1.1.1 第2课时集合的表示方法-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教B版）

004 课堂检测 固双基 1.下列几组对象可以构成集合的是 )A.2 B.-1 A.充分接近π的实数的全体 C.1 D.-2 B.善良的人 4.集合M是由大于-2且小于1的实数构成的，则下列 C.世界著名的科学家 表示正确的是 () D.某单位所有身高在1.7m以上的人 A.5∈M B.0gM 2.若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是 C.1∈M () D.-受eM A.3.14 B.-5 5.已知集合A由a2-a+1,1a+11两个元素构成，若 c号 D.√7 3∈A,则a的值为 夯基提能作业 3.设a,beR,集合A中含有3个元素1，a+b,a,集合B中 请同学们认真完成练案[1] 含有3个元素0，名，b,若A=B,则6-4= 第2课时 集合的表示方法 素养目标 定方向 学习目标 核心素养 1.借助空集、区间的概念，培养数学抽象的素养. 1.掌握集合的两种表示方法.（重点、难点） 2.通过学习集合的两种表示方法，培养数学运算的 2.掌握区间的概念及表示方法.（重点） 素养 必备知识 探新知 知识点1 列举法 把集合中的元素 出来（相邻元素之间用逗号分隔），并写在大括号内，以 思考1：一一列举元素 此来表示集合的方法， 时，需要考虑元素的 提醒：(1)元素与元素之间女须用“，”隔开： 顺序吗？ (2)集合中的元素女须是明确的 提示：用列举法表示 集合时不女考虑元素 (3)集合中的元素不能重复： 的顺序.例如：{a, (4)集合中的元素可以是任何事物. P[思考1] b}与{b,a}表示同一 ●对应练习 个集合 不等式x-3<2且x∈N的解集用列举法可表示为 知识点2描述法 1.特征性质：属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元 素都不具有这个性质，则性质(x)称为集合A的一个特征性质. 2.特征性质描述法（简称为描述法） 集合A可以用它的特征性质p(x)表示为 ●005 3.集合 中所有在另一个集合【中的元素组成的集合，可以表示为 {x∈Ilp(x)}. 提醒：用描述法表示集合的注意点 (1)写清楚集合中的代表元素，如裁或点等： (2)说明该集合中元素的共同属性，如满足的方程、不等式、函数或几何图 形等 (3)所有描迷的内容都要写在大括号内，用于描述内容的语言力求简洁、准确 ●对应练习 由大于-1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为 ,用描述法表示为 知识点3区间及其表示 (1)一般区间的表示. 设a,beR,且a<b,规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {xla≤x≤b} 闭区间 6+ xla<x<b 开区间 6+ 思考2：区间与数集有 何关系？ 半开半 提示：(1)联系：区间 {xla≤x<b 。一一 闭区间 实际上是一类特殊的 数集（连续的）的符号 半开半 xla<x≤b &6+ 表示，是集合的另一 闭区间 种表达形式： (2)实数集R可以用区间表示为(-∞，+0)，“∞”读作“无穷大”.如： (2)区别：不连续的裁 集不能用区间表示，如 符号 (a,+∞) （-0,a] 整数集、自然数集等： 集合 (3)区间与区间之间 {xlx≥a} {xlx≤a} xlx <a 可以用集合的运算符 提醒：(1)“0”是一个特号，而不是一个数 号连接起来，表示两 (2)以“-0”或“+0”为端点时，区间这一端女须是小括号 [思考2]个集合之间的运算 ●对应练习 填空： (1){x|-1≤x≤2}可用区间表示为 (2){x1<x≤3}可用区间表示为 (3){xlx>2}可用区间表示为 (4){xlx≤-2可用区间表示为 006 关键能力 攻重难 归纳提升：用列举法 题型一用列举法表示集合 表示集合的三个步骤 1.用列举法表示下列集合： (1)求出集合的元素 (1)不大于10的非负偶数组成的集合； (2)把元素一一列举出 (2)方程x3=x的所有实数解组成的集合； 来，且相同元素只能列 (3)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合； 举一次 (4)方程组+y=1,的解集 x-y=-1 (3)用花括号括起来 归纳提升：1.描述法 表示集合的2个步骤 分清楚 集合中 写代 的元素 是点还 表元素 是数或 是其他 的元素 [归纳提升] 提醒：用列举法表示集合，要求元素不重复、不遗漏、不计次序，且元素与元素间 用“，”隔开 将集合 中元素 对点训练 明确元素 所具有 1.已知集合A={-2,-1,0,1,2,3},对任意a∈A,有1al∈B,且B中只有4个元素，则 的公共 的特征 特征写 集合B= 在竖线 ●题型二用描述法表示集合 的后面 2.选用列举法或描述 2.用描述法表示下列集合： 法的原则 (1)被3除余1的正整数的集合； 要根据集合元素所具 (2)坐标平面内第四象限的点的集合； 有的属性选择适当的 (3)大于4的所有偶数 表示方法，列举法的 特点是能清楚地展现 集合的元素，通常用 于表示元素较少的集 合，当集合中元素较 多或无限时，就不宜 采用列举法：描述法 的特点是形式简单、 应用方便，通常用于 表示元素具有明显共 同特征的集合，当元 素共同特征不易寻我 或元素的限制条件较 P[归纳提升] 多时，就不宜采用描 对点训练 述法 2.(1)集合{(x,y)1y=2x-1}表示 ( A.方程y=2x-1 B.点(x,y) C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D.一次函数y=2x-1图像上的所有点组成的集合 007 (2)用描述法表示下列集合： ①方程x2+y2-4x+6y+13=0的解集； 归纳提升：用区间表示数 ②二次函数y=x2-10图像上的所有点组成的集合. 集的原则和方法 (1)用区间表示数集的原 则：①数集是连续的： ②左小右大：③区间的 开闭不能弄借. (2)用区间表示裁集的方 法：①区间特号里面的 两个裁宇（或字母）之间 用“，”隔开：②用裁轴 ●题型三区间及其表示 表示区间时，实心点表 示包括区间端点，空心点 例 3.已知aeR,不等式“≥1的解集为P,且-1∈P,则a的取值范围是 表示不包括区间端点 (用区间表示) [归纳提升] )对点训练 3.(1)不等式x-2≥0的所有解组成的集合表示成区间是 A.(2,+0)B.[2,+0) C.(-0,2) D.(-0,2 (2)若[a,3a-1]为一确定区间，则a的取值范围为 归纳提升：集合与方程综 ●题型四集合与方程的综合问题 合问题的解题策略 例41)若集合4=reR1a+2+1=0aeR中只有-个元素，则a (1)对于一些已知某个集 合（此集合中涉及方程） () A.1 B.2 C.0 D.0或1 中的元素个数，求参数 的问题，常把集合的问 (2)设e{--多=0}，则合{女--a=0中所有元素之积转化为岁问 必 题.如对于方程a2+bx 思路探究：(1)集合只有一个元素，即方程ax2+2x+1=0只有一根；(2)先 +c=0,当a=0,b≠0 求出a的值，再求元素之积 时，方程有一个解；当a [归纳提升] ≠0时，若4=0，则方 )对点训练 程有两个相等的实数 4.(1)已知集合A=xx2-ax+b=0},若A={2,3},求a,b的值 根：若△<0，则方程无 (2)若本例(1)中“只有一个元素”变为“至少有一个元素”，求a的取值范围 解；若△>0，则方程有 两个不等的实数根 (2)集合与方程的综合问 题，一般要求对方程中 最高次项的系数的取值 进行分类讨论，确定方 程实数根的情况，进而 求得结果.需特别注意判 别式在一元二次方程的 实数根个裁的讨论中的 作用. 008 课堂检测固双基 1.把集合{xx2-3x+2=0用列举法表示为 ( C.{3 D.1,2,3 A.{x=1,x=2 B.{xx=1,x=2 4.集合{xlx-2<3,x∈N{可用列举法表示为 C.x2-3x+2=0 D.{1,2 2.区间(-3,2]用集合可表示为 ( )5.在数轴上集合M=(-2,10)与集合N=[0,13)的公 A.{-2,-1,0,1,2B.{xl-3<x<2 共部分用区间表示为 C.{xl-3<x≤2 D.x|-3≤x≤2 夯基提能作业 3.已知P={1,2},Q={2,3},若M={xlx∈P,且x 请同学们认真完成练案[2] Q},则M= A.{1} B.2 1.1.2 集合的基本关系 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.理解集合之间的包含与相等的含义.（重点） 1.通过对集合之间包含关系与相等的含义以及子集、真 2.能识别给定集合的子集、真子集.（重点）》 子集概念的理解，培养数学抽象素养 2.借助子集和真子集的求解，培养数学运算及逻辑推 3.会用数学符号和维恩图表示两个集合间的关系 理的数学素养 (难点) 3.利用维恩图培养直观想象数学素养 必备知识 探新知 知识点1子集与真子集 1.子集与真子集的定义 思考1：如何理解子 概念 定义 符号表示 示意图 集、真子集的概念？ 提示：1.子集与真子 如果集合A的 元素都是 A B(或 集的定义具有“判 子集 集合B的元素，那么集合A称为集 B A) 定”和“性质”的两 合B的子集 重性 (1)A二B等价于对任 如果集合A是集合B的 ,并 真子集 且B中有一个元素不属于A, A=B(或B子A) 意x∈A,都有x∈B; 那么集合A称为集合B的真子集 (2)A军B等价于AC B,且至少有一个元素 [思考1] x∈B,但x使A 2.子集、真子集的性质 2.ACB包含A=B和 A军B两种情况，真子 (1)任意集合A都是它自身的 ,即ACA. 集是子集的特殊情 (2)空集是任意一个集合A的子集，即☑二A. 况. (3)包含关系的传递性：对于集合A,B,C. ①若ACB,且BCC,则ACC; ②若A手B,B手C,则AC 3.维恩图 如果用平面上一条 的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地 表示集合之间的关系，这种示意图称为维恩图①若a2-a+1=3,则a=2或a=-1. 数对(x,y),表示点，所以集合{(x,y)1y=2x-1}表示函数y 当a=2时，la+11=3,此时与集合元素的互异性相矛盾，因 =2x-1图像上的所有点组成的集合 此应舍去 (2)①方程x2+y2-4x+6y+13=0可化为(x-2)2+(y+3)2= 当a=-1时，la+11=0≠3，满足题意 0,解得x=2,y=-3, ②若1a+11=3,则a=-4或a=2(舍去). 所以方程的解集为{(x,y)1x=2,y=-3}. 当a=-4时，a2-a+1=21≠3，满足题意. ②“二次函数y=x2-10图像上的所有点”用描述法表示为 综上可知，a=-1或a=-4. {(x,y)ly=x2-10} 第2课时集合的表示方法 例3：(-0，-1】因为-1eP,放≥1，解得a≤-1，所以a 必备知识探新知 的取值范围是(-∞，-1]. 知识点1：一一列举 对点训练3：(1)B (2(宁+） (1)不等式x-2≥0的所 对应练习 有解组成的集合为{xx≥2}，表示成区间为[2，+∞). 1,2,3,4}.x-3<2,.x<5.又x∈N*,.x=1,2,3,4,故 可表示为1,2,3,4}. (2)由区间的定义可知3a-1>a,即a>号 知识点2：2.{xlp(x)} 3.xlp(x) 例4：)D(2)号 （1)当a=0时，原方程变为2x+1=0, 对应练习 -- 此时x=-7符合题意： {0,1,2,3,4}{x∈NI-1<x<5}大于-1小于5的自然 当a≠0时，方程ax2+2x+1=0为一元二次方程， 数有0,1,2,3,4.故用列举法表示集合为0,1,2,3,4} 4=4-4a=0,即a=1,原方程的解为x=-1,符合题意 用描述法表示可用x表示代表元素，其满足的条件是x∈N且 故当a=0或a=1时，原方程只有一个解， -1<x<5.故用描述法表示集合为{x∈N1-1<x<5}. 知识点3：(1)[a,b](a,b)[a,b)(a,b](2)[a, 此时A中只有一个元素。 +o）(-o,a）{xlx>a} 2)因为e{-a多=0}所以（-- 对应练习 9 =0,解得a=- (1)[-1,2](2)(1,3](3)(2,+∞)(4)(-∞，-2] 2 关键能力攻重难 当a=- 吕时，方程-号+号=0的判别式4 例1：(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于 0的意思，所以不大于10的非负偶数组成的集合是{0,2， 24 >0, 4,6,8,10}. (2)方程x3=x的解是x=0或x=1或x=-1,所以方程的 号+号=-0 解组成的集合为0,1，-1： (3)将x=0代入y=2x+1,得y=1,即交点是(0,1)，故交 解得与子5=9， 点组成的集合是{(0,1)}. 所u-9+号=-{份 (4)解方程组+y=L, 得0， x-y=-1,y=1. 故朱合{-”+号=0的所有元素的积为子×9 心用列举法表示方程组+y=1, 的解集为{(0,1) 9 x-y=-1 对点训练1：{0,1,2,3}对任意a∈A,有1aeB,因为集合A=对点训练4：(1)由A={2,3}知，方程x2-ax+b=0的两根为2， {-2,-1,0,1,2,3},由-1，-2,0,1,2,3∈A,知0,1,2,3 4-2a+b=0 3, EB. 9-3a+b=0, 又因为B中只有4个元素，所以B=0,1,2,3}. 解得∫a5, 因此a=5,b=6 例2：(1)根据被除数=商×除数+余数，可知此集合表示为 b=6. {xlx=3n+1,n∈N}. (2)A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素.由例题 (2)第四象限内的点的横坐标大于零且纵坐标小于零，故 解析可知，当a=0或a=1时，A中只有一个元素；当A中有 此集合可表示为{(x,y)Ix>0且y<0}. 两个元素时，4=4-4a>0且a≠0，即a<1且a≠0.所以A中 (3)偶数可表示为2n,neZ,又因为大于4，故n≥3，从而用 至少有一个元素时，a的取值范围为(-∞，1]. 描述法表示此集合为xlx=2n,neZ且n≥3}. 课堂检测固双基 对点训练2：(1)D集合{(x,y)ly=2x-1}中的元素为有序实1.D解方程x2-3x+2=0可得x=1或x=2, 158 故集合{xx2-3x+2=0}用列举法可表示为{1,2. 素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5} 2.C由区间和集合的关系，可得区间(-3,2]可表示为x1-3 含有五个元素：{1,2,3,4,5}. <x≤2}，故选C. 故满足题意的集合M共有7个。 3.AP=1,2},Q={2,3},M=xlxEP,xEQ}, 对点训练2：(1)B根据题意，含有元素0的A的子集为0}，{0， ∴.M={1}.故选A. 1},{0,-1},{-1,0,1},共4个. 4.{1,2,3,4}x-2<3,.x<5. (2).A={(x,y）Ix+y=2,xeN,y∈N}, 又xeNx=1,2,3,4. .A=(0,2),(1,1),(2,0)}, 故该集合可用列举法表示为1,2,3,4}. ∴.A的子集有)，(0,2)}，(1,1)}，(2,0)}，(0,2)，(1,1)}， 5.[0,10)集合M=(-2,10)表示为xl-2<x<10},而集合 {(0,2),(2,0)},(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}. V=[0,13)表示为x10≤x<13},因此在数轴上其公共部分 A的真子集有0，(0,2)}，(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1， 的集合为x0≤x<10},用区间表示为[0,10). 1)},(0,2),(2,0)},(1,1),(2,0)}. 例3：因为A=B,所以集合A与集合B中的元素相同，所以 1.1.2集合的基本关系 必备知识探新知 '或/， 「x=2x, y=2x, 知识点1：1.任意一个二2子集至少2.子集 1 3.封闭曲线 解得∫0， =0,[=4 0或=1 对应练习 或{1 y=2 1.(1)×(2)V(3)V(4)× 验证得，当x=0,y=0时，A=2,0,0}这与集合元素的互 2.B在①中，空集的子集是空集，故①错误； 异性相矛盾，舍去. 在②中，空集只有一个子集，还是空集，故②错误； 在③中，空集是任何非空集合的真子集，故③错误； [x=4 所以x,y的取值为 x=0. 或 在④中，若)A,则A≠⑦，故④正确.故选B. y=1 = 3.C由维恩图知，选C 2 知识点2：1.完全相同A=B2.A二B BCA ACB 对点训练3：由已知A=B=0,1xl,y,所以0∈A. BCA 若x=0,则A={0,0,-y,不满足元素的互异性； 对应练习 若xy=0,即y=0,则B=0,1xl,0},也不满足元素的互异性， 1.M和N2.-1 所以只有x-y=0,即y=x. 关键能力攻重难 所以A={x,xy,x-y=x,x2,0},B=0,Ixl,x. 例1：(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A 所以x2=Ixl,所以x=0(舍)或x=1或x=-1. 与B之间无包含关系 当x=1时，A=B={1,1,0},不满足元素的互异性，故x≠1. (2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边 当x=-1时，A=B={-1,1,0},满足题意.所以x=y=-1 相等的三角形，故A手B 即为所求 (3)集合B={xx<5},用数轴表示集合A,B,如图所示，由 例4：(1)①当B≠⑦时，如图所示。 图可知AB. -2m+1 2m-15 2 m+1≥-2， rm+1>-2, -1 012345 2m-1<5,或2m-1≤5， (4)由列举法知M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},故 2m-1≥m+12m-1≥m+1, N军M. 解这两个不等式组，得2≤m≤3. 对点训练1：(1)B(2)①=②季③④∈ ②当B=时，由m+1>2m-1,得m<2,此时满足BA 例2：(1)B(2)7(1)集合M的真子集所含有的元素的个数 综上可得，m的取值范围为{mlm≤3}. 可以有0个，1个或2个，含有0个为⑦，含有1个有3个真 (2)当A二B时，如图所示，此时B≠ 子集{1}，2}，{3}，含有2个元素有3个真子集{1,2}， {1,3}和{2,3}，共有7个真子集，故选B (2)由{1,2}MC{1,2,3,4,5},可以确定集合M必含有 m+1 -2 52m-1x 元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合 2m-1>m+1, rm>2, M的元素个数分类如下： m+1≤-2，即m≤-3，.m不存在. 含有三个元素：{1,2,3}，1,2,4}，{1,2,5}；含有四个元 2m-1≥5， m≥3， 159