1.1.1 集合及其表示方法导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学导学案聚焦集合及其表示方法，涵盖集合与元素的定义、三大特性、从属关系及列举法、描述法两种表示方法。通过课前预习梳理基础知识点搭建学习支架，衔接课堂探究中确定性应用、互异性求参数等重难点突破，形成从概念到应用的完整知识脉络。 以数学抽象、逻辑推理、数学运算为核心素养导向，设计典例精讲规范答题步骤，课后分层作业区分基础与提升需求。帮助学生精准掌握元素特性与表示方法，培养抽象能力和推理意识，提升解题规范性与效率。

高中数学人教 B 版 (2019) 必修第一册｜同步精品教研学案 紧扣新课标・重难点突破 1.1.1 集合及其表示方法 学案 教材版本：人教B版（2019）高中数学必修第一册 课时：1课时 适用年级：高一上学期 【学习目标】 1.数学抽象：理解集合、元素的定义，精准掌握集合元素的三大特性，明晰元素与集合的从属关系。 2.逻辑推理：熟记常用数集符号，区分空集、普通集合，掌握集合相等的判定条件。 3.直观想象：熟练掌握列举法、描述法两种集合表示方法，能根据集合特征灵活选择表示方式。 4.数学运算：能利用集合元素特性解决参数求解、集合辨析、元素判定等基础题型，规避高频易错点。 【学习重难点】 重点：集合与元素的基本概念、元素三大特性、元素与集合的从属关系、列举法与描述法的规范应用。 难点：利用元素互异性求解参数问题、描述法的精准书写与含义辨析、集合相等的判定与应用。 【课前预习·基础梳理】 知识点一：集合与元素的概念 1. 定义：把一些确定的、互不相同的对象看成一个整体，这个整体称为集合（简称集）；组成集合的每一个对象，叫做集合的元素。 2. 书写规范：集合统一用大写英文字母表示（如A、B、C）；元素统一用小写英文字母表示（如a、b、c）。 3. 集合分类：根据元素个数可分为有限集、无限集、空集。 知识点二：集合元素的三大核心特性（解题核心依据） 1. 确定性：给定一个集合，任意一个对象要么是该集合的元素，要么不是，结果唯一确定。模糊、无统一标准的对象不能构成集合（如“好看的图片”“很大的数”）。 2. 互异性：同一个集合中，所有元素互不重复，任意两个元素都不相等（含参数集合求值必须检验此性质）。 3. 无序性：集合中的元素没有先后顺序，元素相同、顺序不同的两个集合为相等集合。 知识点三：元素与集合的从属关系 1. 属于：若a是集合A的元素，记作 2. 不属于：若a不是集合A的元素，记作 易错提醒： 仅用于元素与集合之间，不可用于集合与集合之间。 知识点四：常用数集及专用符号（必背必考） 1. 自然数集（非负整数集）：（包含0） 2. 正整数集：（不包含0） 3. 整数集： 4. 有理数集： 5. 实数集： 知识点五：空集与集合相等 1. 空集：不含任何元素的集合，记作 。易错点：，无元素，含元素0。 2. 集合相等：若两个集合的所有元素完全相同，则两集合相等，记作 （与元素顺序无关）。 知识点六：集合的两种表示方法（规范书写） 1. 列举法：将集合元素一一列举，置于大括号内，元素间用逗号分隔。 适用场景：有限且元素较少的集合、有明显规律的无限集合。 2. 描述法：格式为 ，左侧代表元素，右侧代表元素满足的条件。 适用场景：元素较多或无限个元素的集合，是高中集合核心表示方法。 【课堂探究·重难点突破】 探究一：集合确定性的应用（判断能否构成集合） 例1：下列对象能构成集合的是（ ） ① 班级个子高的同学 ② 所有正整数 ③ 无限接近0的实数 ④ 大于2的整数 探究二：元素互异性的高频考点应用 例2：已知集合 ，求实数a的取值范围。 探究三：集合两种表示方法的选择与辨析 例3：选择合适的方法表示下列集合 （1）小于6的所有正整数；（2）大于2的全体实数 【典例精讲·规范答题】 例4：已知集合 ，用列举法表示集合A，并判断元素归属。 例5：判断集合 与 是否相等。 例6（培优拓展）：用描述法表示平面直角坐标系中所有第一象限的点组成的集合。 【课堂基础练习】 1. 下列说法正确的是（ ） A. 集合中元素可以重复出现 B. C. 含有一个元素 D. 2. 用列举法表示集合 = ________。 3. 已知集合 ，若，判断集合M是否成立，说明理由。 【课后分层作业】 基础题（全员必做） 1. 判断下列对象能否构成集合： （1）所有等腰三角形 （2）班级成绩优异的学生 （3）方程的实数根 2. 用规范描述法表示：所有偶数组成的集合。 提升题（培优选做） 3. 已知集合 ，用列举法表示集合A。 4. 已知集合 ，若，求实数x的值。 5. 判断集合 与 是否相等。 【课堂核心小结】 1. 集合三要素：确定性、互异性、无序性，互异性是参数题型的核心易错点。 2. 仅用于元素与集合之间，不可混用。 3. 有限集优先列举法，无限集优先描述法，描述法必须写清元素范围与条件。 4. 是空集，无任何元素，与本质不同。 5. 集合相等只看元素是否完全相同，与元素顺序无关。 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学人教 B 版 (2019) 必修第一册｜同步精品教研学案 紧扣新课标・重难点突破 1.1.1 集合及其表示方法 学案 【参考答案与详细解析】 教材版本：人教B版（2019）高中数学必修第一册 课时：1课时 适用年级：高一上学期 【学习目标】 1.数学抽象：理解集合、元素的定义，精准掌握集合元素的三大特性，明晰元素与集合的从属关系。 2.逻辑推理：熟记常用数集符号，区分空集、普通集合，掌握集合相等的判定条件。 3.直观想象：熟练掌握列举法、描述法两种集合表示方法，能根据集合特征灵活选择表示方式。 4.数学运算：能利用集合元素特性解决参数求解、集合辨析、元素判定等基础题型，规避高频易错点。 【学习重难点】 重点：集合与元素的基本概念、元素三大特性、元素与集合的从属关系、列举法与描述法的规范应用。 难点：利用元素互异性求解参数问题、描述法的精准书写与含义辨析、集合相等的判定与应用。 【课前预习·基础梳理】 知识点一：集合与元素的概念 1. 定义：把一些确定的、互不相同的对象看成一个整体，这个整体称为集合（简称集）；组成集合的每一个对象，叫做集合的元素。 2. 书写规范：集合统一用大写英文字母表示（如A、B、C）；元素统一用小写英文字母表示（如a、b、c）。 3. 集合分类：根据元素个数可分为有限集、无限集、空集。 知识点二：集合元素的三大核心特性（解题核心依据） 1. 确定性：给定一个集合，任意一个对象要么是该集合的元素，要么不是，结果唯一确定。模糊、无统一标准的对象不能构成集合（如“好看的图片”“很大的数”）。 2. 互异性：同一个集合中，所有元素互不重复，任意两个元素都不相等（含参数集合求值必须检验此性质）。 3. 无序性：集合中的元素没有先后顺序，元素相同、顺序不同的两个集合为相等集合。 知识点三：元素与集合的从属关系 1. 属于：若a是集合A的元素，记作 2. 不属于：若a不是集合A的元素，记作 易错提醒： 仅用于元素与集合之间，不可用于集合与集合之间。 知识点四：常用数集及专用符号（必背必考） 1. 自然数集（非负整数集）：（包含0） 2. 正整数集：（不包含0） 3. 整数集： 4. 有理数集： 5. 实数集： 知识点五：空集与集合相等 1. 空集：不含任何元素的集合，记作 。易错点：，无元素，含元素0。 2. 集合相等：若两个集合的所有元素完全相同，则两集合相等，记作 （与元素顺序无关）。 知识点六：集合的两种表示方法（规范书写） 1. 列举法：将集合元素一一列举，置于大括号内，元素间用逗号分隔。 适用场景：有限且元素较少的集合、有明显规律的无限集合。 2. 描述法：格式为 ，左侧代表元素，右侧代表元素满足的条件。 适用场景：元素较多或无限个元素的集合，是高中集合核心表示方法。 【课堂探究·重难点突破】 探究一：集合确定性的应用（判断能否构成集合） 例1：下列对象能构成集合的是（ ） ① 班级个子高的同学 ② 所有正整数 ③ 无限接近0的实数 ④ 大于2的整数 解析：①③描述模糊，无统一判定标准，不满足确定性，无法构成集合；②④对象标准明确、结果唯一，可构成集合。 总结：有明确判定标准的确定对象，才能构成集合。 探究二：元素互异性的高频考点应用 例2：已知集合 ，求实数a的取值范围。 解析：根据集合元素互异性，集合内任意两个元素不相等，列不等式组： 解得：且且。 核心提醒：所有含参数的集合问题，求出参数后必须检验互异性，避免元素重复。 探究三：集合两种表示方法的选择与辨析 例3：选择合适的方法表示下列集合 （1）小于6的所有正整数；（2）大于2的全体实数 解：(1) 元素有限且数量少，用列举法： (2) 元素无限，用描述法： 【典例精讲·规范答题】 例4：已知集合 ，用列举法表示集合A，并判断元素归属。 解：满足条件的自然数为3、4、5，因此 。 元素判定：，，。 例5：判断集合 与 是否相等。 解：根据集合无序性，两个集合所含元素完全相同，因此 。 例6（培优拓展）：用描述法表示平面直角坐标系中所有第一象限的点组成的集合。 解：第一象限的点横、纵坐标均为正数，集合表示为：。 【课堂基础练习】 1. 下列说法正确的是（ ） A. 集合中元素可以重复出现 B. C. 含有一个元素 D. 2. 用列举法表示集合 = ________。 3. 已知集合 ，若，判断集合M是否成立，说明理由。 【课后分层作业】 基础题（全员必做） 1. 判断下列对象能否构成集合： （1）所有等腰三角形 （2）班级成绩优异的学生 （3）方程的实数根 2. 用规范描述法表示：所有偶数组成的集合。 提升题（培优选做） 3. 已知集合 ，用列举法表示集合A。 4. 已知集合 ，若，求实数x的值。 5. 判断集合 与 是否相等。 【课堂核心小结】 1. 集合三要素：确定性、互异性、无序性，互异性是参数题型的核心易错点。 2. 仅用于元素与集合之间，不可混用。 3. 有限集优先列举法，无限集优先描述法，描述法必须写清元素范围与条件。 4. 是空集，无任何元素，与本质不同。 5. 集合相等只看元素是否完全相同，与元素顺序无关。 【参考答案与详细解析】 课堂基础练习 1. B 解析：A违背互异性；C空集无元素；D是无理数，不属于有理数集。 2. 3. 不成立；若，则，集合出现两个相同元素2，违背集合元素互异性，集合不成立。 课后分层作业 1. （1）能；（2）不能（无确定判定标准）；（3）能 2. 3. 解方程得或，故 4. 由得，检验互异性，集合元素无重复，故。 5. ；解析：两个集合均表示全体偶数，元素完全相同，故集合相等。 学科网（北京）股份有限公司 $