第1章 集合与常用逻辑用语章末整合-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教B版）

029 章末整合 知识结构理脉络 元素的特性：确定性、互异性、无序性 集合及其表示 集合的分类：有限集、无限集 集合的表示：列举法、描述法、图示法和区间法 包含：子集、真子集 集 集合的基本关系 性质 相等 交集 并集 数轴、维恩图 集合的基本运算 补集 命题 全称量词 全称量词命题 命题与量词 量词 存在量词 存在量词命题 常用逻辑 全称量词命题的否定 命题的真假判断 全称量词命题与存在 量词命题的否定 签 存在量词命题的否定 充分条件 判定定理 充分条件、必要条件 必要条件 性质定理 充要条件 数学定义 要点梳理 晰精华 1.集合中元素的三个特性 对于一个给定的集合，集合中 特性 含义 示例 集合{x,x2 的元素一定是不同的（或者说 作为一个集合的元素，必须是 x中的x应满 互异性 是互异的)，这就是说，集合中 确定的，不能确定的对象就不 的任何两个元素都是不同的 足x≠x2-x, 集合A={1, 能构成集合，也就是说，给定 确定性 2,3},则1∈A, 对象，相同的对象归入同一集 即x≠0且x 一个集合，任何一个对象是不 ≠2 4使A 合时只能算集合的一个元素 是这个集合的元素也就确 定了 030 词：第二步，将结论加以否定.含有全称量词的命题的否 集合1,0和 构成集合的元素间无先后顺 定是含有存在量词的命题，含有存在量词的命题的否定 无序性 序之分 {0,1}是同一 个集合 是含有全称量词的命题.如： ①“所有的正方形都是矩形”的否定为“至少存在 2.集合描述法的两种形式 个正方形不是矩形”，其中，把全称量词“所有的”变 (1)符号描述法：用符号把元素的共同属性描述出为存在量词“至少存在一个”。 来，其一般形式为xIP(x)或xEIlP(x)},其中x为 ②“存在一个实数x,使得|x|≤0”的否定为“对所 代表元素，I是x的取值集合，P(x)是集合中元素x的有的实数x,都有1x|>0”,其中，把存在量词“存在一 共同属性，竖线不可省略，如大于1且小于4的实数构个”变为全称量词“所有的”。 成的集合可以表示为x∈R1<x<4}.在不会产生误 4.条件关系判定的常用结论 解的情况下，x的取值集合可以省略不写，如在实数集 条件p与结论q的关系 结论 R中取值，“∈R”常省略不写，于是上述集合可表示为 {x11<x<4}. p→9，且9≠p P是q的充分不必要条件 (2)文字描述法：用文字把元素的共同属性叙述出 9→p,且pq p是q的必要不充分条件 来，并写在花括号内，如{参加平昌冬奥会的运动员， 但花括号内不能出现“所有”“全体”“全部”等字样. p→q,且9→p,即p9 p是q的充要条件 3.全称量词命题和存在量词命题的否定 p≠q,且9台p p是q的既不充分也不必要条件 对含有全称（存在）量词的命题进行否定需两步操 作：第一步，将全称（存在）量词改写成存在（全称）量 素养突破 提技能 ●专题一 集合的交集、并集、补集运算 1.已知全集U={0,1,2,3,4,5,6},集合A=x∈N11<x≤4}，B=x∈Rx2-3x +2=0. 归纳提升：集合的运 算主要包括交集、并 (1)用列举法表示集合A与B; (2)求A∩B及C(AUB). 集和补集运算.这也 是高考对集合部分的 主要考查点.有些题 目比较简单，直接根 据集合运算的定义可 得；有些题目与解不 等式或方程相结合， 需要先正确求解不等 式或方程，再进行集 合运算；还有的集合 问题比较抽象，解题 时需借助维恩图进行 裁形分析或利用裁轴 等，采用数形结合思 想方法，可使问题直 [归纳提升] 观化、形象化，进而 ●专题二集合关系与运算中的求参数问题 能使问题筒洁、准确 2.已知集合A={xlx<-1或x≥1}，B={x2a<x≤a+1,a<1{,BCA,则实数a 地获解。 列 的取值范围为 ●031 [归纳提升] 归纳提升：已知两集 合间的关系求参裁 ●专题三充分条件与必要条件的判断与探求 时，关键是将两集合 例3已集合=<-3或x>5,P=a≤≤8 间的关系转化为元素 间的关系，进而转化 (1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P={x5<x≤8}的充要条件； 为参数满足的关系 (2)求实数a的一个值，使它成为M∩P=xl5<x≤8的一个充分但不必要 解决这类问题常常需 条件； 要合理利用数轴、维 恩图帮助分析.同时 (3)求一个实数a的取值范围，使它成为M∩P={xI5<x≤8}的一个必要但不还要注意“空集”这 充分条件 一“陷阱”，尤其是 集合中含有字母参数 思路探究：由M∩P={xI5<x≤8，求得-3≤a≤5.(1)充要条件即-3≤a≤ 时，要分类讨论，讨 5.(2)寻找充分但不必要条件，a可取满足-3≤a≤5的任意一个值.（3)寻找论时要不重不漏. 必要但不充分条件，此时a的取值集合应真包含a|-3≤a≤5}. 归纳提升：已知条件 P,结论q对应的集合 分别为A,B.用集合 观点来理解充分、 要条件，有如下三 类：一是两个集合相 等，那么P,9互为充 要条件；二是两个集 合有包含关系，若A 吴B,则p是q的女要 不充分条件，若A军 B,则p是q的充分不 必要条件：三是两个 集合没有包含关系， 那么p是q的既不充 [归纳提升] 分也不必要条件 ●专题四全称量词命题与存在量词命题 归纳提升：“一般命题 例4(1)下列语句不是全称昼词命匙的是 () 的否定”与“含有一个 量词的命题的否定” A.任何一个实数乘以零都等于零 的区别与联系 B.自然数都是正整数 (1)一般命题的否定 C.高一(1)班绝大多数同学是团员 通常是在条件成立的 前提下否定其结论 D.每一个实数都有大小 得到真假性完全相反 (2)命题p:“Hx∈R,x2>0”,则 (） 的两个命题；含有 A.p是假命题；7p:3x∈R,x2<0 个量词的命题的否 B.p是假命题；p:3x∈R,x2≤0 定，是在否定其结论 的同时，改变量词的 C.p是真命题；p:HxeR,x2<0 属性，即将全祢量词 D.p是真命题；p:Hx∈R,x2≤0 改为存在量词，存在 量词改为全称量词. ●[归纳提升] (2)与一般命题的否 素养等级测评 定相同，含有一个量 词的命题的否定的关 请同学们认真完成考案（一） 键也是对关健词的否 定-日-3，解得a=或a= (3)求实数a的取值范围，使它成为MnP={xl5<x≤8 的一个必要但不充分条件，就是另求一个集合Q,使{a 例4：C由(2x+1)(x-3)≥0得x≤-)或x≥3，选项中只有 -3≤a≤5}是集合Q的一个真子集，易知当a≤5时，未必 有MnP=xl5<x≤8}，但是M∩P=x5<x≤8}时，必 1-135{≤-2或≥3} 有a≤5，故ala≤5}是所求的一个取值范围.（答案不唯一） 即只有“x∈{-1,3,5}”是“不等式(2x+1)(x-3)≥0成例4：(1)C(2)B(1)A中命题可改写为：任意一个实数乘以 立”的充分不必要条件， 零都等于零，故A是全称量词命题：B中命题可改写为：任 课堂检测固双基 意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；C中命题可 改写为：高一(1)班存在部分同学是团员，C不是全称量词 1.B9:x2>2,解得x>2或x<-√2； 命题；D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D 若p:x>2成立，则q:x2>2成立， 是全称量词命题故选C 反之，若q:x2>2成立，则p:x>2未必成立， (2)由于0>0不成立，故“Vx∈R,x2>0”为假命题，根据 即p是g成立的充分不必要条件，故选B. 全称量词命题的否定是存在量词命题可知，“Hx∈R,x2> 2.A对于“x>0”→“x≠0”，反之不一定成立.即x>0是x≠0 0”的否定是“xeR,x2≤0”，故选B. 的充分不必要条件，故选A. 3.AAB2+AC2=BC2→△ABC是直角三角形，△ABC是直角三 第二章等式与不等式 角形≠AB2+AC2=BC,故选A. 2.1等式 4.充分必要因为ACB,由子集的定义知x∈A→x∈B,故 “x∈A”是“x∈B”的充分条件：“x∈B”是“xEA”的必要条件. 2.1.1 等式的性质与方程的解集 5.(-0,6]由“x>a”是“x>6”的必要条件，知a≤6，故实数 a的取值范围为(-∞，6]. 必备知识探新知 知识点1：a+c=b+cac=bc 章末整合 对应练习 素养突破提技能 (1)×(2)×(3)×(4)√(1)中，由等式的性质1可 例1：(1)由题知，A={2,3,4},B={x∈R1(x-1)(x-2)=0} 得a-c=b-c,而不是a-c=c-b,故(1)错误， =1,2}. (2)中，根据等式的性质2，只有当a≠0时，等式两边才能同 (2)由题知，A∩B={2},AUB={1,2,3,4}, 时除以a,从而得到a=b,故(2)错误 所以C(AUB)=0,5,6. (3)中，根据等式的性质2，只有当c≠0时，等式两边才能同时 例2：a<-2或7≤a<1因为a<1,所以2a<a+1, 除以c,从而得到9=么，故(3)错误 cC 所以B≠O. (4)中，由分式的分母不为0可知c≠0，根据等式的性质2，等 画数轴如图所示 式两边同时乘以c,可得a=b,故(4)正确. 知识点2：1.任意实数2.(1)a2+2ab+b2a2+b2+c2+ 2ab+2bc+2ac(2)(a+b)(a-b)(3)(a-b)(a2+ab+b2) 2aa+1-1012aa+1 3.(1)(x+a)(x+b)C 由BCA知，a+1<-1,或2a≥1. 对应练习 即a<-2,或a≥2 (1)×(2)×(3)×(1)(2a+5)(2a-5)=(2a)2-25 =4a2-25. 已知a<1,所以a<-2,或3≤a<1, (2)x2-3xy-4y=(x+y)(x-4y). (3)若(x+2)(x-3)=0,可化为x+2=0或x-3=0. 即所求a的取值范围是a<-2或7<a<l 知识点3： 例3：(1)由MnP={xl5<x≤8}，得-3≤a≤5， 对应练习 因此MnP={xl5<x≤8}的充要条件是-3≤a≤5， 1.{-3}2.3x+y2 即a的取值范围为al-3≤a≤5}. 关键能力攻重难 (2)求实数a的一个值，使它成为M∩P={xl5<x≤8}的例1：(1)A(2)D(1)设“●”“■”“▲”的质量分别为x,y,2, 一个充分但不必要条件，就是在集合{al-3≤a≤5}中取 由题图可知，2x=y+z①，x+y=z②，②两边都加上y,得x 一个值，如取a=0,此时必有M∩P=x15<x≤8}；反之， +2y=y+z③，由①③，得2x=x+2y,所以x=2y,代人②， MnP={x15<x≤8}未必有a=0,故a=0是所求的一个 得z=3y,因为x+z=2y+3y=5y,所以“？”处应放5个 充分但不必要条件.（答案不唯一） “■”.故选A. -165