1.2.1 命题与量词-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教B版）

018 1.2常用逻辑用语 1.2.1命题与量词 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.理解命题的含义，并会判断其真假. 1.通过对命题、全称量词、存在量词的理 2.理解全称量词与全称量词命题的定义；理解存在量词与存在量词 解，培养数学抽象素养。 命题的定义， 2.借助全称量词命题和存在量词命题的 3.能准确地使用全称量词和存在量词符号（即“V,彐”）来表述相关的 数学内容（重点） 应用，提升数学运算能力： 3.通过对命题真假的判定，培养逻辑推 4.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的 理的数学素养。 真假.（重点、难点） 必备知识 探新知 知识点1命题 定义 可供 判断的陈述语句 真命题：判断为真的语句 分类 假命题：判断为假的语句 数学中的命题，经常借助符号和式子来表达 注意 ,个命题，要么是真命题，要么是假命题，不能同时既是真命题又是假命题 ●对应练习 1.下列语句是命题的有 (填序号) ①霄是有理数；②3x≤5：③梯形是不是平面图形呢？④一个数的算术平方根一定是负数 2.下列命题中，真命题是 ,假命题是 .(填序号) (1)正方形既是矩形又是菱形： (2)当x=4时，2x+1<0: (3)若x=3或x=7,则(x-3)(x-7)=0; (4)一个正整数不是素数就是合数： (5)若xeN,则x2+4x+7>0. 知识点2全称量词与全称量词命题、存在量词与存在量词命题 全称量词 存在量词 量词 任意、所有、每一个 存在、有、至少有一个 符号 3 命题 含有 的命题称为全称量词命题 含有 的命题称为存在量词命题 “对集合M中所有元素x,r(x)”,可用符号简记 “存在集合M中的元素x,s(x)”,可用符号简记为 命题形式 为“ 提醒：1.一个全称量词命题可以包含多个变量，有些命题虽然省去了全称量词，但是仍然为全称量词命题； 2.一个存在量词命题可以包含多个变量，如果一个命题含有存在量词，不管包含的范围有多大，都是存在量词命题 ●019 ●对应练习 [思考] 思考：“一元二次方程 1.思考辨析（正确的打“V”,错误的打“×”） ax2+2x+1=0有实 (1)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题 数解”是存在量词命 (2)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题. 题还是全称量词命 ( 题？请改写成相应命 (3)全称量词命题一定含有全称量词. 题的形式. 2.下列命题中，全称量词命题的个数为 提示：是存在量词命 ①平行四边形的对角线互相平分； 题，可改写为“存在 ②梯形有两边平行； x∈R,使ax2+2x+1 ③存在一个菱形，它的四条边不相等， =0”. A.0 B.1 C.2 D.3 关键能力 攻重难 ●题型一 命题真假的判断 例判断下列所句是不是命题？若是，刘断其真假，并说明理由 (1)奇数的平方仍是奇数； (2)两条对角线互相垂直的四边形是菱形； (3)5x>4x; (4)未来是多么美好啊！ (5)你是高二的学生吗？ (6)若x+y是有理数，则x,y都是有理数. 归纳提升：命题及命 题的真假的判断方法 (1)判断一个语句是 不是命题，关健看这 [归纳提升] 个语句是否具备命题 )对点训练 的两个特征·一是陈 1.下列语句是不是命题？若是，判断其真假，并说明理由. 述句，二是能判断 (1)一个数不是合数就是质数 真假. (2)x≥16. (2)在说明一个命题 (3)一个实数不是正数就是负数. 为真命题时，应进行 (4)x=2或x=3是方程x2-5x+6=0的根. 严格的推理证明；而 (5)空集是任何非空集合的真子集， 要说明一个命题是假 命题，只要举出一个 反例即可. 020 ●题型二全称量词命题与存在量词命题 归纳提升：判断全称量词 角度1全称量词命题与存在量词命题的识别 命题与存在量词命题的 例2判下列命版是全称量词命题，还是存在量词命感： 方法 (1)凸多边形的外角和等于360°： 判断一个命题是全称量 (2)有的速度方向不定； 词命题还是存在量词命 (3)对任意直角三角形的两锐角∠A,∠B,都有sin∠A=cos∠B. 题的关健是看量词.由于 某些全称量词命题的量 词可能省略，所以要根据 命题表达的意义判断，同 时要会用相应的量词符 号正确表达命题 P[归纳提升] 角度2 全称量词命题与存在量词命题的真假的判断 例3判断下列命题的真积 (1)所有的素数都是奇数； 归纳提升：全称量词命题 与存在量词命题的真假 (2)任意矩形的对角线相等； 判断的技巧 (3)存在x∈R,使x2+2x+3=0. (1)全称量词命题的真假 判断。 要判定一个全称量词命 题是真命题，女须对限定 集合M中的每个元素x 验证p(x)成立；但要判定 全称量词命题是假命题， 只要能举出集合M中的 一个x=x,使得p(x)不 ●[归纳提升] 成立即可（这就是通常所 )对点训练 说的“举出一个反2.指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假。 例”). (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x,y)都对应一点. (2)存在量词命题的真假 (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数. 判断 (3)3x,yeZ,使3x-4y=20. 要判定一个存在量词命 题是真命题，只要在限定 集合M中，我到一个x= x,使P(x)成立即可；否 则，这一存在量词命题就 是假命题 021 ● 题型三依据含量词命题的真假求参数取值范围 例41)已知命题p():x+1>x为真命题，求x的取值范围： (2)存在x∈R,使x2+x+a=0成立，求实数a的取值范围； (3)已知集合A={xlx>2},B={xx>t,若Ha∈A,都有a∈B成立，求实数t归纳提升：在求命题 的取值范围。 中参裁的取值范围 思路探究：把存在与恒成立问题转化为不等式端点值的大小关系. 时，若命题中含有量 词，则首先要注意量 词是“H“还是 “”，其含义不 同，不要混清：其次 要注意所给命题是真 命题还是假命题，特 别是已知命题为假命 [归纳提升] 题，求参数的取值范 )对点训练 围时要注意等价 3.已知命题p:3x>0,x+a-1=0,若p为假命题，则a的取值范围为 ( 转化. A.(-0,1) B.(-,1] C.(1,+∞) D.[1,+∞) 课堂检测 固双基 1.下列语句不是命题的有 C.不相交的两条直线是平行直线 ①若a>b,b>c,则a>c:②x>2;③3<7. D.存在实数大于等于1 A.0个 B.1个C.2个 D.3个 4.命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x)2>0”用 2.下列命题是假命题的是 “了”写成存在量词命题为 A.Hx∈R,x2≥0 B.HxeN,x≥1 C.3xEZ,x<1 D.]x∈Q,NxQ 5.若Hx∈(-o,2],x≤a恒成立，则实数a的取值范 3.下列命题是存在量词命题的是 ) 围是 A.对顶角相等 夯基提能作业 B.正方形都是四边形 请同学们认真完成练案[6] 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 素养目标 定方向 学习目标 核心素养 1.能正确写出一个命题的否定，并能够判断其真假. 2.理解含有一个量词的命题的否定的意义，会对含有1.通过对命题的否定的认识，提升数学抽象素养 一个量词的命题进行否定.（重点） 2.通过对含有一个量词的命题的否定的理解，提升逻 3.掌握全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量 辑推理的素养. 词命题的否定是全称量词命题.（重点、难点）.{3}二A二{1,2,3}. 5.{xlx<0,或x≥1}因为CA={xlx>2,或x<0},B={yl1≤ 又CB=3,4},AnCB={3. y≤3}， 例3：方法一（直接法）：由A={xlx+m≥0}={xlx≥-m},得 所以(CA)UB={xlx<0,或x≥1}. CuA=xlx<-m. 1.2常用逻辑用语 因为B={x-2<x<4},(C4)∩B=☑，结合数轴 B 1.2.1 命题与量词 -m-2 必备知识探新知 、 所以-m≤-2，即m≥2，所以m的取值范围是{mlm≥2}. 知识点1：真假 方法二（集合间的关系）：由(CA)∩B=O可知BCA, :对应练习 又B={xl-2<x<4},A={xlx+m≥0}={xlx≥-m}, 结合数轴： 1.①④①“牙是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是 A 命题 。B ②因为无法判断“3x≤5”的真假，所以它不是命题， m -2 ③“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题 得-m≤-2，即m≥2.所以m的取值范围是mlm≥2}. ④“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假 对点训练3：A=xl-2≤x≤5}， 的，所以它是命题 .CA={xlx<-2或x>5}. 2.(1)(3)(5)(2)(4)(1)是真命题，由正方形的定义知，正 如图所示： 方形既是矩形又是菱形. CoA CoA (2)是假命题，x=4不满足2x+1<0. (3)是真命题，x=3或x=7能得到(x-3)(x-7)=0. B B☒ (4)是假命题，由于整数1既不是素数，也不是合数 aa+2-2 5aa+2 (5)是真命题，因为当x∈N时，x2+4x+7>0恒成立，所以该语 又BC(CA),a+2<-2或a>5, 句是命题，且是真命题 故得a<-4或a>5, 知识点2：全称量词存在量词HxeM,r(x)3xeM,s(x) .a的取值范围为(-0，-4)U(5,+∞). 对应练习 例4：设全集U={ml4=(-4m)2-4≥0}= 1.(1)V(2)V(3)×有些命题虽然没有写出全称量词， {烟-或m} ! 但其意义具备“任意性”，这类命题也是全称量词命题，如“正 若A∩B=☑，则方程2-4mx+1=0的两根x1x2均非负， 数大于0”，即“所有正数都大于0”. 又.x1x2=1>0, !2.C①②是全称量词命题，③是存在量词命题 ·方程x2-4mx+1=0有两正根，则有 关键能力攻重难 meU, 例1：(1)是命题，而且是真命题. +=4m>0.解得m≥ (2)是命题，而且是假命题.对角线互相垂直平分的四边形 才是菱形.如图，四边形ABCD中，只满足AC⊥BD,显然不 因为{mm≥关于U的补集为{mm≤-} 是菱形. 所以实数m的取值范围为{mm≤-2} 课堂检测固双基 1.A由题意可得CN=2,4,8},则MUCN={0,2,4,6,8. 故选A. 2.B图中的阴影部分表示的是集合A与B的补集的交集，即为 An(CB),故选B. (3)不是命题.因为x是未知数，不能判断不等式的真假： (4)是感叹句，不涉及真假，不是命题 C. (5)是疑问句，不涉及真假，不是命题， 01 (6)是命题，而且是假命题.如x=2,y=-2,x+y=0是 3.A由维恩图可知，阴影部分在集合B外，同时在集合A内， 有理数，而x,y都是无理数. 应是A∩(CB). 对点训练1：(1)是假命题.例如：1既不是质数也不是合数 4.DA={3,4,5},B=1,3,6},.AUB={1,3,4,5,6},又 (2)不是命题.因为没有给定变量x的值，无法确定其真假. U={1,2,3,4,5,6,7},.C(AUB)=2,7}. (3)是假命题.因为0既不是正数也不是负数 —162 (4)是真命题.代入验证即可. ;对应练习 (5)是真命题.由空集的定义和性质不难得出 1.C命题“Hx∈R,Ixl+x2≥0”是全称量词命题，其否定为存 例2：(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360”，故： 在量词命题，所以命题的否定是3x∈R,Ix1+x2<0. 为全称量词命题 2.任意三角形不是直角三角形命题P是存在量词命题，一p为 (2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题 任意三角形不是直角三角形 (3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题， 3.真 例3：(1)2是素数，但2不是奇数 关键能力攻重难 所以全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题 例1：(1)p:2,3不都是8的约数.真命题 (2)真命题 (2)p:实数的绝对值不都大于零.真命题 (3)由于任意xeR,x2+2x+3=(x+1)2+2≥2，因此使x2 (3)一p:菱形的对角线不垂直或不平分.假命题 +2x+3=0的实数x不存在，所以存在量词命题“存在x∈ (4)p:若xy=0,则x≠0且y≠0.假命题 R,使x2+2x+3=0”为假命题. :对点训练1：(1)p:面积相等的三角形不都是全等三角形.真 对点训练2：(1)全称量词命题.在平面直角坐标系中，任意有序 命题. 实数对(x,y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该 (2)p:若m2+n2=0,则实数m,n不全为零.假命题 命题是真命题 (3)p:实数a,b,c满足abc=0,则a,b,c中都不为0.假 (2)存在量词命题.存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所 命题 以该命题是真命题 例2：(1)该命题的否定：了xeR,2-x+ 4<0 (3)存在量词命题取x=0,y=-5时，3×0-4×(-5)=20成 立，所以该命题是真命题 由于x2-x+ 号-(-)广≥0，是假命题 例4：(1)因为x+1>x,所以1>0（此式恒成立），所以x∈R (2)该命题的否定：存在一个正方形不是菱形，是假命题， (2)因为存在x∈R,使x2+x+a=0成立，所以方程x2+x (3)该命题的否定：存在一条与圆只有一个公共点的直线 +a=0存在实数根，则4=1-4a≥0，解得a≤子，即实数a 不是圆的切线，是假命题 对点训练2：(1)原命题为真命题，命题的否定：存在一个三角形 的取值范围是a 的内角和不为180° 4 (2)原命题为假命题，命题的否定：了x∈N,x3≤x2 (3)因为Va∈A,都有a∈B成立，所以A二B,则t≤2， (3)原命题为假命题，命题的否定：存在被5整除的整数，末位 即实数t的取值范围是t≤2， 数字不是0. 对点训练3：D'p为假命题，等价于方程x+a-1=0无正实 (4)原命题为真命题，命题的否定：存在一对等圆，其面积不 根，即x=1-a≤0，得a≥1， 相等或周长不相等 .a的取值范围为[1，+o). 例3：(1)命题的否定：任意四边形的对角线都互相垂直.是假 课堂检测固双基 命题. 1.B①③是可以判断真假的陈述句，是命题；②不能判断真假， (2)命题的否定：对所有的点(x,y),都不满足y=2x+1.是 不是命题.故选B 假命题. 2.B当x=0时，0eN,但0<1.故“Vx∈N,x≥1”是假命题.故对点训练3：(1)该命题的否定：VxeR,x+2>0.为假命题. 选B. (2)该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形.为假命题， 3.D选项D中含有存在量词“存在”，所以根据存在量词命题 (3)该命题的否定：任意一个偶数都不是素数.为假命题 的定义知选D. 例4：(1)根据题意知，当1≤x≤2时，1≤x2≤4. 4.]x<0,(1+x)(1-9x)2>0存在量词命题“存在M中的一 7p:31≤x≤2，x2-a<0为真命题，所以a>1. 个x,使p(x)成立”可用符号简记为“]x∈M,p(x)” 所以实数a的取值范围是ala>1}. 5.[2,+∞)x≤a恒成立是指a大于等于x的最大值，故a≥2 (2)由(1)知命题p为真命题时，a≤1 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 命题g为真命题时，4=4a2-4(2a+a2)≥0， 解得a≤0，所以7q为真命题时，a>0. 必备知识探新知 知识点1：1.p2.假 所以/s, la>0, 对应练习 解得0<a≤1， (1)圆周率π不是无理数假(2)O不是集合A的子集 即实数a的取值范围为{a0<a≤1}. 假 对点训练4：方法一：7p:HxeR,x2-2x+m>0,是真命题，即 知识点2：1.Hx∈M,p(x)2.3x∈M,7g(x) m>-x2+2x=-(x-1)2+1,xeR恒成立，设函数y=-(x -163