1.1.2 集合的基本关系-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第一册人教B版 1.1.2集合的基本关系 例1判断下列各组集合之间的关系 学习目标 (1)A=(x,y) 2x-y=1, B={(x,y)I L.理解集合之间包含与相等的含义，能 x+4y=5 识别给定集合的子集、真子集，并会用列举 法求有限集的所有子集、所有真子集 2.能使用维恩图表示集合的基本关系， (2)A=y=,B==V,C= 会判断集合之间包含与不包含的关系， (yly=x2+2x+3] 要点精析 (3)4=x=+7,keZ, 川要点1子集与真子集的定义 B生，kez 1.子集：一般地，如果集合A的任意一 (4)A=(yly=a2+1,aEN),B=fyly=62+26+ 2,beN). 个元素都是集合B的元素，那么集合A称 为集合B的子集，记作ACB(或B2A), 分析对于集合关系的判定，首先要 弄清楚集合中元素的类别是点集还是数集 读作“A包含于B”(或“B包含A”). 和图形集等，再根据集合的特征性质列举 2.真子集：一般地，如果A是集合B的 子集，并且B中至少有一个元素不属于A, 表示后判断或是把性质进行变形，根据性 质的推出关系，判断出集合的关系 那么集合A称为集合B的真子集，记作A军 B(或B吴A),读作“A真包含于B”(或 “B真包含A”) 3.维恩图：如果用平面上一条封闭曲线 的内部来表示集合，那么我们就可以作出示 意图来形象地表示集合之间的关系，这种示 意图通常称为维恩图 例如，A手B可用如图表示 B 图1-1-1 思考你能用维恩图表示A二B吗？ 6 第一章集合与常用逻辑用语 反思感悟 反思感悟 判断集合间关系的常用方法： 按照子集元素个数由少到多依次写出 (1)列举法，当集合元素比较少时， 子集，保证所列举的子集不重不漏.同时利 可以将两个集合元素一一列举，得出两个 用子集个数的公式进行检验：当一个集合 集合之间的关系， 有n个元素时，这个集合有2m个子集，2 (2)特征性质法，明确集合的代表元 1个真子集，2-1个非空子集，2-2个非 素是什么，集合元素的特征性质是什么， 空真子集 再利用集合元素特征性质的关系进行判断 (3)数形结合法，利用维恩图、数轴 B变式训练2 或者平面直角坐标系等图形进行直观的判断， 已知集合M={1,2,5},写出集合M的 所有子集， 变式训练1 集合M=x+名，neZ N= 则下列关系正确的 是() A.MCN B.M=N C.NCM D.MSN 例2写出集合{a,b,c的所有子集 和真子集 分析根据子集的定义，所求的子集 中元素应该与a,b,c有关，子集中元素 个数可以含有0,1,2,3，分情况写出即 可，但要注意元素具有无序性，避免重复； 例3 (1)集合M={a,2,a,4,a5 真子集从子集中去掉集合本身即可 的子集有 个，真子集有 个. (2)满足{1,2}手MC(1,2,3,4,5 的集合M有 个 分析对于子集个数的计数问题，可 以采用穷举法或是利用公式计算， 反思感悟 利用穷举法计数，或者利用子集个数 公式进行计算. N 高中数学必修第一册人教B版 例4（多选题）下列说法中，正确的有 B变式训练③ 已知集合A={xlx2+4x=0},B={xlx2+ A.空集是任何集合的真子集 2(a+1)x+-1=0,a∈R,x∈R},若BCA, B.若A军B,B军C,则AC 求实数a的取值范围 C.任何一个集合必有两个或两个以上 的子集 D.若不属于B的元素一定不属于A, 则ACB 分析对于子集、真子集有关的概念 辨析问题，要抓住考查的定义及性质要求， 特别要注意对空集的这种特殊情况的考虑. B变式训练④ 集合A={xl-2<x<1},集合B={x-m≤ x≤m.若A二B,则m的取值范围为 例5 设集合A={0,-a},B={1,a- 2,2a-2,若A≤B,则a=() A.2 B.1 c D.-1 分析 根据包含关系分a-2=0和2a 要点2子集与真子集的性质 2=0两种情况讨论，运算求解即可 1.子集具有的性质 川要点3集合的相等 (1)反身性：ACA (2)传递性：若ACB,BCC,则ACC 1.定义：一般地，如果集合A和集合B (3)规定：☑二A(A为任意集合)： 的元素完全相同，则称集合A与集合B相 2.真子集具有的性质 等，记作A=B,读作“A等于B” (1)传递性：若A手B,B手C,则 2.结论：如果ACB且BCA,则A=B; A手C 反之，如果A=B,则ACB且B二A, (2)规定：☑手A(A为非空集合). 思考你能用维恩图表示两个集合相 思考你能说出子集具有的性质与真 等吗？ 子集具有的性质的相同，点和不同点吗？ 8 第一章集合与常用逻辑用语 例6设集合A=1,x,,B=c,xy,x,: 数学文化 且A=B，求x205+y24 例1当两个集合中有一个集合为另一 分析根据两个集合相等，可以得到 集合的子集时，称这两个集合之间构成“全 两个集合的元素对应相等，再分情况对应 食”；当两个集合有公共元素，但互不为对 相等得到关于x,y的方程组，解出方程 方子集时，称两集合之间构成“偏食”.对于 组，但要注意验证x,y必须满足集合中元 素的互异性， 集合A=号-令，子，.B=m+2= 0,a≤0，若A与B构成“全食”，则a的 取值集合为 分析对于新定义型集合问题，关键 是理解新定义，然后将新定义的语言翻译 成集合语言，从而运用集合知识解决.因为 集合中含有字母，所以注意需要对字母进 行分类讨论 例2在数学漫长的发展过程中，数学 家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现 象.数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处 理法则下，最终都将得到固定的一个值，再 也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样.目前 已经发现的数字黑洞有“123黑洞”“卡普 雷卡尔黑洞”“自恋性数字黑洞”等.定义： 若一个n位正整数的所有数位上数字的n次 方和等于这个数本身，则称这个数是自恋 数.已知所有一位小于4的正整数的自恋数 组成集合A,集合A的真子集个数为() A.3 B.4 C.7 D.8 分析 根据自恋数的定义，求出A, 即可求出真子集个数 ③变式训练⑤ 反思感悟 若集合中元素个数有n个，则其子集 已知集合A={0,1,2},B={abla∈A, b∈A},则集合B= 有2”个，真子集有2”-1个，非空子集有 2-1个，非空真子集有2-2个N 高中数学必修第一册人教B版 例5解：(1)x-5≤2+1≤1}={-3≤x≤0，用区间表 示为[-3,0] (2){xI(x+2)(x-3)<0}={x-2<x<3},用区间表示 为(-2,3). (3)by=x242=bhy≥2}，用区间表示为[2，+∞). (4)xy=x242={ceR},用区间表示为(-o,+∞). 变式训练5解：(1){x-1<x<3},.可用区间表示 为(-1,3).(2)解不等式，得-2<x<2,.可用区间 表示为(-2,2).(3)y=-x2中，x∈R,∴.可用区间表 示为(-0，+∞).(4)y=-x2中，y≤0，∴.可用区间表示 为(-0,0]. 数学文化 例D【解析】.8=7×1+1，则8C,选项A错误. 127=3×42+1,则127A,选项B错误.37=3×12+1，则 37A,选项C错误.23=3×7+2，故23∈A;23=5×4+3, 故x∈B;23=7x3+2,故x∈C,选项D正确.故选D. 1.1.2集合的基本关系 要点精析 例1解：(1)A=(1,1)儿，(1,1)满足y=x和Y=1, .ACB且ACC. 又B,C中含有元素(2,2)不在A中， .AB,AC. C={(x,y)乃y=x(x≠0)}，CCB. 又.(0,0)∈B且(0,0)庄C,..CB .ACB. (2)A=bhy≠0}，B={xx≥1}， C={xy=(x+1)242}={yy≥2}， ∴.C军BA. (3)对于集合A,特征性质k+}-2+1,ke乙 22 对于集合B,特征性质牛2,2 ln,k=2n-1, n∈Z,∴A军B. (4)对于集合A,由于aeN,:.a2+1表示从0开始 的自然数的平方与1的和. 对于集合B,特征性质y=b2+2b+2=(b+1)2+1, 由于b∈N,.b2+2b+2表示从1开始的自然数的平方与 1的和，集合A中比集合B中多一个元素1，B军A. 变式训练1C(解析】M==名，eZ,N= 2meZ,+2表示整数，2+1表示奇数，故 NCM,故选C 26 例2解：元素个数为0的子集为⑦： 元素个数为1的子集为{a,b,{c: 元素个数为2的子集为{a,b},{a,c,b,c: 元素个数为3的子集为{a,b,c. 上述集合中除{a,b,c}外的集合为真子集. 变式训练2解：集合M的子集有☑，{1)，{2}， {5},1,2},1,5},{2,5},1,2,5. 例3(1)3231(2)7【解析】(1)方法一：由 于集合M的子集中的元素将从a,,a,a4,5中取 得，可以按子集中有0个、1个、2个、3个、4个、 5个元素分别写出子集，一共有32个，真子集有32-1= 31(个). 方法二：由于集合M的子集中的元素将从4，a, a,a4,a5中取得，每个元素要么被取，要么不被取，每 个元素都有两种情况，故一共有2种情况，.子集有2 个，真子集有2-1=31（个）. (2)由(1,2}M知，M中除含有1,2外，还必须 含有其他的元素，由MC1,2,3,4,5}可得，M中 其他元素可以在3,4,5中选择，M相当于在{3,4,5} 的每个真子集中再加人元素1,2，而{3,4,5}的真子集 有2-1=7（个），∴符合条件的集合M共有7个 变式训练3解：①若B=☑，满足BCA,方程x2+2(a叶 1)x+2-1=0无实数根， .△=[2(a+1)]2-4(-1)<0,解得a<-1. ②若B≠☑，由B二A,得B=0)或-4或-4,0. 当方程x2+2(a+1)x+a2-1=0有两个相等实数根， 则△=[2(a+1)]2-4(a2-1)=0,即a=-1, 此时B=O,满足题意. 当方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两实数根为0，-4， 则有x(x+4)=0,即x244=0, 2(a+1)=4,解得a=-1. d-1-0, 综上所述，实数a的取值范围为(-o,-1]U1. 例4BD【解析】空集不能是空集的真子集，故A选项 不正确：集合的真包含关系满足传递性，故B选项正 确；空集只有它本身一个子集，故C选项不正确；集合 B之外的元素一定不在集合B中，又不在集合A中， 集合A只能是B,或是真包含于B,ACB,故D选项 正确.故选BD. 变式训练4[2，+∞)【解析】由题知，A二B,则 m≤-2，解得m≥2，m取值范图为[2.+： m≥1， 例5B【解析】.AcB,则有：若a-2=0,解得a=2, 此时A=0,-2,B=1,0,2,不符合题意；若2a-2=0, 解得a=1,此时A=0,-1),B=1,-1,0),符合题意. 综上所述，a=1.故选B. 例6解：若则1经检验，不满足集合元素 y=x2, y=1, 的互异性，含去 (v=l 若0则，或 1=2, 当=1时，不满足元素 ly∈Ry=O. 的互异性；当x=-1,y=0满足元素的互异性， x=-1,y=0,∴a25+y2=-1. 变式训练50,1,2,4【解析】A=0,1,2}, a∈A,b∈A,.'.ab=0或ab=1或ab=2或ab=4,故B=abl a∈A,b∈A}=0,1,2,4. 数学文化 例10，-8，-18}【解析】当a=0时，B=☑，此时 满足B二A,两个集合之间构成“全食”，符合条件 当a0时，V名，名 当名=号时，构成“全食”，解得a=8:当 √名号时，构成全食，解得。=18 综上所述，a的取值集合为0，-8，-18. 例2C【解析】依题意，A=1,2,3},故A的真子集 个数为7.故选C 1.1.3集合的基本运算 要点精析 例1(1)4)1,3,4,6,7}3,61,2,3,5， 6,7}(2)(-1,1)[-3,2][-5,1]U(2,+∞)[-5 -1]U[1,+∞)【解析】(1)A∩B=4),AUB= {1,3,4,6,7}.又C4=2,3,5,6,CB= (1,2,5,7},.(CA)∩B=3,6},(CA)U(CB)= 1,2,3,5,6,7. (2)借助如图所示的数轴，可知A∩B=(-1,1), AUB=[-3,2],(CA)UB=[-5,1]U(2,+∞)， (CA)U(CB)=C(A∩B)=[-5,-1]U[1,+o). -5-3-112 例1答图 变式训练1D【解析】由题意，得A∩B={-1<x≤1}= B,∴.A错误；CA={xlt≤-2或x>2,B错误；CB={xl x≤-1或x>1),A∩(CB)=xl-2<x≤-1或1<x≤2}，C错 误；AU(CB)=R,D正确.故选D. 例2(1)2,3,5,7{5,7,6,8}(2)A 参考答案。 【解析】(1)U=(1,3,4,5,6,7,8,9},结合图1 可得，A={2,3,5,7,B=5,6,7,8. M A B 2,3（5,76,8 1,4,9 CM 图1 图2 例2答图 (2)方法一：由N∩(CM)=可知，N与M无公共 元素，.NCM,结合图2的维恩图，可得MUN=M,故 选A. 方法二：取1=(1,2,3,4,5}，M=(1,2,3,则 CM=4,5},可取N={1,2)满足题意，验证B,C,D 不正确，故选A. 变式训练2B【解析】由题图知，区域Ⅱ表示元素在 集合A中，且不在集合B中，故区域Ⅱ表示集合A∩ (CuB).故选B. 例3(1){-3,4)(2)2【解析】(1)9∈A∩B, .9∈A且9∈B, 2a叶1=9或a=9,解得a=4或a=±3. 当a=4时，A=-4,9,16,B=-1,-3,9},符合 题意； 当a=-3时，A=-4,-5,9外，B=-8,4,9},符合 题意； 当a=3时，a-5=1-a=-2,集合B中元素不满足互异 性，故a≠3. 综上所述，a的取值范围为-3,4. (2)CA=5,.5eU且5EA, .a2+2a-3=5,解得=-4或a=2 当a=-4时，A=9,2,U=2,3,5},A不是U的 子集，故舍去 .∴.a=2. 变式训练3{-1,0,2}【解析】：A∩B=B,BCA, B=②或B1或号引0或a=1或m2. 所有实数m组成的集合是{←1,0,2. 例4D【解析】A=1,2,3,4,5,9},B=Vx∈ A},B={1,4,9,16,25,81,则A∩B=(1,4,9}, C(A∩B)={2,3,5.故选D. 例58【解析】方法一：设参加数学、物理、化学课 外探究小组的学生构成的集合分别为A,B,C,同时参 加数学和化学课外探究小组的有x人，由题意可得如图 所示的维恩图. 27