1.1.2 集合的基本关系-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教B版）

008 课堂检测固双基 1.把集合{xx2-3x+2=0用列举法表示为 ( C.{3 D.1,2,3 A.{x=1,x=2 B.{xx=1,x=2 4.集合{xlx-2<3,x∈N{可用列举法表示为 C.x2-3x+2=0 D.{1,2 2.区间(-3,2]用集合可表示为 ( )5.在数轴上集合M=(-2,10)与集合N=[0,13)的公 A.{-2,-1,0,1,2B.{xl-3<x<2 共部分用区间表示为 C.{xl-3<x≤2 D.x|-3≤x≤2 夯基提能作业 3.已知P={1,2},Q={2,3},若M={xlx∈P,且x 请同学们认真完成练案[2] Q},则M= A.{1} B.2 1.1.2 集合的基本关系 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.理解集合之间的包含与相等的含义.（重点） 1.通过对集合之间包含关系与相等的含义以及子集、真 2.能识别给定集合的子集、真子集.（重点）》 子集概念的理解，培养数学抽象素养 2.借助子集和真子集的求解，培养数学运算及逻辑推 3.会用数学符号和维恩图表示两个集合间的关系 理的数学素养 (难点) 3.利用维恩图培养直观想象数学素养 必备知识 探新知 知识点1子集与真子集 1.子集与真子集的定义 思考1：如何理解子 概念 定义 符号表示 示意图 集、真子集的概念？ 提示：1.子集与真子 如果集合A的 元素都是 A B(或 集的定义具有“判 子集 集合B的元素，那么集合A称为集 B A) 定”和“性质”的两 合B的子集 重性 (1)A二B等价于对任 如果集合A是集合B的 ,并 真子集 且B中有一个元素不属于A, A=B(或B子A) 意x∈A,都有x∈B; 那么集合A称为集合B的真子集 (2)A军B等价于AC B,且至少有一个元素 [思考1] x∈B,但x使A 2.子集、真子集的性质 2.ACB包含A=B和 A军B两种情况，真子 (1)任意集合A都是它自身的 ,即ACA. 集是子集的特殊情 (2)空集是任意一个集合A的子集，即☑二A. 况. (3)包含关系的传递性：对于集合A,B,C. ①若ACB,且BCC,则ACC; ②若A手B,B手C,则AC 3.维恩图 如果用平面上一条 的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地 表示集合之间的关系，这种示意图称为维恩图 009 ●对应练习 [思考2] 思考2：(1)任何两个集 1.思考辨析（正确的打V”,错误的打“×”） 合之间是否有包含关系？ (1)任何集合至少有两个子集 () (2)符号“∈”与“C”有 (2){0,1,2}C{2,0,1. () 何不同？ (3)若A二B,且A≠B,则AB. 提示：(1)不一定，如集 (4)集合{0,1}的子集是{0，{1}，{0,1 () 合A={0,1,2},B= 2.下列命题： -1,0,1},这两个集合 ①空集没有子集； 就没有包含关系 ②任何集合至少有两个子集； (2)符号“∈”表示元素 ③空集是任何集合的真子集； 与集合间的关系； 而“二”表示集合与集 ④若0手A,则A≠⑦. 合之间的关系 其中正确的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 思考3：如何理解两集合 3.下列图形中，表示MCN的是 相等？ 提示：1.集合A中的元素 与集合B中的元素相同， A B 则集合A等于集合B,这 知识点2集合相等与子集的关系 是从集合中元素的特征 1.一般地，如果集合A和集合B的元素 则称集合A与集合B相等， 出发来表达两个集合相 记作 ,读作“A等于B” 等，它指明了两个集合的 2.由集合相等以及子集的定义可知：如果 则A=B;反之，如元素特征 果A=B,则 且 P[思考3]2.若A二B且BCA,则 A=B,这是从集合关系的 ●对应练习 角度表达A与B相等，即 1.若M={xl(x-1)(x+2)=0},N={1,-2},P={(x,y)1y=(x-1)(x+2)},则 对任意x∈A,都有x∈B; 这三个集合中，具有相等关系的是」 反之，对任意x∈B,都有 2.设a∈R,若集合{2,9}=1-a,9,则a= x∈A,这说明集合A等于 集合B. 关键能力攻重难 ●题型一 集合之间关系的判断 归纳提升：(1)判断集合 例，指出下列各对集合之间的关系： 关系的方法 ①观察法：一一列举 (1)A={-1,1},B=(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1); 观察 (2)A=xx是等边三角形}，B={xx是等腰三角形}； ②元素特征法：首先确 (3)A=(-1,4),B={xlx-5<0}; 定集合的元素是什么， (4)M=xlx=2n-1,nEN,,N=xlx=2n +1,nEN,. 弄清集合元素的特征， 再利用集合元素的特征 判断关系. ③数形结合法：利用数 轴或维恩图. (2)证明集合间的包含关 系，一般用定义 [归纳提升] 010 归纳提升：1.求集合子对点训练 集、真子集个数的3个 1.(1)能正确表示集合M={x∈RI0≤x≤2和集合N=x∈RIx2-x=0关系的维 步骤 恩图是 ( 根据子集 真子集的概 M 判断 念判断出集 合中含有元 素的可能情 况 (2)已知集合A={xlx2-3x+2=0,B=1,2,C=xlx<8,x∈N{,用适当的符 根据集合中 号填空： 分类 元素的多少 ①AB;②A C;③12}C;④2C. 进行分类 ●题型二确定集合的子集、真子集 例2)袋合M=1,23!的真子集个数是 A.6 B.7 C.8 D.9 采用列举法 (2)满足{1,2}MC{1,2,3,4,5}的集合M有个. [归纳提升] 列举 逐一写出每 种情况的子 对点训练 集 2.(1)已知集合A={-1,0,1},则含有元素0的A的子集的个数为 ( A.2 B.4 C.6 D.8 2.与子集、真子集个数有 关的3个结论 (2)已知集合A={(x,y)Ix+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集及真子集， 假设集合A中含有n个 元素，则有： (1)A的子集的个裁为 2”个 (2)A的真子集的个数为 (2”-1)个 ●题型三利用集合关系求参数的值或取值范围 (3)A的非空真子集的个 数为(2”-2)个 角度1由集合相等求参数 例3已知集合4=2，，B=2,2且4-瓜，求y的值 归纳提升：由集合相等求 参数的方法 解决由两集合相等求参 数问题的关键是明确 “两集合相等即两集合 中所含元素完全相同， 且与元素排列顺序无 关”，利用分类讨论的 [归纳提升] 思想方法呈现所有可能 的对应情况即可.另外， )对点训练 需注意检验所求参裁的 3.已知集合A=x,y,x-y},B=0,xl,y},且A=B,求实数x与y的值， 值是否满足題中的限制 条件，以及是否满足集 合中元素的互异性 011 角度2由集合间包含关系求参数 例 .已知集合A=xl-2≤x≤5}，B=xm+1≤x≤2m-1}. (1)若BA,求实数m的取值范围； (2)若ACB,求实数m的取值范围， 归纳提升：已知集合 间的关系求字母的值 或范围的解题策略 (1)若已知集合是有 限集，求解时，一般根 据对应关系直接列 方程 (2)若已知集合是无 限集，求解时，通常借 助数轴，利用数轴分 [归纳提升] 析法，将各个集合在 )对点训练 裁轴上表示出来，以 4.(1)本例条件不变，若A季B,求实数m的取值范围； 形定裁，还要注意验 (2)本例条件不变，若B二A,求实数m的取值范围。 证端点值，做到准确 无误.一般含“=”用 实心点表示，不含 “=”用空心点表示 (3)此类问题还要注 意是否存在空集的情 况，因为空集是任何 集合的子集。 课堂检测固双基 1.已知集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},集合A3.设集合A={m,n},则集合A的子集个数为（) 与B的关系如图所示，则集合B可能是 (）A.1 B.2 C.4 D.6 B 4.已知集合A=(-∞，3)，集合B=(-∞，m)且ACB, 则实数m的取值集合是 A.{2,4,5} B.{1,2,5} 5.若集合A={x|ax2-3x+2=0}的子集只有两个，则 C.{1,6} D.{1,3} 实数a= 2.已知集合A={1,a,B={1,2,3},那么 夯基提能作业 A.若a=3,则A二BB.若A二B,则a=3 请同学们认真完成练案[3] 、 C.若a=3,则A4B D.若ACB,则a=2故集合{xx2-3x+2=0}用列举法可表示为{1,2. 素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5} 2.C由区间和集合的关系，可得区间(-3,2]可表示为x1-3 含有五个元素：{1,2,3,4,5}. <x≤2}，故选C. 故满足题意的集合M共有7个。 3.AP=1,2},Q={2,3},M=xlxEP,xEQ}, 对点训练2：(1)B根据题意，含有元素0的A的子集为0}，{0， ∴.M={1}.故选A. 1},{0,-1},{-1,0,1},共4个. 4.{1,2,3,4}x-2<3,.x<5. (2).A={(x,y）Ix+y=2,xeN,y∈N}, 又xeNx=1,2,3,4. .A=(0,2),(1,1),(2,0)}, 故该集合可用列举法表示为1,2,3,4}. ∴.A的子集有)，(0,2)}，(1,1)}，(2,0)}，(0,2)，(1,1)}， 5.[0,10)集合M=(-2,10)表示为xl-2<x<10},而集合 {(0,2),(2,0)},(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}. V=[0,13)表示为x10≤x<13},因此在数轴上其公共部分 A的真子集有0，(0,2)}，(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1， 的集合为x0≤x<10},用区间表示为[0,10). 1)},(0,2),(2,0)},(1,1),(2,0)}. 例3：因为A=B,所以集合A与集合B中的元素相同，所以 1.1.2集合的基本关系 必备知识探新知 '或/， 「x=2x, y=2x, 知识点1：1.任意一个二2子集至少2.子集 1 3.封闭曲线 解得∫0， =0,[=4 0或=1 对应练习 或{1 y=2 1.(1)×(2)V(3)V(4)× 验证得，当x=0,y=0时，A=2,0,0}这与集合元素的互 2.B在①中，空集的子集是空集，故①错误； 异性相矛盾，舍去. 在②中，空集只有一个子集，还是空集，故②错误； 在③中，空集是任何非空集合的真子集，故③错误； [x=4 所以x,y的取值为 x=0. 或 在④中，若)A,则A≠⑦，故④正确.故选B. y=1 = 3.C由维恩图知，选C 2 知识点2：1.完全相同A=B2.A二B BCA ACB 对点训练3：由已知A=B=0,1xl,y,所以0∈A. BCA 若x=0,则A={0,0,-y,不满足元素的互异性； 对应练习 若xy=0,即y=0,则B=0,1xl,0},也不满足元素的互异性， 1.M和N2.-1 所以只有x-y=0,即y=x. 关键能力攻重难 所以A={x,xy,x-y=x,x2,0},B=0,Ixl,x. 例1：(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A 所以x2=Ixl,所以x=0(舍)或x=1或x=-1. 与B之间无包含关系 当x=1时，A=B={1,1,0},不满足元素的互异性，故x≠1. (2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边 当x=-1时，A=B={-1,1,0},满足题意.所以x=y=-1 相等的三角形，故A手B 即为所求 (3)集合B={xx<5},用数轴表示集合A,B,如图所示，由 例4：(1)①当B≠⑦时，如图所示。 图可知AB. -2m+1 2m-15 2 m+1≥-2， rm+1>-2, -1 012345 2m-1<5,或2m-1≤5， (4)由列举法知M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},故 2m-1≥m+12m-1≥m+1, N军M. 解这两个不等式组，得2≤m≤3. 对点训练1：(1)B(2)①=②季③④∈ ②当B=时，由m+1>2m-1,得m<2,此时满足BA 例2：(1)B(2)7(1)集合M的真子集所含有的元素的个数 综上可得，m的取值范围为{mlm≤3}. 可以有0个，1个或2个，含有0个为⑦，含有1个有3个真 (2)当A二B时，如图所示，此时B≠ 子集{1}，2}，{3}，含有2个元素有3个真子集{1,2}， {1,3}和{2,3}，共有7个真子集，故选B (2)由{1,2}MC{1,2,3,4,5},可以确定集合M必含有 m+1 -2 52m-1x 元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合 2m-1>m+1, rm>2, M的元素个数分类如下： m+1≤-2，即m≤-3，.m不存在. 含有三个元素：{1,2,3}，1,2,4}，{1,2,5}；含有四个元 2m-1≥5， m≥3， 159 即不存在实数m使ACB. 对应练习 对点训练4：(1)若AB,则集合B肯定不是空集，则有(1)×(2)×(3)×(4)V rm+1≤-2， rm+1<-2, 关键能力攻重难 2m-1>5,或2m-1≥5， 例1：(1)A(2)(5,7](1)A∩B=0,2}-2,-1,0,1,2 2m-1>m+12m-1>m+1, ={0,2}. 不等式组无解，.m不存在 故选A. 即不存在实数m使A至B. (2)将集合A和B在数轴上表示出来， (2)由BCA得，①若B=☑，则m+1>2m-1,即m<2,此时 满足BCA: B ,2m-1≥m+1, -21 57元 ②若B≠☑，则m+1≥-2，解得2≤m≤3. 根据交集的定义，图中阴影部分即为所求，所以A∩B=(5,7]. 12m-1≤5. 对点训练1：{yly≥-1}M={xly=x2-1}=R,W={yly=x2 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为mlm≤3}. -1}={yly≥-1}， 课堂检测固双基 1.D由题意可知BSA由A=1,2,3},结合选项可知，1,3} 故MnW={yly≥-1}. 例2：(1)D(2)A(1)M={xlx2+2x=0,xeR}={0,-2}, CA,故选D. N={xlx2-2x=0,xeR}={0,2},故MUW={-2,0,2}. 2.A当a=3时，A=1,3},B=1,2,3},A二B成立.当ACB (2)在数轴上表示集合M,N,如图所示，则MUN={xlx< 时，a=2或3 -5或x>-3}. 3.C集合A={m,n,则其子集有22=4个.故选C. 4.[3,+∞)将集合A在数轴上表示出来，如图所示， M -5 -3 0 0 3 m (3)A中方程x2+px-2=0两根之积为-2，在{-2,0,1} 要满足A二B,表示实数m的点必须在表示3的点处或在其右 中只能为-2与1，两根和为-p=-1,p=1.同理B中元素 边，故m≥3. 只能为0,1，所以两根之积为q=0, 50或号因为集合A=1a:2-3x+2=0的子集只有两个， 所以，p=1,9=0. 对点训练2：(1)6(2)4(1)因为集合A={x-4<x-1<2} 所以A中只含有一个元素。 =xI-3<x<3},B=xI2x∈N},所以A∩B= 当a=0时，4=号}当a0时，若集合4只有一个元素，由 0,71,号2，}所以AnB的元素的个数为6 一元二次方程判别式4=9-8a=0得a=8 9 (2)依题意，可知满足MUN={0,1,2}的集合N有{2}，{0， 2},{1,2},{0,1,2,共4个 综上，当a=0或a=8时，集合A的子集只有两个 例3：{0,12} 11 A={xlx2-3x+2=0}={1,2},AUB=A9B 1.1.3集合的基本运算 CA. 因此集合B只能为单元素集或☑， 第1课时交集与并集 (1)当B=1}时 必备知识探新知 即1∈B=xlmx-1=0},得m=1; 知识点1：既属于A又属于BA交B xlxEA,且x∈ 同理，当B=2时，得m=2 6 (2)当B=时，即mx-1=0无解，得m=0. 对应练习 A由题意，M={xlx+2≥0}=xlx≥-2}，N={x|x-1< 综上(1)(2)可知，实数m构成的集合为{0,1,2} 0}={xx<1}, !对点训练3：(1)AUB=A,.B二A, 根据交集的运算可知，M∩N={x1-2≤x<1}.故选A. ①当B=0时，k+1>2k-1, 知识点2：两个集合的所有元素A并B{xlx∈A,或x∈B .k<2,满足题意， 对应练习 ②当B≠)，则根据题意如图所示： 1.CMUN=-1,0,1,2. 2.{xl-5<x<3}{xl-3<x<2} 知识点3：A∩B=AAUB=B -3k+12k-14x 160