精品解析：上海市黄浦区大同中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

2026学年第一学期高二年级数学学科 （考试时间90分钟，试卷满分100分） 班级________ 学号________ 姓名________ 成绩________ 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1. 若，且，则______（填数学符号） 2. 已知平面平面，直线，直线，，则与的位置关系是________． 3. 边长为6的正方形放置在水平平面上，则其直观图的面积是________． 4. 如图所示，平面，四边形是正方形，则与平面所成角为________． 5. 在正方体中，二面角的大小为________． 6. 已知平面外两点A，B到平面的距离分别是4和6，则AB的中点到平面的距离是________． 7. 空间中，为互相垂直的两条异面直线，直线与所成角的大小为，则直线与所成角的大小的取值范围为________． 8. 将一个两条直角边长为1和的直角三角形，沿斜边上的高线折成直二面角，则两直角边所成夹角的余弦值为________． 9. 如图所示，三棱锥P-ABC中，，，D为BC的中点，于点H，连接BH，则二面角的大小为________． 10. 如图，已知棱长为1的正方体中，分别是线段的中点，又分别在线段上，且.设平面平面，现有下列结论：①平面；②；③直线与平面垂直；④当变化时，是定直线.其中成立的结论是__________.（写出所有成立结论的序号） 11. 如图，在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，若点分别为线段上的动点，则的最小值为 _____． 12. 棱长为1的正方体中，M为棱的中点，P为正方体表面上的一个动点，且总有，则动点P的轨迹所围成图形的面积为________． 二、选择题（本大题共有4题，第13～14题每题3分，第15～16题每题4分，满分14分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分． 13. 空间四个点中，三点共线是这四个点共面的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 在空间，已知直线及不在上两个不重合的点､，过直线作平面，使得点､到平面的距离相等，则这样的平面的个数不可能是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 15. 如图所示，正方体的棱长为2，L、M、N分别为棱AB、、AD的中点，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 平面 D. 的面积与的面积相等 16. 如图所示，已知，是的中点，沿直线将翻折成，设直线与面所成角为，二面角的平面角为，则（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有4题，满分44分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 如图所示，异面直线AB与CD垂直，BC为异面直线AB与CD的公垂线段，且，，．M、N分别为线段BC、AD的中点． （1）证明：直线和是异面直线； （2）求异面直线与所成的角的大小． 18. 已知正方体的棱长，、分别为棱、CD的中点，与交于点． （1）过作正方体的截面，使得平面（保留作图痕迹，说明作图方法）； （2）求该截面多边形的周长． 19. 如图所示，四面体的棱长，． （1）证明：； （2）求实数a的取值范围； （3）当时，求异面直线与所成角的大小． 20. 如图所示，纸片由三个直角三角形拼接而成，，且，，先将其沿AC翻折至，再沿将其翻折为成的二面角，使得、B两点分别位于平面的两侧，、C两点位于平面的同侧． （1）求二面角的大小； （2）延长交平面于F点，求，并求直线与平面所成角的大小； （3）求平面与平面所成锐二面角的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期高二年级数学学科 （考试时间90分钟，试卷满分100分） 班级________ 学号________ 姓名________ 成绩________ 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1. 若，且，则______（填数学符号） 【答案】 【解析】 【分析】根据点线、点面位置关系，结合平面的基本性质即可得答案. 【详解】由且，即. 故答案为： 2. 已知平面平面，直线，直线，，则与的位置关系是________． 【答案】异面或平行 【解析】 【详解】因为，，平面平面，所以， 因为，所以与的位置关系是异面或平行. 3. 边长为6的正方形放置在水平平面上，则其直观图的面积是________． 【答案】 【解析】 【详解】根据斜二测画法的性质有. 4. 如图所示，平面，四边形是正方形，则与平面所成角为________． 【答案】## 【解析】 【详解】因为平面，平面，所以， 因为四边形是正方形，所以， 因为平面，所以平面， 所以与平面所成角为 5. 在正方体中，二面角的大小为________． 【答案】 【解析】 【分析】取AC中点为O，连结，证明∠BOB1为二面角的平面角，在直角三角形BOB1求出，用反正切函数表示∠BOB1. 【详解】 取AC中点为O，连结. 因为为正方体，所以 又因为,所以AC⊥面OBB1,所以AC⊥OB1， 所以∠BOB1为二面角的平面角. 在正方体中，设棱长为1，则BB1=1，， 所以， 由图示，∠BOB1为锐角，所以. 故答案为：. 6. 已知平面外两点A，B到平面的距离分别是4和6，则AB的中点到平面的距离是________． 【答案】5或1 【解析】 【分析】分点A，B在平面同侧和异侧两种情况进行求解 【详解】设点A，B在平面的投影分别为和，由题意得，， 若点A，B在平面同侧，如图1，设点在平面的投影为， 则， 若点A，B在平面异侧，如图2，设点在平面的投影为， 过点作，交的延长线于点，延长交于点， 则， 则中点P到平面的距离为， 则AB的中点P到平面的距离为5或1. 7. 空间中，为互相垂直的两条异面直线，直线与所成角的大小为，则直线与所成角的大小的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间坐标系，分别假设直线的方向向量，根据线面角的向量求法，结合函数的单调性即可求解. 【详解】根据题意，设空间中直线的方向向量为，直线的方向向量为，直线的方向向量为， 因为直线与所成角的大小为，所以， 即，两边平方整理得， 设直线与所成角为，则， 将代入，可得， 令，则，可得单调递减， 所以当，即时，取得最大值，即，解得， 当，即时，取得最小值，即，解得， 所以直线与所成角的大小的取值范围为. 8. 将一个两条直角边长为1和的直角三角形，沿斜边上的高线折成直二面角，则两直角边所成夹角的余弦值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出三角形各边的长，再找到二面角的平面角，最后利用余弦定理即可求出. 【详解】由题意得，根据相似可得，即，解得，则， ，， 为二面角的平面角，，， . 故两直角边所成夹角的余弦值为. 9. 如图所示，三棱锥P-ABC中，，，D为BC的中点，于点H，连接BH，则二面角的大小为________． 【答案】 【解析】 【分析】使用线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理证明平面平面求解. 【详解】因为，，D为BC的中点，所以，， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，且，平面，所以平面， 因为平面，且平面，即平面， 所以平面平面，即平面平面， 故二面角的大小为：. 10. 如图，已知棱长为1的正方体中，分别是线段的中点，又分别在线段上，且.设平面平面，现有下列结论：①平面；②；③直线与平面垂直；④当变化时，是定直线.其中成立的结论是__________.（写出所有成立结论的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①利用线面平行的判定定理和性质定理； ②结合①所得结论即可判定；③根据不垂直于平面即可判断，④根据线面平行的性质定理确定的位置即可判断. 【详解】连接,, 平面，平面， 平面, 又因为平面平面， ,且平面,平面, 所以平面，故①正确； 因为,所以,所以，故②正确； 因为不垂直于平面，所以不垂直于平面， 故③错误； 当变化时，是过点且与直线平行的定直线，故④正确. 故答案为: ①②④. 11. 如图，在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，若点分别为线段上的动点，则的最小值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】由可确定为中点时，最小，取，通过三角形全等可将问题转化为最小值的求解问题，根据三点共线时线段和最小可求得结果. 【详解】 ，当为中点时，取得最小值； 在上取一点，使得， ，，， ； 则当三点共线时，最小，即最小， 此时且，的最小值为. 故答案为：. 12. 棱长为1的正方体中，M为棱的中点，P为正方体表面上的一个动点，且总有，则动点P的轨迹所围成图形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据向量的垂直关系可得点满足的方程，根据方程可得点的轨迹，进而利用面积公式求解即可. 【详解】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设， , , 由于,故，即， 由于经过点,其中分别为的中点， 因此的轨迹为平面，故点轨迹为四边形， 由于,, 故四边形的面积为。 二、选择题（本大题共有4题，第13～14题每题3分，第15～16题每题4分，满分14分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分． 13. 空间四个点中，三点共线是这四个点共面的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用平面的性质和充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】空间四个点中，有三个点共线，根据“一条直线与直线外一点可以确定一个平面”得到这四个点共面，即充分性成立； 反之，当四个点共面时，不一定有三点共线，即必要性不成立， 所以空间四个点中，三点共线是这四个点共面的充分不必要条件． 故选：A. 14. 在空间，已知直线及不在上两个不重合的点､，过直线作平面，使得点､到平面的距离相等，则这样的平面的个数不可能是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 【答案】C 【解析】 【分析】分情况讨论可得出. 【详解】（1）如图，当直线与异面时，则只有一种情况； （2）当直线与平行时，则有无数种情况，平面可以绕着转动； （3）如图，当过线段的中垂面时，有两种情况. 故选：C. 15. 如图所示，正方体的棱长为2，L、M、N分别为棱AB、、AD的中点，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 平面 D. 的面积与的面积相等 【答案】B 【解析】 【分析】A选项，计算和，判断两者关系，即可得到和关系； B选项，计算和，判断两者关系，即可得到和关系； C选项，计算平面法向量，分析和法向量是否垂直； D选项，分析E、F到距离是否相等. 【详解】 如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，； A选项，，，因为动点E、F在上，所以， 因为与不平行，所以和不平行，所以A选项错误； B选项，，因为，，所以， ，所以，则，所以B选项正确； C选项，，，设平面的法向量为， 则，即：，令，得，，即：， ，因为，所以与平面LMN不平行，所以C选项错误； D选项，不妨设动点在上，且，计算可得，则， ，， 所以点到距离为， 则， 所以是关于的函数，当两个动点E、F在线段上移动时， 若点确定，则点确定，但是无法保证两者到的距离相等，所以无法保证面积相等，所以D选项错误. 16. 如图所示，已知，是的中点，沿直线将翻折成，设直线与面所成角为，二面角的平面角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】构造出二面角和线面角之后，再比较大小即可 【详解】 对于A，显然错误，而 对于B，当，时显然成立 当且时，分类讨论如下 ①若,则， 则 即为二面角的平面角, 即 又，，平面，平面， 所以平面，又平面 所以平面平面 所以在平面上的射影即为 所以即为与平面所成的角，即 此时， ②若与不垂直, 过点作垂直直线于点, 过点作垂直直线于点, 则可知分别在点的两边, 如图所示,将线段平移到线段处，过作垂直于点，连接 因为，，所以 则 即为二面角的平面角, 即 又，，平面，平面， 所以平面，又平面 所以平面平面 又平面，平面平面，， 所以平面 所以即为与平面所成的角，即 在中， 在中， 因为，所以，所以 综上， 故B正确 对于C，当且时显然成立 当，且时， 由B选项的讨论可知，成立 故C正确 对于D 设, 则由题意知. 在空间图形中, 连结, 设. 在中, 在中,,. 同理,,故. 由题意平面,故. 在中, 在中, （当时取等号）, ,而在上为递减函数, 故D错误 故选：BC 三、解答题（本大题共有4题，满分44分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 如图所示，异面直线AB与CD垂直，BC为异面直线AB与CD的公垂线段，且，，．M、N分别为线段BC、AD的中点． （1）证明：直线和是异面直线； （2）求异面直线与所成的角的大小． 【答案】（1）证明：反证法，假设直线和不是异面直线， 则四点共面， 因为，所以共线，于是在平面内， 又，故也在平面内，因此四点共面， 故为共面直线，与题干中异面直线与垂直矛盾， 所以假设不成立，直线和是异面直线 （2） 【解析】 【分析】（1）假设直线和不是异面直线，推出矛盾，证明出结论； （2）作出辅助线，得到即为异面直线所成角，并求出各边长，得到答案 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接， 则，故或其补角即为异面直线所成角， ， 异面直线与垂直，故⊥， 在中，， 所以， 所以异面直线与所成的角的大小为 18. 已知正方体的棱长，、分别为棱、CD的中点，与交于点． （1）过作正方体的截面，使得平面（保留作图痕迹，说明作图方法）； （2）求该截面多边形的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过线线平行将转换到以为端点的线段上绘制截面. （2）通过三角形相似以及勾股定理求解线段长度即可. 【小问1详解】 取对角线上靠近的三等分点，连接，再取中点，连接并延长交于于点，连接，平面即为截面，满足平面. 因为且，所以四边形为平行四边形，， 同时，分别为中点，所以，， 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 由作图方法可知，，, 因为，故，， 又，，， 所以周长. 19. 如图所示，四面体的棱长，． （1）证明：； （2）求实数a的取值范围； （3）当时，求异面直线与所成角的大小． 【答案】（1）证明：取的中点为，连接. 因为，所以， 又平面，，所以平面. 又平面，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）要证明线线垂直，需要通过证明线面垂直得到线线垂直，即证明以平面. （2）根据三角形三边关系列出不等式，然后求解即可. （3）利用空间向量将表示出来，然后求出向量的数量积，最后利用向量夹角的余弦公式即可求出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，，，所以. 同理，，根据三角形三边关系可知. 所以，化简得，又，解得. 【小问3详解】 ， 所以. 在中，，所以. 同理，， 所以. . 由（1）知，所以，又. 所以，即， 又，所以异面直线与所成角余弦值为， 所以异面直线与所成角的大小为. 20. 如图所示，纸片由三个直角三角形拼接而成，，且，，先将其沿AC翻折至，再沿将其翻折为成的二面角，使得、B两点分别位于平面的两侧，、C两点位于平面的同侧． （1）求二面角的大小； （2）延长交平面于F点，求，并求直线与平面所成角的大小； （3）求平面与平面所成锐二面角的大小． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明线面垂直找到二面角，并利用余弦定理求解二面角大小. （2）建立空间直角坐标系，通过线段长度以及面面角大小等条件解出坐标后利用向量求解即可. （3）求解两平面法向量，并通过向量法计算得到二面角大小. 【小问1详解】 因为，，，平面，平面， 所以平面，故为二面角. 通过余弦定理可知，即. 【小问2详解】 建立如图空间直角坐标系， 可知，，，设，， 因为，，可知， 解得，，即. ，，因为，可知， ，即， 同时，，即， 综上所述，解得，，，可知. 因为直线方向向量，所以直线对应的方程为，， 当时，解得，，故. 可知， ，所以. 平面法向量，所以. 【小问3详解】 设平面法向量，因为，， 所以建立方程组，解得， 所以，可知二面角. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $