1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教B版）

021 ● 题型三依据含量词命题的真假求参数取值范围 例41)已知命题p():x+1>x为真命题，求x的取值范围： (2)存在x∈R,使x2+x+a=0成立，求实数a的取值范围； (3)已知集合A={xlx>2},B={xx>t,若Ha∈A,都有a∈B成立，求实数t归纳提升：在求命题 的取值范围。 中参裁的取值范围 思路探究：把存在与恒成立问题转化为不等式端点值的大小关系. 时，若命题中含有量 词，则首先要注意量 词是“H“还是 “”，其含义不 同，不要混清：其次 要注意所给命题是真 命题还是假命题，特 别是已知命题为假命 [归纳提升] 题，求参数的取值范 )对点训练 围时要注意等价 3.已知命题p:3x>0,x+a-1=0,若p为假命题，则a的取值范围为 ( 转化. A.(-0,1) B.(-,1] C.(1,+∞) D.[1,+∞) 课堂检测 固双基 1.下列语句不是命题的有 C.不相交的两条直线是平行直线 ①若a>b,b>c,则a>c:②x>2;③3<7. D.存在实数大于等于1 A.0个 B.1个C.2个 D.3个 4.命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x)2>0”用 2.下列命题是假命题的是 “了”写成存在量词命题为 A.Hx∈R,x2≥0 B.HxeN,x≥1 C.3xEZ,x<1 D.]x∈Q,NxQ 5.若Hx∈(-o,2],x≤a恒成立，则实数a的取值范 3.下列命题是存在量词命题的是 ) 围是 A.对顶角相等 夯基提能作业 B.正方形都是四边形 请同学们认真完成练案[6] 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 素养目标 定方向 学习目标 核心素养 1.能正确写出一个命题的否定，并能够判断其真假. 2.理解含有一个量词的命题的否定的意义，会对含有1.通过对命题的否定的认识，提升数学抽象素养 一个量词的命题进行否定.（重点） 2.通过对含有一个量词的命题的否定的理解，提升逻 3.掌握全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量 辑推理的素养. 词命题的否定是全称量词命题.（重点、难点） 022 必备知识探新知 知识点1 命题的否定 1.定义：对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或“p的否定”. 2.结论：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就应该是 命题；反之亦然 ●对应练习 (1)圆周率π是无理数的否定是 ,它是 (选填“真”或“假”)命题 (2)⑦是集合A的子集的否定是 ,它是 (选填“真”或“假”)命题. 知识点2存在量词命题与全称量词命题的否定 1.存在量词命题的否定 存在量词命题p P 结论 x∈M,p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 2.全称量词命题的否定 全称量词命题g 79 结论 VxEM,q(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 提醒：一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面敏述的词语进行否定，下面把常用的正面敏述的词语 及它的否定列举如下 正面词语 否定词语 = 卡 >(<) ≤（≥） 是 不是 都是 不都是 任意（所有） 某个 存在 不存在 至多有1个 至少有2个 至少有1个 1个也没有 或 且 且 或 ●对应练习 1.命题“Vx∈R,lxl+x2≥0”的否定是 () A.Hx∈R,Ixl+x2<0 B.HxeR,lxl+x2≤0 C.3xER,Ixl +x2<0 D.]x∈R,lxl+x2≥0 2.设命题P:有些三角形是直角三角形，则一p为 3.命题“]x<1使得x2≥1”是 命题.（选填“真”或“假”） ●023 关键能力 攻重难 ●题型一命题的否定 例1写出下列命题的否定，并判断其真假 (1)p2,3都是8的约数； (2)P:实数的绝对值都大于0； 归纳提升：对一个命 (3)p:菱形的对角线垂直平分； 题进行否定的方法 (4)P:若xy=0,则x=0或y=0. 否定一个命题是对这 个命题结论的否定， 要灵活应用常见关键 词对应的否定词.另 外，命题和它的否定 真假性相反，可运用 此结论检查所写命题 的否定是否正确： ●[归纳提升] )对点训练 1.写出下列命题的否定形式，并判断其真假， (1)P:面积相等的三角形都是全等三角形； 归纳提升：全称量词 (2)p:若m2+n2=0,则实数m,n全为零； 命题的否定形式与判 (3)p:实数a,b,c满足abc=0,则a,b,c中至少有一个为0. 断真假的方法 (1)全称量词命题的 形式是“Hx∈M, p(x)”,其否定形式 应该是既改变量词， 又对命题p(x)进行否 定，即“]x∈M, p(x)”,所以全称 ● 题型二全称量词命题的否定与真假判断 量词命题的否定是存 在量词命题. 例之写出下列全称量词命题的否定，并判嘶断所得命题的真假. (2)若全称量词命题 (1)xeR,2-x+40: 为真命题，其否定命 题就是假命题；若全 (2)所有的正方形都是菱形： 称量词命题为假命 (3)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线. 题，其否定命题就是 真命题. (3)由于有些全称量 词命题省略了全称量 词，要注意先改写 后，再进行否定，如 本题(3)中省略了全 称量词“任意”，即 “任意一条与圆只有 一个公共点的直线是 [归纳提升] 圆的切线”. 024 对点训练 2.判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定 (1)三角形的内角和为180°： (2)Hx∈N,x3>x2; (3)所有被5整除的整数，末位数字都是0： (4)等圆的面积相等，周长相等 归纳提升：存在量词 命题的形式为“]x∈ M,P(x)”,其否定形 式为“Hx∈M, 一P(x)”所以存在量 ●题型三存在量词命题的否定与其真假判断 词命题的否定是全称 例 3.写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假， 量词命题，其真假性 (1)四边形的对角线不都互相垂直； 相反. (2)有一个点(x,y),满足y=2x+1. ●[归纳提升] )对点训练 3.写出下列存在量词命题的否定并判断所得命题的真假. (1)]x∈R,x+2≤0： (2)有的三角形是等边三角形； (3)有一个偶数是素数， 归纳提升：含有量词 的命题求参数问题的 思路 (1)此类题目常以二 次方程或二次不等式 等为载体，一般在题 ●题型四 含有量词的命题求参数问题 目中会出现“恒成 立”等词语，解决此 例 4.已知命题p:H1≤x≤2，x2-a≥0，命题q:]x∈R,x2+2ax+2a+a2=0. 类问题，可用判别式 (1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围； 法求参数范围，也可 (2)若命题p和q均为真命题，求实数a的取值范围。 以利用分离参数法求 得参数的范围 (2)求参数的范围 时，从真命题的角度 比较好列关系式，所 [归纳提升] 以如果已知条件是一 对点训练 个存在量词命题，且 4.已知命题P:“x∈R,x2-2x+m≤0”是假命题，求实数m的取值范围 是假命题，可以写出 该命题的否定，利用 命题的否定是真命题 求得参数的范围 025 课堂检测 固双基 1.下列说法中正确的有 (）3.命题“Hx∈R,x3-x2+1≤0”的否定是 ①用自然语言描述的全称量词命题的否定形式是唯一的； A.3xeR,x3-x2+1≥0 ②全称量词命题的否定一定是存在量词命题，存在量 B.]x∈R,x3-x2+1>0 词命题的否定一定是全称量词命题； C.3xeR,x3-x2+1≤0 ③命题一p的否定是p; D.VxER,x-x2+1>0 ④3x∈M,p(x)与Hx∈M,p(x)的真假性相反， 4.若命题p:3x∈R,使得x2-x-2=0,则p为 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.命题“正多边形的内角都相等”的否定是 2.若命题p:]x∈R,2x2+1≤2，则该命题的否定是( A.]x∈R,2x2+1>2 夯基提能作业 B.3x∈R,2x2+1≥2 请同学们认真完成练案[7] C.Hx∈R,2x2+1≤2 D.VxER,2x2+1>2 1.2.3充分条件、必要条件 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.理解充分条件、必要条件的定义.（难点) 1.通过充分条件、必要条件的判断，提升逻辑推理 2.会判断充分条件、必要条件、充要条件.（重点） 素养 3.会根据充分不必要条件、必要不充分条件求字母的 取值范围.（重点） 2.通过充分条件、必要条件、充要条件的应用，培养数 学运算素养 4.会进行简单的充要条件的证明.（重点、难点） 必备知识探新知 知识点1 充分条件与必要条件 思考1：(1)p是9的 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则g”是假命题 充分条件与q是p的 必要条件所表示的推 推出关系 p台q 出关系是否相同？ p是q的 条件 p不是g的 条件 (2)以下五种表述形 条件关系 9是p的 条件 q不是p的 条件 式：①p→q;②p是q 提醒：对于命题“若P,则q”的条件和结论，我们都视为条件，只看“一”的推出方 的充分条件；③q的充 向，“箭尾”是“箭头”的充分条件，“箭头”是“箭尾”的女要条件 分条件是P;④q是p P[思考1] 的必要条件；⑤p的必 ●对应练习 要条件是9.这五种表 1.思考辨析（正确的打“V”,错误的打“×”） 述形式等价吗？ (1)“x=3”是“x2=9“的必要条件. () 提示：(1)相同，都是 (2)“x>0”是“x>1”的充分条件 () p→q.(2)等价. (3)如果p是q的充分条件，则p是唯一的. () 2.“x2=2x”是“x=0”的条件，“x=0”是“x2=2x”的 (选填“充分”或“必 要”)条件.(4)是真命题.代入验证即可. ;对应练习 (5)是真命题.由空集的定义和性质不难得出 1.C命题“Hx∈R,Ixl+x2≥0”是全称量词命题，其否定为存 例2：(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360”，故： 在量词命题，所以命题的否定是3x∈R,Ix1+x2<0. 为全称量词命题 2.任意三角形不是直角三角形命题P是存在量词命题，一p为 (2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题 任意三角形不是直角三角形 (3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题， 3.真 例3：(1)2是素数，但2不是奇数 关键能力攻重难 所以全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题 例1：(1)p:2,3不都是8的约数.真命题 (2)真命题 (2)p:实数的绝对值不都大于零.真命题 (3)由于任意xeR,x2+2x+3=(x+1)2+2≥2，因此使x2 (3)一p:菱形的对角线不垂直或不平分.假命题 +2x+3=0的实数x不存在，所以存在量词命题“存在x∈ (4)p:若xy=0,则x≠0且y≠0.假命题 R,使x2+2x+3=0”为假命题. :对点训练1：(1)p:面积相等的三角形不都是全等三角形.真 对点训练2：(1)全称量词命题.在平面直角坐标系中，任意有序 命题. 实数对(x,y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该 (2)p:若m2+n2=0,则实数m,n不全为零.假命题 命题是真命题 (3)p:实数a,b,c满足abc=0,则a,b,c中都不为0.假 (2)存在量词命题.存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所 命题 以该命题是真命题 例2：(1)该命题的否定：了xeR,2-x+ 4<0 (3)存在量词命题取x=0,y=-5时，3×0-4×(-5)=20成 立，所以该命题是真命题 由于x2-x+ 号-(-)广≥0，是假命题 例4：(1)因为x+1>x,所以1>0（此式恒成立），所以x∈R (2)该命题的否定：存在一个正方形不是菱形，是假命题， (2)因为存在x∈R,使x2+x+a=0成立，所以方程x2+x (3)该命题的否定：存在一条与圆只有一个公共点的直线 +a=0存在实数根，则4=1-4a≥0，解得a≤子，即实数a 不是圆的切线，是假命题 对点训练2：(1)原命题为真命题，命题的否定：存在一个三角形 的取值范围是a 的内角和不为180° 4 (2)原命题为假命题，命题的否定：了x∈N,x3≤x2 (3)因为Va∈A,都有a∈B成立，所以A二B,则t≤2， (3)原命题为假命题，命题的否定：存在被5整除的整数，末位 即实数t的取值范围是t≤2， 数字不是0. 对点训练3：D'p为假命题，等价于方程x+a-1=0无正实 (4)原命题为真命题，命题的否定：存在一对等圆，其面积不 根，即x=1-a≤0，得a≥1， 相等或周长不相等 .a的取值范围为[1，+o). 例3：(1)命题的否定：任意四边形的对角线都互相垂直.是假 课堂检测固双基 命题. 1.B①③是可以判断真假的陈述句，是命题；②不能判断真假， (2)命题的否定：对所有的点(x,y),都不满足y=2x+1.是 不是命题.故选B 假命题. 2.B当x=0时，0eN,但0<1.故“Vx∈N,x≥1”是假命题.故对点训练3：(1)该命题的否定：VxeR,x+2>0.为假命题. 选B. (2)该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形.为假命题， 3.D选项D中含有存在量词“存在”，所以根据存在量词命题 (3)该命题的否定：任意一个偶数都不是素数.为假命题 的定义知选D. 例4：(1)根据题意知，当1≤x≤2时，1≤x2≤4. 4.]x<0,(1+x)(1-9x)2>0存在量词命题“存在M中的一 7p:31≤x≤2，x2-a<0为真命题，所以a>1. 个x,使p(x)成立”可用符号简记为“]x∈M,p(x)” 所以实数a的取值范围是ala>1}. 5.[2,+∞)x≤a恒成立是指a大于等于x的最大值，故a≥2 (2)由(1)知命题p为真命题时，a≤1 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 命题g为真命题时，4=4a2-4(2a+a2)≥0， 解得a≤0，所以7q为真命题时，a>0. 必备知识探新知 知识点1：1.p2.假 所以/s, la>0, 对应练习 解得0<a≤1， (1)圆周率π不是无理数假(2)O不是集合A的子集 即实数a的取值范围为{a0<a≤1}. 假 对点训练4：方法一：7p:HxeR,x2-2x+m>0,是真命题，即 知识点2：1.Hx∈M,p(x)2.3x∈M,7g(x) m>-x2+2x=-(x-1)2+1,xeR恒成立，设函数y=-(x -163 -1)2+1,由二次函数的性质知， 对点训练1：(1)因为lxl=Iyl台x=y,但x=y=Ixl=Iyl, 当x=1时，y最大值=1，.m>y最大值=1， 所以p是q的必要不充分条件. 即实数m的取值范围是(1，+∞). (2)△ABC是直角三角形台△ABC是等腰三角形. 方法二：7p:Hx∈R,x2-2x+m>0,是真命题 △ABC是等腰三角形≠△ABC是直角三角形. 设函数y=x2-2x+m,由二次函数的图像和性质知， 所以卫是q的既不充分也不必要条件. 只需方程x2-2x+m=0的根的判别式4<0，即4-4m<0,得 (3)四边形的对角线互相平分台四边形是矩形：四边形是矩 m>1, 形一四边形的对角线互相平分.所以p是q的必要不充分 即实数m的取值范围是(1，+). 条件 课堂检测固双基 (4)由a2+6=0得a=b=0,从而a+b=0;而由a+b=0台 1.C只有(2)，(3)，(4)正确，选C a2+b2=0(如a=1,b=-1),所以p是q的充分不必要条件. 2.D命题p的否定是VxeR,2x2+1>2,故选D. 例2：先证充分性 3.B将量词改变，结论否定，可得3x∈R,x2-x2+1>0.故 由ac<0,可得△=b2-4ac>0,则方程有两个不等实根x 选B 与x2 4.Hx∈R,使得x2-x-2≠0 5.有的正多边形的内角不都相等 由ac<0,可得a,e异号，则·=合<0，则，一正 1.2.3充分条件、必要条件 一负，即方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个正根和一个 负根 必备知识探新知 再证必要性 知识点1：→充分必要充分必要 由方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1,x2异号，得x1x2= 对应练习 1.(1)×(2)×(3)×(1)因为“x2=9”“x=3” 台<0，则c<0 (2)因为“x>0”有“x>1”. 综上，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正根和一 (3)不唯一，如x>3,x>5,x>10等都是x>0的充分条件 负根的充要条件是ac<0. 2.必要充分由于x=0→x2=2x,所以“x2=2x”是“x=0”的对点训练2：因为a+b+c=0, 必要条件，“x=0”是“x2=2x”的充分条件 所以c=-a-b,代人方程ax2+bx+c=0中， 知识点2： 得ax2+bx-a-b=0, 对应练习 即(x-1)(ax+a+b)=0. 1.B因为xy≠0→x≠0且y≠0→x2>0且y2>0→x2+y2>0, 所以方程（※）有一个根为1，所以a+b+c=0→方程（※）有 所以“x2+y2>0”是“y≠0”的必要条件 一个根为1， 2.必要由于NCM,所以“a∈M”是“a∈N”的必要条件. 因为方程aa2+bm+c=0有一个根为1，所以x=1满足方程 知识点3：1.p→qg→p充要条件 ax2+bx+c=0. 对应练习 所以有a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.所以方程（※）有 1.(1)V(2)V (3)× 一个根为1→a+b+c=0,从而a+b+c=0台方程（※）有一 2.0≤a≤2AnB=②a+2≤4， la-23-2,0≤as2. 个根为1， 因此a+b+c=0是方程（※）有一个根为1的充要条件。 关键能力攻重难 例1：(1)由三角形中大角对大边可知，若A>B,则BC>AC;反 例3：[3，+）由题意得p:0<x<3;9:x<m+3 2 在数轴上表 之，若BC>AC,则A>B.因此，P是q的充要条件 ,如图所示，由题意知p→9,9共 (2)由x>1可以推出x2>1;由x2>1,得x<-1,或x>1,不 示出(0,3)和(-” 定有x>1.因此，P是q的充分不必要条件 p则≥3，解得m≥3，即m的取值范围是[3，+0。 (3)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,不能得到 a=3;由a=3可以得出(a-2)(a-3)=0.因此，p是g的 必要不充分条件 3 m+3 (4)由于a<b矜号<L山，由号<1为a<6.因此p是g的 对点训练3：- 由x2+x-6=0,可得x=2或x=-3. 既不充分也不必要条件 (5)不等式组+4>0， 对于ax+1=0,当a=0时，方程无解；当a≠0时，x=二 的解集是xl-4<x<8},又{x0 x-8<0 <x<7}x-4<x<8},所以p是q的必要不充分条件. 由题意知p户g,9→p,则可得a≠0，此时应有-。=2或 164