1.2.3 充分条件、必要条件-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教B版）

025 课堂检测 固双基 1.下列说法中正确的有 (）3.命题“Hx∈R,x3-x2+1≤0”的否定是 ①用自然语言描述的全称量词命题的否定形式是唯一的； A.3xeR,x3-x2+1≥0 ②全称量词命题的否定一定是存在量词命题，存在量 B.]x∈R,x3-x2+1>0 词命题的否定一定是全称量词命题； C.3xeR,x3-x2+1≤0 ③命题一p的否定是p; D.VxER,x-x2+1>0 ④3x∈M,p(x)与Hx∈M,p(x)的真假性相反， 4.若命题p:3x∈R,使得x2-x-2=0,则p为 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.命题“正多边形的内角都相等”的否定是 2.若命题p:]x∈R,2x2+1≤2，则该命题的否定是( A.]x∈R,2x2+1>2 夯基提能作业 B.3x∈R,2x2+1≥2 请同学们认真完成练案[7] C.Hx∈R,2x2+1≤2 D.VxER,2x2+1>2 1.2.3充分条件、必要条件 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.理解充分条件、必要条件的定义.（难点) 1.通过充分条件、必要条件的判断，提升逻辑推理 2.会判断充分条件、必要条件、充要条件.（重点） 素养 3.会根据充分不必要条件、必要不充分条件求字母的 取值范围.（重点） 2.通过充分条件、必要条件、充要条件的应用，培养数 学运算素养 4.会进行简单的充要条件的证明.（重点、难点） 必备知识探新知 知识点1 充分条件与必要条件 思考1：(1)p是9的 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则g”是假命题 充分条件与q是p的 必要条件所表示的推 推出关系 p台q 出关系是否相同？ p是q的 条件 p不是g的 条件 (2)以下五种表述形 条件关系 9是p的 条件 q不是p的 条件 式：①p→q;②p是q 提醒：对于命题“若P,则q”的条件和结论，我们都视为条件，只看“一”的推出方 的充分条件；③q的充 向，“箭尾”是“箭头”的充分条件，“箭头”是“箭尾”的女要条件 分条件是P;④q是p P[思考1] 的必要条件；⑤p的必 ●对应练习 要条件是9.这五种表 1.思考辨析（正确的打“V”,错误的打“×”） 述形式等价吗？ (1)“x=3”是“x2=9“的必要条件. () 提示：(1)相同，都是 (2)“x>0”是“x>1”的充分条件 () p→q.(2)等价. (3)如果p是q的充分条件，则p是唯一的. () 2.“x2=2x”是“x=0”的条件，“x=0”是“x2=2x”的 (选填“充分”或“必 要”)条件. 026 知识点2用集合知识理解充分条件和必要条件 1.充分条件、必要条件与集合的关系 A=xx满足条件p},B={xlx满足条件q ACB p是g的充分条件q是p的必要条件 A正B p是q的不充分条件q是p的不必要条件 BCA q是p的充分条件p是q的必要条件 BCA q是p的不充分条件p是q的不必要条件 2.判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系 (1)判定定理给出了相应数学结论成立的一个充分条件. 思考2：(1)若p是g (2)性质定理给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 的充要条件，则命题p 和g是两个相互等价 ●对应练习 的命题，这种说法 1.x,y∈R,下列各式中哪个是“y≠0”的必要条件 ( 对吗？ A.x+y=0 B.x2+y2>0 (2)“p是q的充要条 C.x-y=0 D.x3+y3≠0 件”与“p的充要条件 2.设集合M=xl0<x≤3}，N={xl0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的 条 是q”的区别在哪里？ 件.（填“充分”或“必要”） 提示：(1)正确.若P 知识点3充要条件 是q的充要条件，则 1.充要条件的概念 p台→q,即p等价于q 般地，如果既有 ,又有 ,就记作p台9.此时，我们说，P是g的充 (2)①p是q的充要条 分必要条件，简称 件说明p是条件，q 2.充要条件的判断 是结论 概括地说，如果p台q,那么p与q互为充要条件. ②p的充要条件是q (1)如果p→q且9≠p,则称p是q的充分不必要条件 说明9是条件，P是 (2)如果p共q且q→p,则称p是q的必要不充分条件 结论 (3)如果p≠g且g护p,则称p是q的既不充分也不必要条件. P[思考2] 提醒：充要条件的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p曰q,q曰s,则有ps,即p是s的 充要条件 ●对应练习 1.思考辨析（正确的打“V/”,错误的打“×”） (1)若p是r的充要条件，r是s的充要条件，则s是p的充要条件 ( (2)设x∈R,则x>1是x3>1的充要条件. ( (3)不等式(2x+1)(x-3)≥0成立的充要条件是x≥3. 2.已知集合A={xla-2<x<a+2},B=xlx≤-2或x≥4}，则A∩B=⑦的充要条件 是 关键能力攻重难 ●题型一 充分条件与必要条件的判断 例 .下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件： (1)在△ABC中，P:A>B,9:BC>AC; (2)p:x>1,9:x2>1; (3)p:(a-2)(a-3)=0,9:a=3; ●027 (4)p:a<6,g:g<1: 归纳提升：充分条件、 必要条件的几种判断 (5p:不等式组+4>0， 方法 解集，9：0<x<7. (1)定义法 x-8<0 ①确定谁是条件，谁 是结论 ②尝试从条件推结 论，若条件能推出结 论，则条件为充分条 件，否则就不是充分 条件. ③尝试从结论推条 件，若结论能推出茶 件，则条件为必要条 件，否则就不是女要 条件. (2)命题判断法： [归纳提升] ①如果命题：“若P, )对点训练 则q”为真命题，那 么Pp是9的充分条 1.下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件： 件，同时q是p的必 (1)p:Ixl=lyl,q:x=y; 要条件. (2)P:△ABC是直角三角形，q:△ABC是等腰三角形； ②如果命题：“若p, 则q”为假命题，那 (3)P:四边形的对角线互相平分，9：四边形是矩形； 么卫不是q的充分条 (4)p:a2+b2=0,9:a+b=0. 件，同时q也不是P 的必要条件. (3)利用集合间的包 含关系判断法：如果 条件P和结论q对应 的集合分别为A,B, 那么若A军B,则P是 9的充分不女要条 件：若A吴B,则p是 (的必要不充分条 件：若A=B,则p既 是9的充分条件，又 是q的必要条件. ●题型二 充要条件的证明 归纳提升：充要条件 的证明思路 例之证明：元二次方程+6c+c=0(a≠0)有-个正根和-个负根的充要条件 证明充要条件时要从 充分性和必要性两个 是ac<0. 方面分别证明. 思路探究：分清充分性与必要性，理清证明方向 以证明“p成立的充 要条件为q”为例. (1)充分性·把q当作 已知条件，结合命题的 前提条件，推出P: (2)女要性：把p当 作已知条件，结合命 题的前提条件，推 出4 证明的关健是分清娜 个是条件，哪个是结 论，然后确定推出方 向，至于先证明充分 ●[归纳提升]性还是先证明女要性 则无硬性要求」 028 对点训练 2.已知关于x的方程ax2+bx+c=0(※)，判断a+b+c=0是否是方程（※）有一个根 为1的充要条件 归纳提升：根据充分、 必要、充要条件求参 数的取值范围的步骤 ●题型三利用充分、必要、充要条件求参数范围 (1)记集合M={x1 p(x),N=Ixlq(x). 3.若p:0<x<3是q:2x-3<m的充分不必要条件，则实数m的取值范围 是 (2)根据题中条件将 思路探究： Pp是q的充分 问题转化为集合之间 不必要条件 >D→q,且9台p→列不等式求解 的关系：若p是q的 充分不女要条件，则 [归纳提升] M军V:若p是q的必 对点训练 3.若p:x2+x-6=0是q:ax+1=0的必要不充分条件，则实数a的值为 要不充分条件，则N 军M:若p是q的充 易混易错警示混淆充分条件与必要条件 要条件，则M=N 4.使不等式(2x+1)(x-3)≥0成立的一个充分不必要条件是 () (3)根据集合间的关 A.x≥0 B.x<0或x>2 C.xe-1,3,5 D≤-7或≥3 系列关于参裁的不等 式（组）. 错因探究：本题容易颠倒充分性和必要性，认为要在选项中找出{xx≤-)或 (4)解不等式（组）即可 得参数的取值范围. ≥3}是谁的真子集，从而误选B亭实上，{≤-或*≥3}是结论，我们 要找的是条件p,且条件p满足Py和9户P,即要找类合{：≤-乃或x≥ 3}的真子集。 误区警示：在解答问题时务必看清题干中的问题，明确哪个是条件，哪个是结 论，然后根据充分、必要、充要条件的概念进行判断。 课堂检测 固双基 1.设p:x>√2，q:x2>2,则p是g成立的 ( ) A.充分不必要条件 A.充要条件 B.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知ACB,则“x∈A”是“x∈B”的 条件， 2.“x>0”是“x≠0”的 “x∈B”是“x∈A”的 条件（填“充分”或“必 A.充分不必要条件 1 要”) B.必要不充分条件 5.若“x>a”是“x>6”的必要条件，则实数a的取值范 C.充分必要条件 围是 D.既不充分也不必要条件 夯基提能作业 3.在△ABC中，AB2+AC2=BC是△ABC为直角三角形 请同学们认真完成练案[8] 的-1)2+1,由二次函数的性质知， 对点训练1：(1)因为lxl=Iyl台x=y,但x=y=Ixl=Iyl, 当x=1时，y最大值=1，.m>y最大值=1， 所以p是q的必要不充分条件. 即实数m的取值范围是(1，+∞). (2)△ABC是直角三角形台△ABC是等腰三角形. 方法二：7p:Hx∈R,x2-2x+m>0,是真命题 △ABC是等腰三角形≠△ABC是直角三角形. 设函数y=x2-2x+m,由二次函数的图像和性质知， 所以卫是q的既不充分也不必要条件. 只需方程x2-2x+m=0的根的判别式4<0，即4-4m<0,得 (3)四边形的对角线互相平分台四边形是矩形：四边形是矩 m>1, 形一四边形的对角线互相平分.所以p是q的必要不充分 即实数m的取值范围是(1，+). 条件 课堂检测固双基 (4)由a2+6=0得a=b=0,从而a+b=0;而由a+b=0台 1.C只有(2)，(3)，(4)正确，选C a2+b2=0(如a=1,b=-1),所以p是q的充分不必要条件. 2.D命题p的否定是VxeR,2x2+1>2,故选D. 例2：先证充分性 3.B将量词改变，结论否定，可得3x∈R,x2-x2+1>0.故 由ac<0,可得△=b2-4ac>0,则方程有两个不等实根x 选B 与x2 4.Hx∈R,使得x2-x-2≠0 5.有的正多边形的内角不都相等 由ac<0,可得a,e异号，则·=合<0，则，一正 1.2.3充分条件、必要条件 一负，即方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个正根和一个 负根 必备知识探新知 再证必要性 知识点1：→充分必要充分必要 由方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1,x2异号，得x1x2= 对应练习 1.(1)×(2)×(3)×(1)因为“x2=9”“x=3” 台<0，则c<0 (2)因为“x>0”有“x>1”. 综上，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正根和一 (3)不唯一，如x>3,x>5,x>10等都是x>0的充分条件 负根的充要条件是ac<0. 2.必要充分由于x=0→x2=2x,所以“x2=2x”是“x=0”的对点训练2：因为a+b+c=0, 必要条件，“x=0”是“x2=2x”的充分条件 所以c=-a-b,代人方程ax2+bx+c=0中， 知识点2： 得ax2+bx-a-b=0, 对应练习 即(x-1)(ax+a+b)=0. 1.B因为xy≠0→x≠0且y≠0→x2>0且y2>0→x2+y2>0, 所以方程（※）有一个根为1，所以a+b+c=0→方程（※）有 所以“x2+y2>0”是“y≠0”的必要条件 一个根为1， 2.必要由于NCM,所以“a∈M”是“a∈N”的必要条件. 因为方程aa2+bm+c=0有一个根为1，所以x=1满足方程 知识点3：1.p→qg→p充要条件 ax2+bx+c=0. 对应练习 所以有a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.所以方程（※）有 1.(1)V(2)V (3)× 一个根为1→a+b+c=0,从而a+b+c=0台方程（※）有一 2.0≤a≤2AnB=②a+2≤4， la-23-2,0≤as2. 个根为1， 因此a+b+c=0是方程（※）有一个根为1的充要条件。 关键能力攻重难 例1：(1)由三角形中大角对大边可知，若A>B,则BC>AC;反 例3：[3，+）由题意得p:0<x<3;9:x<m+3 2 在数轴上表 之，若BC>AC,则A>B.因此，P是q的充要条件 ,如图所示，由题意知p→9,9共 (2)由x>1可以推出x2>1;由x2>1,得x<-1,或x>1,不 示出(0,3)和(-” 定有x>1.因此，P是q的充分不必要条件 p则≥3，解得m≥3，即m的取值范围是[3，+0。 (3)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,不能得到 a=3;由a=3可以得出(a-2)(a-3)=0.因此，p是g的 必要不充分条件 3 m+3 (4)由于a<b矜号<L山，由号<1为a<6.因此p是g的 对点训练3：- 由x2+x-6=0,可得x=2或x=-3. 既不充分也不必要条件 (5)不等式组+4>0， 对于ax+1=0,当a=0时，方程无解；当a≠0时，x=二 的解集是xl-4<x<8},又{x0 x-8<0 <x<7}x-4<x<8},所以p是q的必要不充分条件. 由题意知p户g,9→p,则可得a≠0，此时应有-。=2或 164 -日-3，解得a=或a= (3)求实数a的取值范围，使它成为MnP={xl5<x≤8 的一个必要但不充分条件，就是另求一个集合Q,使{a 例4：C由(2x+1)(x-3)≥0得x≤-)或x≥3，选项中只有 -3≤a≤5}是集合Q的一个真子集，易知当a≤5时，未必 有MnP=xl5<x≤8}，但是M∩P=x5<x≤8}时，必 1-135{≤-2或≥3} 有a≤5，故ala≤5}是所求的一个取值范围.（答案不唯一） 即只有“x∈{-1,3,5}”是“不等式(2x+1)(x-3)≥0成例4：(1)C(2)B(1)A中命题可改写为：任意一个实数乘以 立”的充分不必要条件， 零都等于零，故A是全称量词命题：B中命题可改写为：任 课堂检测固双基 意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；C中命题可 改写为：高一(1)班存在部分同学是团员，C不是全称量词 1.B9:x2>2,解得x>2或x<-√2； 命题；D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D 若p:x>2成立，则q:x2>2成立， 是全称量词命题故选C 反之，若q:x2>2成立，则p:x>2未必成立， (2)由于0>0不成立，故“Vx∈R,x2>0”为假命题，根据 即p是g成立的充分不必要条件，故选B. 全称量词命题的否定是存在量词命题可知，“Hx∈R,x2> 2.A对于“x>0”→“x≠0”，反之不一定成立.即x>0是x≠0 0”的否定是“xeR,x2≤0”，故选B. 的充分不必要条件，故选A. 3.AAB2+AC2=BC2→△ABC是直角三角形，△ABC是直角三 第二章等式与不等式 角形≠AB2+AC2=BC,故选A. 2.1等式 4.充分必要因为ACB,由子集的定义知x∈A→x∈B,故 “x∈A”是“x∈B”的充分条件：“x∈B”是“xEA”的必要条件. 2.1.1 等式的性质与方程的解集 5.(-0,6]由“x>a”是“x>6”的必要条件，知a≤6，故实数 a的取值范围为(-∞，6]. 必备知识探新知 知识点1：a+c=b+cac=bc 章末整合 对应练习 素养突破提技能 (1)×(2)×(3)×(4)√(1)中，由等式的性质1可 例1：(1)由题知，A={2,3,4},B={x∈R1(x-1)(x-2)=0} 得a-c=b-c,而不是a-c=c-b,故(1)错误， =1,2}. (2)中，根据等式的性质2，只有当a≠0时，等式两边才能同 (2)由题知，A∩B={2},AUB={1,2,3,4}, 时除以a,从而得到a=b,故(2)错误 所以C(AUB)=0,5,6. (3)中，根据等式的性质2，只有当c≠0时，等式两边才能同时 例2：a<-2或7≤a<1因为a<1,所以2a<a+1, 除以c,从而得到9=么，故(3)错误 cC 所以B≠O. (4)中，由分式的分母不为0可知c≠0，根据等式的性质2，等 画数轴如图所示 式两边同时乘以c,可得a=b,故(4)正确. 知识点2：1.任意实数2.(1)a2+2ab+b2a2+b2+c2+ 2ab+2bc+2ac(2)(a+b)(a-b)(3)(a-b)(a2+ab+b2) 2aa+1-1012aa+1 3.(1)(x+a)(x+b)C 由BCA知，a+1<-1,或2a≥1. 对应练习 即a<-2,或a≥2 (1)×(2)×(3)×(1)(2a+5)(2a-5)=(2a)2-25 =4a2-25. 已知a<1,所以a<-2,或3≤a<1, (2)x2-3xy-4y=(x+y)(x-4y). (3)若(x+2)(x-3)=0,可化为x+2=0或x-3=0. 即所求a的取值范围是a<-2或7<a<l 知识点3： 例3：(1)由MnP={xl5<x≤8}，得-3≤a≤5， 对应练习 因此MnP={xl5<x≤8}的充要条件是-3≤a≤5， 1.{-3}2.3x+y2 即a的取值范围为al-3≤a≤5}. 关键能力攻重难 (2)求实数a的一个值，使它成为M∩P={xl5<x≤8}的例1：(1)A(2)D(1)设“●”“■”“▲”的质量分别为x,y,2, 一个充分但不必要条件，就是在集合{al-3≤a≤5}中取 由题图可知，2x=y+z①，x+y=z②，②两边都加上y,得x 一个值，如取a=0,此时必有M∩P=x15<x≤8}；反之， +2y=y+z③，由①③，得2x=x+2y,所以x=2y,代人②， MnP={x15<x≤8}未必有a=0,故a=0是所求的一个 得z=3y,因为x+z=2y+3y=5y,所以“？”处应放5个 充分但不必要条件.（答案不唯一） “■”.故选A. -165