1.1.2集合的基本关系导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学导学案聚焦集合的基本关系，涵盖子集、真子集、集合相等及传递性等核心知识点。课前预习通过复习元素特性、关系及表示方法衔接旧知，概念探究以问题链引导自主构建新知，形成学习支架。 特色在于概念探究的问题驱动设计，结合维恩图直观呈现集合关系，培养几何直观与抽象能力。典例与变式训练梯度分明，当堂检测即时反馈，助力学生用数学语言表达关系，提升推理意识与应用能力。

学案导学 编号：gqlx-bx1-1-3 1.1.2　集合的基本关系 课前预习 复习回顾： （1）集合中元素的特性 （2）元素与集合之间的关系是 （3）集合的表示方法 概念探究： 1、子集： 对于两个集合A和B，如果集合A中 一个元素都是集合的元素，那么集合 叫作集合的________，记作_____或______（读作：包含于或包含） 探究一 ： 有两种可能： ① 、② ； 探究二： “”与“”的区别： 。 特别规定： 空集是任何集合的子集；任何一个集合是它本身的子集； 2、真子集：对于两个集合与，如果，并且中至少有一个元素不属于，那么 集合叫做的______，记作：_______或________，读作真包含于或真包含. 注：（1）空集是任何非空集合的真子集。 （2）判定A是B的真子集，即判定“任意，且存在”； 3、集合相等： 对于两个集合A与B，如果_________________________,反过来， __________________就说 记作=（读作集合等于集合）； 注： （1）如果两个集合所含的元素完全相同，那么这两个集合相等； （2）且A=B 4、集合关系的传递性：，； AB, BC AC 5、集合的维恩图表示法 我们常用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合，这种图形通常叫做_________. A B B A 图（3） 如果集合A是集合B的真子集，那么就把表示A的区域画在表示B的区域的内部（如图（3）） 6、集合关系与其特征性质之间的关系 一般地，设A={x|p(x)}，B={x|q(x)}，如果_______，则. 于是x具有性质p(x)x具有性质q（x），即____________； 反之，如果__________,则A一定是B的子集。 显然，如果 ,则A=B；反之，如果_____ _,则p(x) q(x)。 课前热身： 1．集合{0,1}的子集有（ ） A．1个　　　　　　B．2个 C．3个 D．4个 2．若M＝{x|－1＜x＜1}，则（ ） A．{0}∈M B．∅∈M C．0⊆M D． {0}⊆M 3．若A＝{x|1＜x＜2，x∈R}，B＝{x|x＜a}，且A B，则实数a的取值范围是________． 4．已知集合U，S，T，F的关系如图所示， 则下列结论： 1 S⊆U；② F⊆T；③ S⊆T；④ S⊇F；⑤ S⊆F；⑥ F⊆U.正确的有________． 1.1.2集合的基本关系 课堂讲练 典例精析： 题型一 : 子集、真子集个数问题 例1、 设集合A=，B=，C= ，D= ，分别求出集合A、B、C、D 的所有子集，并总结规律。 思考：（通过例1总结归纳出下面的问题）若集合M中有n个元素， （1）、则集合M的所有子集的个数为 所有真子集的个数为 ， 所有非空真子集的个数为 （2）、集合M的所有子集中，“最穷”的子集是 ，“最富”的子集是 。 变式训练1：（1）、若集合A=,则满足的集合B的个数是( )， 满足CA的集合C的个数是( ) A．6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 （2）、已知集合M满足写出集合所有可能的集合M. 。 题型二： 有关两个集合相等的问题 例2、已知M={2，a, b}, N={2a, 2, b}, 且M=N，求a, b的值。 变式训练2：设A={x, x, xy},B={1，x, y}, 且A=B,求实数x, y的值。 题型三： 已知集合的关系求参数取值范围 例3 设集合A=,B=，若， 求实数的取值范围。 变式训练3. 已知集合A= B=，若.则实数m=__________ 当堂检测： 1、下列命题： （1）空集无子集； （2）空集是任何集合的真子集； （3）任何集合至少有两个子集； （4）若ΦA则。其中正确的有（ ） A．0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2、在以下五个选择中 (1). Φ{0} (2).. (3). (4). （5）. . 错误命题的个数是( ) A．3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 3、.已知集合,且A中至少有两个元素,满足条件的集合A共有( ) A．3个 B. 4个 C. 5个 D. 8个 4、 设集合A=,B=，若.求实数的取值范。 1.1.2　集合的基本关系 课后练 1.满足{a,b,c,d}的集合M共有 （ ） A．6个 B. 7个 C. 8个 D. 15个 2.设A=,B=若AB,则实数的取值范围 （ ） A． B. C. D. 3. 已知集合A= B=,则A与B的关系正确的是 （ ） A． B. AB C.BA D. 4 集合的子集有（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 5. 集合A=, B=, 则有（ ） A. A=B B. AB C.BA D. 以上都不是 6. 下列关系式中正确的个数是（ ） ；；；0；；. A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 小于4个 7. 集合A=, B=, 则下列关系正确的 是 （ ） A. A=B B. BA C. AB D. AB 8. 已知集合A=, B=, 且A=B, 则实数x=___, y=_____. 9. 已知M=, N=, 则集合M和N的关系为__ 10. 已知集合A=, B=, 且AB, 求p,q满足的条件. 11. 已知a, x, A=, B=, 求： （1）使A=的x的值； （2）使2，BA的a, x的值； 12. 已知非空集合， （1）若.求实数的取值范围； （2）若A=B，求的值。 1 学科网（北京）股份有限公司 $学案导学 gqlx-bx1-1-3 1.1.2　集合的基本关系（解析版） 课前预习 复习回顾 (1) 集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性 (2) 元素与集合之间的关系是：属于 (∈)、不属于 (∉) (3) 集合的表示方法：列举法、描述法、区间法、韦恩图法 概念探究 1、子集：对于两个集合 A 和 B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 的元素，那么集合 A 叫作集合 B 的子集，记作或（读作：A 包含于 B 或 B 包含 A）。 探究一：有两种可能： ① （两个集合完全相等）；② 是的真子集，。 探究二： 与 的区别： 描述元素与集合的从属关系；描述集合与集合之间的包含关系。 特别规定：空集是任何集合的子集；任何一个集合是它本身的子集。 2、真子集：对于两个集合 A 与 B，如果，并且 B 中至少有一个元素不属于 A，那么集合 A 叫做 B 的真子集，记作或，读作 A 真包含于 B 或 B 真包含 A。 注： (1) 空集是任何非空集合的真子集。 (2) 判定是的真子集：任意，并且存在，使得。 3、集合相等：对于两个集合 A 与 B，如果，并且，反过来也成立，就说集合 A 与集合 B 相等，记作（读作集合 A 等于集合 B）。 注： (1) 如果两个集合所含的元素完全相同，那么这两个集合相等； (2) 且 。 4、集合关系的传递性： ，； ，。 5、集合的韦恩图表示法 我们常用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合，这种图形通常叫做韦恩图 (Venn 图)。 如果集合 A 是集合 B 的真子集，那么就把表示 A 的区域画在表示 B 的区域的内部。 6、集合关系与其特征性质之间的关系 一般地，设，，如果，则。 于是具有性质具有性质。 反之，如果 \\\\，则 A 一定是 B 的子集。 显然，如果，则；反之，如果，则。 课前热身 1、集合的子集有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 答案：D 2、若，则 ( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：用于元素和集合，用于集合和集合。是集合，0 是元素。A、B 错把集合当成元素；C 错把元素用成包含符号。 3、若，，，且，则实数的取值范围是。 解析：A 全部元素要落在 B 内部，数轴看，要在 2 或者 2 的右侧，。 4、已知集合的关系如图所示，则下列结论： ①；②；③；④；⑤；⑥。正确的有 。 答案：①③⑥ 解析：韦恩图内层集合是外层集合的子集；T 完全在 S 内部，S 完全在 U 内部；F 不在 T 中。 1.1.2集合的基本关系（解析版） 课堂讲练 典例精析 题型一：子集、真子集个数问题 例1、设集合A=，B=，C= ，D= ，分别求出集合A、B、C、D 的所有子集，并总结规律。 解答 A=，子集：； ，子集：； C= ，子集：； D= 共 16 个子集。 思考总结：若集合中有个元素 (1) 集合的所有子集为； 真子集的为个；非空真子集为。 (2) 集合的所有子集中，“最穷” 的子集是（不含任何元素），“最富” 的子集是集合 M 本身。 变式训练 1 (1) 若集合，则满足的集合的个数是 ( )；满足的集合的个数是 ( ) A.6 个 B.7 个 C.8 个 D.9 个 答案：C；B 解析：，子集个；真子集个。 (2) 已知集合满足，写出所有可能的集合。 解答：M 必须包含 1,2；可以选 3,4,5 中的部分或者不选。 。 题型二：有关两个集合相等的问题 例 2 已知，，且，求的值。 规范解答： 集合相等，元素全部对应相等，分两种情况讨论，做完必须检验互异性。 情况① 解得：；或. 时，集合出现重复元素，舍去；得到一组解：。 情况② 把代入：，，。 ，则，元素重复舍去； 得到第二组解：。 综上两组解： 或 。 变式训练 2 设，，且，求实数的值。 解答：两集合相等，去掉公共元素，分两类： ①，或 ②，检验互异性，最终得：答案： 题型三：已知集合的关系求参数取值范围 例 3 设集合，，若，求实数的取值范围。 规范解答： 先化简：，。 ，分三种情况：；；；。 1）：方程无实根，判别式 。 2）为单元素集合，。 方程：，解，，满足，可取。 3），即 0，-4 是方程两根，由韦达定理： 解得：。检验成立，可取。 综上取值范围： 或 。 变式训练 3 已知集合，，若，则实数 。 解答： 因为，则。不可能等于，所以只能。 。 检验互异性：当，，，满足。 当堂检测 1、下列命题： (1) 空集无子集；(2) 空集是任何集合的真子集； (3) 任何集合至少有两个子集；(4) 若，则。 其中正确的有 ( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 答案：B 解析：(1) 错，空集子集是自身；(2) 错，空集不是空集的真子集；(3) 错，空集只有 1 个子集；(4) 正确。只有 1 个正确。 2、在以下五个选择中(1). Φ{0} (2).. (3). (4). （5）. . 错误命题的个数是 ( ) A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 答案：A 解析：(1)(2) 正确；(3)(4)(5) 错误，共 3个错误。 3、已知集合，且中至少有两个元素，满足条件的集合共有 ( ) A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.8 个 答案：B 4、设集合，，若，求实数的取值范围。 规范解答： ，分与两类。 ① ：，得。 ② ，则，得。 综合①②：。 1.1.2　集合的基本关系 课后练 1、满足的集合共有 ( ) A.6 个 B.7 个 C.8 个 D.15 个 答案：B 解析：M 必须包含，是的真子集；剩余不能全部选上。 除去，的子集去掉全集，共种。 2、设，，若，则实数的取值范围 ( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：A 所有元素小于 2，要全部落在，必须大于等于 2。 3、已知集合，，则与的关系正确的是 ( ) A. B. C. D. 答案：A 4、集合{}的子集有 ( ) A.5 个 B.6 个 C.7 个 D.8 个 答案：D 解析：3 个元素，子集个数。 5、集合，，则有 ( ) A. B. C. D. 以上都不是 答案：C 解析：B 是部分偶数，A 是全部偶数，B 的全部元素都在 A 中，A 有元素不在 B。 6、下列关系式中正确的个数是 ( ) ①；②；③；④；⑤；⑥ A.6 个 B.5 个 C.4 个 D. 小于 4 个 答案：C 解析：①②③④正确；⑤⑥错误；一共 4 个。 7、集合，，则下列关系正确的是 ( ) A. B. C. D. 答案：C 解析： ；； B 全部元素都属于 A，故。 8、已知集合，且，则实数 ， 。 答案： 解析：集合相等 + 互异性，联立求解，舍去造成重复的解。 9、答案：。 解析：变形：（分子奇数）；（全体整数分子）；M 的元素全部属于 N，N 存在元素不属于 M。则集合和的关系为。 10、已知集合，，且，求满足的条件。 规范解答： ，，分四类： ①：； ②：重根 1，； ③：重根 2，； ④，韦达定理：。 综上：1.；或 2.；或 3.；或 4.。 11、已知，，，，求： (1) 使的的值； (2) 使，的的值。 解答 (1)： ，解得或。 解答 (2)： ；又含有元素 3，，则。 。 12、已知非空集合，} (1) 若，求实数的取值范围； (2) 若，求的值。 规范解答： 均为非空集合： 非空：； 非空：。 (1)，区间落在内部： 解得。 (2)，左右端点对应相等 ，解得，。 检验：，，集合相等。。 教师课堂小结 1. 分清符号：（元素属于集合），（集合包含），考试高频易错。 2. 子集个数公式：个元素，子集，真子集，非空真子集。 3. 已知求参数，务必优先讨论空集情况，非常容易漏掉丢分。 4. 集合相等两类题型：①离散集合，做完检验互异性；②数集区间，端点对齐，验证区间非空。 学科网（北京）股份有限公司 $