a<1时,①无解,由②得a≤x≤1,此时A={x∈Z|a≤x≤1},故A={1},则0<a<1;当a=1时,x=1,则A={1},满足题意;当a>1时,②无解,由①得1≤x≤a,此时A={x∈Z|1≤x≤a},因为1∈A,3∉A,所以1<a<3.综上,实数a的取值范围是0<a<3. 16.解:“a-b+c=0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的充要条件.理由如下:若a-b+c=0,则b=a+c,则ax2+bx+c=ax2+(a+c)x+c=(ax+c)(x+1),故x=-1满足一元二次方程ax2+bx+c=0,即一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1,充分性成立;若一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1,则a-b+c=0,必要性成立.综上所述,“a-b+c=0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的充要条件. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　充要条件 1.已知p:-1<x<5,q:0<x<3,则p是q的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.[2026·湖南衡阳高一期中] 已知p:A∩B=∅,q:A与B中有一个为空集,则p是q的(　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知p:-1<x<1,q:x>m,若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围是 (　 ) A.[-1,+∞) B.(-∞,-1) C.(-1,0) D.(-∞,-1] 4.“关于x的方程ax2+2x-1=0有实根”的充要条件为 (　 ) A.a∈[-1,+∞) B.a∈(-1,+∞) C.a∈[-1,0)∪(0,+∞) D.a∈(-1,0)∪(0,+∞) 5.“两个三角形相似”是“两个三角形的三边对应成比例”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.[2025·重庆八中高一月考] 已知p是r的充分条件,q是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,p是s的必要条件,现有下列命题:①r是p的必要不充分条件;②r是s的充分不必要条件;③q是p的充分不必要条件;④s是q的充要条件.其中所有的真命题是 (　 ) A.①④ B.②③ C.③ D.④ 7.(多选题)ab>0的一个充分不必要条件可以是 (　 ) A.a>0,b>0 B.a+b>0 C.a<0,b<0 D.a>1,b>1 8.已知A={x|1≤x≤2},若p:“∀x∈A,x2-a≤0”是真命题,q:{a||a-8|≤3},则q是p的　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)  9.(13分)求证:一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点的充要条件是b=0. 10.设p:≤x≤1;q:a≤x≤a+1,若q是p的必要不充分条件,则实数a的取值范围是 (　 ) A.0<a< B.0<a≤ C.0≤a< D.0≤a≤ 11.(多选题)[2026·河北石家庄高一期中] 已知p:x≤1,若q是􀱑p的充分不必要条件,则q可以是 (　 ) A.x≥3 B.x≤0 C.x>2 D.x>1 12.设集合A={x|x>2},B={x|x<0},C={x|x<0或x>2},则“x∈(A∪B)”是“x∈C”的　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)  13.二次函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m=　　　　.  14.(15分)[2025·陕西西安高一期中] 已知集合P={x|1≤x≤2},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}. (1)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由. (2)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的必要条件?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由. 15.已知集合A={x∈Z|点(x-1,x-a)不在第一、三象限},集合B={t|1≤t<3},若“y∈B”是“y∈A”的必要条件,则实数a的取值范围是　　　　　.  16.(15分)已知a,b,c∈R,a≠0.判断“a-b+c=0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的什么条件?并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $