专题强化1 平抛运动的两个重要推论-【成才之路·学案】2026-2027学年高中物理必修第二册同步新课程学习指导（人教版）

024 专题强化1平抛运动的两个重要推论 提升点抛体运动轨迹中某点速度的表达？其速度和位移的方向有什么关系？ [提示] (1)速度是矢量，从 ●新知导学 速度的分解来看，用 速度偏转角的正切值 情境：如右图。 B XA 来表达速度方向比较 0 探究：(1)如图所示，平抛运动轨迹中某点的速度怎 方便。 么表达？速度的反向延长线在x轴上的交点有什么特点？ 。① (2)如图所示，速度偏向角与位移偏向角之间的关系 将代表速度矢量v的 箭头反向延长，速度 怎样？ P[提示] 偏向角的正切值还可 平抛运动的两个重要推论 以用长度之比来表 1.推论一：做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通 示，即tan日= -OB 过此时水平位移的中点。 2.推论二：做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度、位移与 otOB,® 水平方向的夹角分别为0、a,则tan0=2 tan a。 联合①②解得OB= 类型一：斜面上的平抛运动 2Yot= 即速度 典题1：（多选）跳台滑雪是勇敢者的运动，它是利用 的反向延长线过水平 位移的中点、。 山势特点建造一个特殊跳台。运动员在滑雪道上 获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞一段距离后 (2)由(1)知速度偏问 B≤ 37 角的正切值tan日= 着陆。如图所示，运动员从跳台A处沿水平方向以mm 20m/s的速度飞出，落在斜坡上的B处，斜坡与水平方向的夹角为37°，不 ,0 考虑空气阻力(g=10m/s2,sin37°=0.6，cos37°=0.8)，下列说法正确的是 由图知位移偏问角的 正切值tana=兰= A.运动员在空中飞行的时间为3s 29t1 gt B.A、B间的距离为75m 。② vot 2vo C.运动员到B处着陆时的速度大小为25m/s 比较①②可得tan日 D.运动员在空中离坡面的最大距离为9m 2tana。 [规律方法] 思维点拨：斜面上的平抛运动，其隐含条件是已知位移夹角，根据推论二 斜面上的平抛运动问 题是一种常见的题 可知其速度夹角。 ·[规律方法] 型，在解答这类问题 跟踪训练1：（多选）(2026·甘肃期中)抗震救灾国之大事，2025年1月 时除要运用平抛运动 的位移和速度规律， 7日，西藏定日县发生6.8级地震，为保障灾民生命财产安全，消防队员利用还要充分运用斜面倾 直升机为灾民配送物资。某次在执行任务时，直升机距离地面高度2000m, 角，找出斜面倾角同 位移和速度与水平方 水平飞行速度30m/s,所配送物资的质量为50kg(含包装材料)，物资投出后 向夹角的关系，从而 恰好手直格在一倾角为37的斜坡上的预定地点。不计空气阻力，重力加速失。是经 度g取10m/s2,下列说法正确的是 如下： ●025 分解速度 2000m 水平：U,=U 竖直：U9 合速度：U=U,2+u, 垂直打6 A.物资投出后下落的高度为80m 到斜面 B.物资投出后运动的时间为20s C.物资落到斜坡上的速度大小为50m/s 由图可知，分解速度， D.从物资释放到落在斜坡上发生的水平位移为90m 构建速度三角形 分解位移 类型二：速度偏转角和位移偏转角 水平：x=Uot 竖直：y=79 典题2：投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏，《礼记传》中 合速度：5x2+ 提到：“投壶，射之细也。宴饮有射以乐宾，以习容而讲艺也。”如图所示， 甲、乙两人沿水平方向各投出一支箭，箭尖插人壶中时与水平面的夹角分 别为53°和37°；已知两支箭质量相同，忽略空气阻力、箭长、壶口大小等因 9.- 素的影响，sin37°=0.6，cos37°=0.8。下列说法正确的是 ( ) 18 由图可知，分解位移，构 建位移三角形 53o 370> [规律方法]平抛运动 中若已知位移夹角或 速度夹角基本求解 思路 ()给出末速度方向 A.若两人站在距壶相同水平距离处投壶，甲所投箭的初速度比乙的小 ①画速度分解图，确 B.若两人站在距壶相同水平距离处投壶，乙所投的箭在空中运动时间比甲 定速度与水平方向的 的长 夹角日： C.若箭在竖直方向下落的高度相等，则甲所射箭落入壶口时速度比乙大 ②根据水平方向和竖 D.若箭在竖直方向下落的高度相等，则甲投壶位置距壶的水平距离比乙大 直方向的运动规律分 析v,、, 思维点拨：这类平抛运动，其隐含条件是已知速度夹角，根据推论二可知 其位移夹角，再根据其水平位移相同来分析。 [规律方法] O根据tan日=兰列方 跟踪训练2：(2026·重庆期中)如图所示，一名运动员在参加跳远比赛， 程求解。 他腾空过程中离地面的最大高度为工，成绩为4L,假设跳远运动员落入沙坑 (2)给出位移方向 ①画位移分解图，确 瞬间速度方向与水平面的夹角为α，运动员可视为质点，不计空气阻力，则有 定位移与水平方向的 夹角a; ②根据水平方句和竖 直方向的运动规律分 析x、 A.α=60° B.=30° 国根据tana=兰列方 C.a=53 D.a=45° 程求解。 026 课堂效果反馈内化知识·对点验收 1.如图所示，从倾角为6且足够长的斜面的顶点 M A,先后将同一小球以不同的初速度水平向右 抛出，第一次初速度为1，小球落到斜面上前 一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ1，第二次 初速度为2，小球落在斜面上前一瞬间的速度 方向与斜面间的夹角为P2,若2>心1，则p1和 A.1s B.1.5s P2的大小关系是 C.2.5s D.3s 4.（多选)(2026·甘肃兰州联考)A、D分别是斜 面的顶端、底端，B、C是斜面上的两个点，AB= BC=CD,E点在D点的正上方，与A等高，从E C 点水平抛出质量相等的两个小球，球1落在B A.12 B.p1<92 点，球2落在C点，忽略空气阻力。关于球1 C.91=92 D.无法确定 和球2从抛出到落在斜面上的运动过程 2.（2026·河南商丘期末)抛体运动是一种常见 的运动形式，例如，运动员将篮球投向篮筐、飞 行员从飞机上投放物资等。下列四幅图是用 E个 来描述物体做平抛运动所遵循的某一规律的 B 图像。图中坐标系的纵轴是tana,横轴是 D tanB。这里a和B分别指物体平抛运动过程 中，速度和位移与水平方向的夹角。下列四幅 A.球1和球2运动的时间之比为2：1 图中正确的是 B.球1和球2运动的时间之比为1：√2 tan a C.球1和球2抛出时初速度之比为2：1 D.球1和球2运动时单位时间内速度变化量 之比为1：1 5.如图所示，一固定斜面倾角为0，将小球A从 tan B tan B 斜面顶端以速率。水平向右抛出，小球击中 4 了斜面上的P点；将小球B从空中某点以相同 A B 速率。水平向左抛出，小球恰好垂直斜面击中Q tana tana 点。不计空气阻力，重力加速度为g,小球A、B 4 在空中运动的时间之比为 () 2 OB tan B tan B 0 2 0 3.如图所示，将一小球从坐标原点沿着水平轴 Thti Ox以vo=2/s的速度抛出，经过一段时间到 A.2tan20:1 B.tan0 1 达P点，M为P点在Ox轴上的投影，作小球 C.1:2tan20 D.1 tan20 轨迹在P点的切线并反向延长，与Ox轴相交 夯基提能作业 于Q点，已知QM=3m,则小球运动的时间为 请同学们认真完成练案[4]符合题意；小球到达B处的水平方向位移大小s=t= vo 2h ,选项D错误，符合题意。故选D。 sin g 3.D甲球和丙球做平抛运动，乙球做匀速直线运动，甲 球在水平方向上以。的速度做匀速直线运动，所以在 未落地前，甲、乙两球都在同一竖直线上，最后在地面 上相遇，即甲、乙两球的相遇可以在P点，也可以在P 点左面或者右面，对于平抛运动，竖直方向有h=2, 水平方向有x=t,又因为甲、丙两球在同一水平线上 即两球高度相同，由上述两个式子分析可知，甲、丙两 球的运动时间相同，两球的水平位移关系有2x甲=x丙， 甲、丙两球相遇时一定有x甲+x丙=x甲两，整理有x甲= 3啊，即甲、丙两球相遇一定在P点或者P点上空，综 合上述分析可知，当。速度适当时，三球可以在P点同 时相遇，故A、B错误；若只有甲、乙两球在水平面相遇， 说明此时甲球落地，根据之前的分析可知，此时丙球也 一定落地，一定有2x甲=x丙，且x甲+x丙<x甲两，故丙球一定 在P点右侧，故C错误：根据之前的分析可知，甲、丙两 球相遇，一定有x甲=3甲两，即甲球的水平位移为三分 之一甲、丙两球的水平距离，因为，甲、乙两球始终在同 一竖直线上，此时乙球的位移等于甲球的水平位移，即 乙球一定在P点，故D正确。故选D。 4.D美洲狮水平方向做匀速运动，竖直方向做竖直上抛 运动，其运动示意图如图所示，有ocos·2t=x,osin a· 21=h,联立解得ana=1,故D正确。故选D。 B mkwwim 专题强化1平抛运动的两个重要推论 提升点 类型一 典题1：ABD运动员从A处到B处做平抛运动，设其在 空中飞行的时间为t,由平抛运动规律可得：水平位移 为：x=,竖直位移为：y=2心，由几何关系可知，运动 员着陆时满足：an37°=y,解得：t= ·tan37°= g 2×20 ×0.75s=3s,故A正确；由几何关系可得A、B间 10 vot20×3 的距离为：s=一 os37°c0s3700.8m=75m,故B正 21 确；运动员着陆时竖直分速度为：v,=gt=10×3m/s= 30/s,运动员到B处着陆时的速度大小为：v= √/2+，2=√20+30m/s=10√13m/s,故C错误；将 运动员从A处到B处的运动沿斜坡方向与垂直于斜坡 方向分解，垂直于斜坡方向先做匀减速直线运动，当此 方向的速度减到零时，运动员离坡面的距离最大。在A 处垂直于斜坡方向的初速度大小为：v,=vsin37°=20× 0.6m/s=12m/s,垂直于斜坡方向的加速度大小为：a1 =gcos0=10×0.8m/s2=8m/s2,运动员在空中离坡面 v12122 的距离最大为：4-2n2×8m=9m,故D正确。放 选ABD。 跟踪训练1：AC物资投出后恰好垂直落在斜坡上，则货 物落到斜坡上的竖直分速度为)，= an370=40m/s,根 据v,=gt,可知货物投出后运动的时间为t=4s,物资投 出后下落的高度为h=2gt=80m,物资落到斜坡上的 速度大小为)= ˉsimn37°=50m/s,从物资释放到落在斜 坡上发生的水平位移为x=vt=120m,故选AC。 类型二 典题2：A设箭的水平初速度为，人壶时速度与水平方 1 28t h 1 向的夹角为6，则有=tan,tx2an9,由于 m53>m37,所以，，若两人站在距壶相同水平 尤甲比乙 距离处投壶，即x=2时，则h,>h2,根据么=d,可 知t甲>tz,即甲所投的箭在空中运动时间比乙的长；根 据x=t,可知v甲<乙，即甲所投箭的初速度比乙的小， 故A正确，B错误；若箭在竖直方向下落的高度相等，即 h甲=hz,则x甲<xz,即甲投壶位置距壶的水平距离比乙 1 小；根据h=2,可知m=2,根据x=,可知m<”z, 则射箭落入壶口时的速度√甲2+(gt)2<√Jz2+(gt)2, 即甲所射箭落人壶口时速度比乙小，故C、D错误。故 选A。 跟踪训练2：D从最高点到最低点水平位移x=2L=t, 竖直位移y=L=,速度偏向角ama=二-坠-号- g。2L t =1,故a=45°，故选D。 2L 课堂效果反馈 1.C根据平抛运动的推论，做平抛（或类平抛）运动的物 体在任一时刻或任一位置时，设其速度方向与水平方 向的夹角为a,位移与水平方向的夹角为B,则tan= 2tanB,由上述关系式结合题图中的几何关系可得tan(p +0)=2tan日，此式表明小球的速度方向与斜面间的夹角 p仅与6有关，而与初速度无关，因此P,=92,即以不同 初速度平抛的物体，落在斜面上各点的速度方向是互 相平行的。故选C。 2.A物体做平抛运动水平方向有x=ot,D.=o,竖直方向 有y=了。，=8，速度方向与水平方向夹角的正切值 为tam&=,位移方向与水平方向夹角的正切值为 0 amB=士，解得ana=2ianB,A正确。故选A。 3.D根据平抛运动推论可得，小球在P点速度的反向沿 长线过其这段时间水平位移的中点，则有x=2QM=t, 解得小球运动的时间为：=2以-2交。=35，所以D正 确，A、B、C错误。故选D。 4D小球在空中微平抛运动，竖直方向有么=了，可 得t=, 2h g 由几何关系可知hc=2hB,可知球1和球2 运动的时间之比为1：√2，故A错误，B正确；水平方向 有x=ot,由几何关系可知xB=2xc,联立可知球1和球 2抛出时初速度之比为2√2：1，故C错误；根据△v=gt 可知，球1和球2运动时单位时间内速度变化量之比为 1:1,故D正确。故选BD。 5.A设小球A在空中运动的时间为t,小球B在空中运 动的时间为t,。对小球A,A球落在斜面上时，有tan0 1 上、2,2 42,可得1= 2votan 0 ,对小球B,小球B 恰好垂直斜面击中Q点，速度与斜面垂直，结合几何知 识，由平抛运动的规律可得n0==,可得， UBy gt2 一。联合可得会-故1正确，B,C.D信误 故选A。 21 章末整合素养提升 高考真题专练 1.A篮球做曲线运动，所受合力指向运动轨迹的凹侧， 故选A。 2.B设两边绳与竖直方向的夹角为0，塔块沿竖直方向 匀速下落的速度为块，将v块沿绳方向和垂直绳方向分 解，将v沿绳子方向和垂直绳方向分解，可得v热cos0= vsn0,解得u=”袋。，由于塔块匀速下落时0在减小，故 tan A' 可知v一直增大。故选B。 .D鸟食的运动视为平抛运动，则学Y 1 在竖直方向有h=2t,由于h,< hv,则tv<tv,要同时接到鸟食，则 在N点接到的鸟食先抛出，故A、B错误；在水平方向有 x=t,如图，过M点作一水平面，可看出在相同高度处 M点的水平位移大，则M点接到的鸟食平抛的初速度 较大，故C错误，D正确。故选D。 4.C青蛙做平抛运动，水平方向匀速直线，竖直方向自 由落体则，有=，A=方8，可得=√条，因此水平 1 位移越小，竖直高度越大，初速度越小，因此跳到荷叶℃ 上面。故选C。 ，落到 5.C设出水孔到水桶中心距离为x,则x=√g 桶底A点时x+)=, ·2 2=00Ng ,解得。=5+1)D区 2W2h' 故选C。 6.AD小鱼在运动过程中只受重力作用，则小鱼在水平 方向上做匀速直线运动，即v.为定值，则有水平位移x =v,t,故A正确，C错误；小鱼在竖直方向上做竖直上抛 运动，则y=0,02,心，=”0，且最高点时竖直方向 的速度为O,故B错误，D正确。故选AD。 7.(1)乙(2)AB(3)B0.59 解析：(1)为研究水平方向分运动特点，需要将平抛运 动与匀速直线运动进行对比。故应该选装置乙。(2) 调节装置使其背板竖直，才能保证小球落在背板上的 痕迹准确反映平抛轨迹，A正确：调节斜槽末端切线水 平，才能保证小球抛出时初速度水平，B正确；坐标原点 应选小球在斜槽末端时球心的位置，不是斜槽末端的 投影点，C错误；每次释放小球的高度应相同，保证初速 度一致，不需要等间距下降，D错误。畝选AB。（3)由 图可知因为B点更接近曲线轨迹上，所以为得到小球 的水平速度应该选B点进行计算；从原点到B点，小球 12