1.1.1 第1课时集合的概念-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教B版）

●001 第一章集合与常用逻辑用语 1.1集合 1.1.1集合及其表示方法 第1课时集合的概念 素养目标定方向 学习目标 核心素养 1.通过实例了解集合的含义.（难点） 1.通过集合概念的学习，逐步形成数学抽象素养 2.掌握集合中元素的三个特性.（重点） 2.借助集合中元素的互异性的应用，培养逻辑推理 3.体会元素与集合的“属于”和“不属于”关系，记住常 素养 用数集的表示符号并会应用.（重点、易混点） 必备知识 探新知 知识点1元素与集合的概念 1.集合 定义 把一些能够确定的、不同的 汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合（有时简称为集） 表示方法 通常用英文大写字母A,B,C,…表示 2.元素 定义 组成集合的 都是这个集合的元素 表示方法 通常用英文小写字母a,b,c,…表示 3.集合的元素具有的三个特性 集合的元素必须是确定的 互异性 对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的 无序性 集合中的元素可以任意排列，与次序无关 提醒：集合中的元素，女须具备确定性、互异性、无序性.反过来，一组对象若不具备这三个特性，则这组 对象也就不能构成集合 002 思考1：(1)某班所有的 ●对应练习 P[思考1] “帅哥”能否构成一个 集合？ 思考辨析（正确的打“V”,错误的打“×”） (2)某班身高高于175厘 (1)集合中的元素只能是数、点、代数式 米的男生能否构成一个 (2)漂亮的花可以组成集合。 集合？ (3)由方程x2-4=0和x-2=0的根组成的集合中有3个元素. 提示：(1)某班所有的 知识点2元素与集合的关系 “帅哥”不能构成集合， 关系 记法 读法 因为“帅哥“没有明确 a是集合A的元素 的标准. a属于集合A (2)某班身高高于175厘 a不是集合A的元素 a不属于集合A 米的男生能构成一个集 合，因为标准确定 ●对应练习 已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1,若-3∈A,则实数a的值为 知识点3空集、集合相等与集合的分类 1.空集 思考2：对于任意元素a, a与空集⑦的关系是 定义 不含 的集合称为空集 什么？ 表示方法 记作 提示：由空集的定义可 2.两个集合相等 知，a⑦. P[思考2] 给定两个集合A和B,如果组成它们的元素 就称这两个集合 定义 相等 表示方法 记作A=B 3.集合的分类 思考3：N,N,N,有什么 有限集：含有有限个元素的集合， (1)集合 区别？ 无限集：含有无限个元素的集合 提示：(1)N为非负整裁 (2)空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集， 集（或自然数集），而N 提醒：不要把0与☑混淆 或N,表示正整数集，不 ●对应练习 同之处就是N包括0，而 下列集合中 是有限集， 是无限集（填序号）. N(N,)不包括0 ①由小于8的正奇数组成的集合； (2)N和N,的含义是一 ②由大于5且小于20的实数组成的集合； 样的，初学者往往会误 ③由小于0的自然数组成的集合 记为N或N+,为避免 知识点4常见的数集及表示符号 出锆，对于N和N, 数集 非负整数集（自然数集） 正整数集 整数集 有理数集 实数集 可形象地记为“星星 符号 Q R (*)在天上，十字(+) ●对应练习 在地下”. P[思考3] 下列元素与集合的关系判断正确的是 (填序号) ①0eN;②πeQ;③2eQ:④-1∈Z;⑤W5￥R 003 关键能力 攻重难 ●题型一 集合的相关概念 归纳提升：判断一组对象 能否组成集合的标准 例 .(1)下列对象能构成集合的是 判断一组对象能否组成集 ①某医院的优秀医护人员；②所有的钝角三角形；③2020年诺贝尔经济 合，关键看该组对象是否 学奖得主：④大于等于0的整数；⑤我校所有聪明的学生 满足确定性，如果此组对 A.①②④ B.②5 C.③④5 D.②3④ 象满足确定性，就可以组 (2)集合P中含有两个元素分别为1和4，集合Q中含有两个元素1和2， 成集合，否则，就不能组 若P与Q相等，则a=一 [归纳提升] 成集合.同时还要注意集 )对点训练 合中元素的互异性、无 序性 1.判断下列说法是否正确，并说明理由. (1)大于3小于5的所有自然数构成一个集合； 归纳提升：判断元素和集 (2)直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合； 合关系的两种方法 (3)方程(x-1)2(x+2)=0所有解组成的集合有3个元素， (1)直接法 ①使用前提：集合中的元 素是直接给出的： ②判断方法：首先明确集 合是由哪些元素构成，然 ●题型二元素与集合的关系 后再判断该元素在已知集 合中是否出现即可 例2()由不超过5的实数组成集合A,a=反+5，则 () (2)推理法 ①使用前提：对于某些不 A.a∈A B.a2∈A D.a+lA 便直接表示的集合， (2)集合A中的元素x满足？∈N,x∈N,则集合A中的元素为 ②判断方法：首先明确已 知集合的元素具有什么特 [归纳提升] 征，然后判断该元素是否 满足集合中元素所具有的 )对点训练 特征即可. 2.(多选题)下列结论中，正确的是 A若aeN,则aeN 归纳提升：根据集合中元 B.若aeZ,则a2∈Z 素的特性求值的三个步骤 C.若aeQ,则Ial∈Q D.若aeR,则a∈R 根据集合中元 ●题型三集合中元素的特性及应用 求解 素的确定性， 解出宇母的所 例3，已知集合1含有两个元素1和：，若aeA,求实数u的值 有取值 根据集合中元 素的互异性， >[归纳提升] 检验 对解出的值进 )对点训练 行检验 3.(多选题)已知集合M中含有三个元素-2,3x2+3x-4和x2+x-4,若2是M中 的元素，则满足条件的实数x可能为 写出所有特 A.2 B.-2 C.-3 D.1 作答 合题意的字 母的取值 004 课堂检测 固双基 1.下列几组对象可以构成集合的是 )A.2 B.-1 A.充分接近π的实数的全体 C.1 D.-2 B.善良的人 4.集合M是由大于-2且小于1的实数构成的，则下列 C.世界著名的科学家 表示正确的是 () D.某单位所有身高在1.7m以上的人 A.5∈M B.0gM 2.若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是 C.1∈M () D.-受eM A.3.14 B.-5 5.已知集合A由a2-a+1,1a+11两个元素构成，若 c号 D.√7 3∈A,则a的值为 夯基提能作业 3.设a,beR,集合A中含有3个元素1，a+b,a,集合B中 请同学们认真完成练案[1] 含有3个元素0，名，b,若A=B,则6-4= 第2课时 集合的表示方法 素养目标 定方向 学习目标 核心素养 1.借助空集、区间的概念，培养数学抽象的素养. 1.掌握集合的两种表示方法.（重点、难点） 2.通过学习集合的两种表示方法，培养数学运算的 2.掌握区间的概念及表示方法.（重点） 素养 必备知识 探新知 知识点1 列举法 把集合中的元素 出来（相邻元素之间用逗号分隔），并写在大括号内，以 思考1：一一列举元素 此来表示集合的方法， 时，需要考虑元素的 提醒：(1)元素与元素之间女须用“，”隔开： 顺序吗？ (2)集合中的元素女须是明确的 提示：用列举法表示 集合时不女考虑元素 (3)集合中的元素不能重复： 的顺序.例如：{a, (4)集合中的元素可以是任何事物. P[思考1] b}与{b,a}表示同一 ●对应练习 个集合 不等式x-3<2且x∈N的解集用列举法可表示为 知识点2描述法 1.特征性质：属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元 素都不具有这个性质，则性质(x)称为集合A的一个特征性质. 2.特征性质描述法（简称为描述法） 集合A可以用它的特征性质p(x)表示为学案及练案部分 参芳答案 [学案部分] 第一章 集合与常用逻辑用语 (2)不正确，“一些点”标准不明确，不能构成一个集合 (3)不正确，方程的解只有1和-2，集合中有2个元素. 1.1集合 例2：(1)A(2)0,1,2(1)因为a=2+3<4+4=4<5 所以a∈A.因为a+1<4+√4+1=5，所以a+1∈A,因为 1.1.1集合及其表示方法 a2=(2)2+22×5+(5)2=5+26>5,所以a2A, 1 5-2 第1课时集合的概念 a万+万(E+同)5-万5-E<5,所以 因为 必备知识探新知 知识点1：1.对象2.每个对象3.确定性 对应练习 (2)由36eNeN知≥0,35>0，且x≠3， (1)×(2)×(3)×(1)集合中的元素可以是数学中的 故0≤x<3.又x∈N,故x=0,1,2. 数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等 (2)“漂亮的花”标准不明确，具有不确定性，故不能组成 当=0时350=2eN,当x=1时写=3eN 集合 当x-2时362-6eN (3)由x2-4=0得x=±2，由x-2=0得x=2,由于集合中的 元素具有互异性，故由两方程的根组成的集合中有2个元素. 故集合A中的元素为0,1,2. 知识点2：a∈AaA 对点训练2：BCDA不正确，反例：a=1∈N,1=1∈N: 对应练习 B正确，因为整数的平方仍是整数； 0或-1-3eA,.-3=a-3或-3=2a-1. C正确，因为有理数的绝对值仍是有理数： 若-3=a-3,则a=0.此时集合A中含有两个元素-3，-1， D正确，因为实数的立方根仍是实数 符合题意： 例3：由题意可知，a=1或a=a, 若-3=2a-1,则a=-1,此时集合A中含有两个元素-4，-3， ①若a=1,则a2=1,这与a2≠1相矛盾，故a≠1， 符合题意 ②若a2=a,则a=0或a=1(舍去)，又当a=0时，A中含 综上所述，实数a的值为0或-1. 有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意.综上 知识点3：1.任何元素☑2.完全相同 可知，实数a的值为0 对应练习 对点训练3：AC由题意可得3x2+3x-4=2或x2+x-4=2, ①③②①因为小于8的正奇数为1,3,5,7，所以其组成的 若3x2+3x-4=2,即x2+x-2=0,.x=-2或x=1. 集合是有限集 当x=-2时，x2+x-4=-2,与元素互异性矛盾，舍去； ②因为大于5且小于20的实数有无数个，所以其组成的集合 当x=1时，x2+x-4=-2,与元素互异性矛盾，舍去 是无限集 若x2+x-4=2,即x2+x-6=0, ③因为小于0的自然数不存在，所以其组成的集合是空集，含有0 .x=2或x=-3,经检验x=2或x=-3为满足条件的实数 个元素，所以其组成的集合是有限集 x,故选AC. 知识点4：NN或N 课堂检测固双基 对应练习 1.D选项A,B,C所描述的对象没有一个明确的标准，故不能 ①④N表示自然数集，Q表示有理数集，Z表示整数集，R 构成一个集合，选项D的标准唯一，故能构成集合， 表示实数集，故0eN,TEQ,2Q,-1∈Z,2eR 2.D由题意知a应为无理数，故a可以为万 关键能力攻重难 例1：(1)D(2)±2(1)由集合中元素的确定性知，①中“优3.A由已知，a≠0，故a+6=0,则=-1，所以a=-1,6=1. 秀医护人员”和⑤中“聪明的学生”不确定，所以不能构成 b-a=2. 集合 4.D5>1,故A错；-2<0<1，故B错；1M,故C错；-2< (2)由题意，得a2=4,a=±2. 对点训练1：(1)正确，(1)中的元素是确定的，互异的，可以构成 一受<1，放D正确 一个集合 5.-1或-4因为3eA,所以a2-a+1=3或1a+11=3. -157 ①若a2-a+1=3,则a=2或a=-1. 数对(x,y),表示点，所以集合{(x,y)1y=2x-1}表示函数y 当a=2时，la+11=3,此时与集合元素的互异性相矛盾，因 =2x-1图像上的所有点组成的集合 此应舍去 (2)①方程x2+y2-4x+6y+13=0可化为(x-2)2+(y+3)2= 当a=-1时，la+11=0≠3，满足题意 0,解得x=2,y=-3, ②若1a+11=3,则a=-4或a=2(舍去). 所以方程的解集为{(x,y)1x=2,y=-3}. 当a=-4时，a2-a+1=21≠3，满足题意. ②“二次函数y=x2-10图像上的所有点”用描述法表示为 综上可知，a=-1或a=-4. {(x,y)ly=x2-10} 第2课时集合的表示方法 例3：(-0，-1】因为-1eP,放≥1，解得a≤-1，所以a 必备知识探新知 的取值范围是(-∞，-1]. 知识点1：一一列举 对点训练3：(1)B (2(宁+） (1)不等式x-2≥0的所 对应练习 有解组成的集合为{xx≥2}，表示成区间为[2，+∞). 1,2,3,4}.x-3<2,.x<5.又x∈N*,.x=1,2,3,4,故 可表示为1,2,3,4}. (2)由区间的定义可知3a-1>a,即a>号 知识点2：2.{xlp(x)} 3.xlp(x) 例4：)D(2)号 （1)当a=0时，原方程变为2x+1=0, 对应练习 -- 此时x=-7符合题意： {0,1,2,3,4}{x∈NI-1<x<5}大于-1小于5的自然 当a≠0时，方程ax2+2x+1=0为一元二次方程， 数有0,1,2,3,4.故用列举法表示集合为0,1,2,3,4} 4=4-4a=0,即a=1,原方程的解为x=-1,符合题意 用描述法表示可用x表示代表元素，其满足的条件是x∈N且 故当a=0或a=1时，原方程只有一个解， -1<x<5.故用描述法表示集合为{x∈N1-1<x<5}. 知识点3：(1)[a,b](a,b)[a,b)(a,b](2)[a, 此时A中只有一个元素。 +o）(-o,a）{xlx>a} 2)因为e{-a多=0}所以（-- 对应练习 9 =0,解得a=- (1)[-1,2](2)(1,3](3)(2,+∞)(4)(-∞，-2] 2 关键能力攻重难 当a=- 吕时，方程-号+号=0的判别式4 例1：(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于 0的意思，所以不大于10的非负偶数组成的集合是{0,2， 24 >0, 4,6,8,10}. (2)方程x3=x的解是x=0或x=1或x=-1,所以方程的 号+号=-0 解组成的集合为0,1，-1： (3)将x=0代入y=2x+1,得y=1,即交点是(0,1)，故交 解得与子5=9， 点组成的集合是{(0,1)}. 所u-9+号=-{份 (4)解方程组+y=L, 得0， x-y=-1,y=1. 故朱合{-”+号=0的所有元素的积为子×9 心用列举法表示方程组+y=1, 的解集为{(0,1) 9 x-y=-1 对点训练1：{0,1,2,3}对任意a∈A,有1aeB,因为集合A=对点训练4：(1)由A={2,3}知，方程x2-ax+b=0的两根为2， {-2,-1,0,1,2,3},由-1，-2,0,1,2,3∈A,知0,1,2,3 4-2a+b=0 3, EB. 9-3a+b=0, 又因为B中只有4个元素，所以B=0,1,2,3}. 解得∫a5, 因此a=5,b=6 例2：(1)根据被除数=商×除数+余数，可知此集合表示为 b=6. {xlx=3n+1,n∈N}. (2)A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素.由例题 (2)第四象限内的点的横坐标大于零且纵坐标小于零，故 解析可知，当a=0或a=1时，A中只有一个元素；当A中有 此集合可表示为{(x,y)Ix>0且y<0}. 两个元素时，4=4-4a>0且a≠0，即a<1且a≠0.所以A中 (3)偶数可表示为2n,neZ,又因为大于4，故n≥3，从而用 至少有一个元素时，a的取值范围为(-∞，1]. 描述法表示此集合为xlx=2n,neZ且n≥3}. 课堂检测固双基 对点训练2：(1)D集合{(x,y)ly=2x-1}中的元素为有序实1.D解方程x2-3x+2=0可得x=1或x=2, 158