精品解析：上海市徐汇区位育中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

上海市徐汇区位育中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题 （考试时间100分钟 总分100分） 一、填空题（本大题共有12题，第1－6题每题3分，第7－12题每题4分，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果． 1. “平面经过直线”可用符号语言表示为_______________． 【答案】 【解析】 【详解】 2. 如果异面直线所成角的大小为，则的所有可能值组成的区间是_______________． 【答案】 【解析】 【详解】异面直线所成角取平移后相交形成的锐角或直角，即. 3. 若点平面平面，且，则_______________l. 【答案】 【解析】 【详解】因为，，所以. 4. 空间中和两边分别平行，，则的大小是_______________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据空间等角定理，空间两角两边分别平行时，两角相等或互补，即可求得结果. 【详解】因为空间中和两边分别平行，则和相等或互补，又因为，所以或 5. 空间中有三个平面两两相交，则它们的交线条数的所有可能值为______． 【答案】1或3 【解析】 【详解】三个平面可以共同拥有同一条交线，即它们的交线条数为 1 条； 三个平面两两相交，但交线不重合 ，会形成3条不同的交线. 6. 正方体的面对角线中，与所成角为的有__________条. 【答案】8 【解析】 【分析】根据，，，是等边三角形判断. 【详解】如图所示： 因为，是等边三角形， 所以与所成角为， 又，是等边三角形， 所以与所成角为， 因为， 所以与所成角为， 所以与所成角为的面对交线有8条， 故答案为：8 7. 如图，一个水平放置的直角梯形由斜二测画法得到的直观图是等腰梯形，其中，，则原梯形中长度为__________. 【答案】 【解析】 【分析】过点作，构造直角三角形，利用勾股定理求出的长，再根据斜二测画法的规则还原原长即可. 【详解】 过点作，垂足为， 因为，，四边形为等腰梯形， 所以，所以， 所以原梯形中的长度为. 8. 正方体中，二面角的大小为________． 【答案】60° 【解析】 【分析】取中点，过作于，连接，根据条件可知为二面角的平面角，即可求解. 【详解】先找到二面角的平面角，再求平面角的大小即可求解. 取中点，过作于，连接， 因为，又，面， 所以面，又面，所以，又， ，面，所以面，又面， 所以，得到为二面角的平面角， 设正方形的边长为，易知， 又，所以，得到， 在中，，所以， 故答案为：. 9. 已知点为所在平面外一点．若直线、、与平面所成角相等，则点在平面上的投影一定为的_______________心．（从“外、内、重、垂”中选择一个填写） 【答案】外 【解析】 【分析】找到直线、、与平面所成的角，依据此三角相等可以证明三角形全等，进而证明. 【详解】 因为点是点在平面上的投影，所以平面，故， 且线段、、在平面上的射影分别为、、， 因此直线、、与平面所成的角分别为，，， 故， 在，和中， ， 所以， 所以， 故是的外心 10. 如图，在直角中，，现将点放置在平面的同侧，且与的距离分别为，则点的到平面的最小距离为_______________． 【答案】1 【解析】 【分析】判断出的轨迹后可求最小距离. 【详解】因为点在平面的同侧，且与的距离分别为， 故的中点到平面的距离为，而， 故在以为直径的球面上，故点到平面的最小距离为. 11. 已知正方体中，点P、Q、R分别是线段上的动点，观察直线CP与与，得出下列结论： ①对于任意给定的点，存在点，使得； ②对于任意给定的点，存在点，使得； ③对于任意给定的点，存在点，使得； ④对于任意给定的点，存在点，使得； 其中正确的结论是_______________．（请填写所有你认为正确结论的序号） 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据直线与直线，直线与平面的位置关系，结合正方体的性质，分别分析选项，利用排除法可得结论． 【详解】①当点与重合时， ，，且，平面， 所以平面，因为对于任意给定的点，都有平面， 所以对于任意给定的点，存在点，使得，所以①正确； ②当点与重合时，若，因为，， 平面，故平面， 而平面，故，但，矛盾， 所以②错误； ③当与重合时，若，因，故， 而，故，当在变化时，，矛盾；所以③错误； ④若在之间，则在平面，过作的垂线，交线段于， 在上截取，连接，则四边形为平行四边形， 故，故，故四边形为平行四边形， 设平面，在平面中，过作，交于， 因为平面平面，故， 而，平面，故平面， 而平面，故，故，故④正确. 若与重合，则取为的中点，由正方体性质可得； 若与重合，则取为的中点，由正方体性质可得； 故此时④也正确. 综上，④正确. 12. 如图，已知四面体的所有棱长均为．在线段上取个点、、，使得线段、、的长度分别为、、；在线段上取个点、、，使得线段、、的长度分别为、、．在集合中任取两条直线组成直线对，则由两条共面直线组成的直线对有_______________个．（将与看作同一个直线对） 【答案】 【解析】 【分析】先证明在正四面体中，直线和异面的充要条件是，．再依题意确定集合里的直线条数，从而根据组合数得到直线对的个数，再根据以上证明的结论得到异面直线对的个数，进而得到共面的直线对． 【详解】先证明：在正四面体中，直线和异面的充要条件是，． 若，则直线和相交于，即这两直线共面； 若，则直线和相交于，即这两直线共面； 若，，则，， 又在正四面体中，与是异面直线，即四点不共面，所以直线和异面， 所以在正四面体中，直线和异面的充要条件是，，证毕． 由集合里的直线是所有，其中，则共有条直线， 所以在这条直线中，任取两条直线组成直线对，共有个， 又在正四面体中，直线和异面的充要条件是，， 即对于固定的一条直线，其异面直线有条， 又将与看作同一个直线对， 所以在这条直线中，两条异面直线组成的直线对共有个， 所以在这条直线中，两条共面直线组成的直线对有个． 二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题3分，第15、16题每题4分，满分14分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑． 13. 判断命题“如果直线平面，那么直线分别垂直于平面上的两条相交直线、”的真假，最直接的方法是使用直线与平面垂直的（ ） A. 定义 B. 判定定理 C. 性质定理 D. 性质定理的推论 【答案】A 【解析】 【详解】直线与平面垂直的定义：直线与平面内任意一条直线都垂直， 因此如果直线平面，那么直线垂直于平面上的任意直线，当然包括其中的直线和，从而能判断题中命题. 14. 已知，表示两条不重合的直线，，，表示三个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【详解】选项A：若，，则与可能平行，也可能相交，故A错误； 选项B：若，，则与可能平行，也可能相交，当平行于与的交线时，可满足同时平行于两个相交平面，故B错误； 选项C：若，，则与的位置关系为平行或异面，故C错误； 选项D：根据线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条不重合直线互相平行，可知若，，是两条不重合的直线，则，故D正确. 15. 正方体的棱长为10，点是其表面上一点，点到直线的距离为2、到直线的距离为3，则经过点且平行于直线的直线和该正方体的表面（ ）相交． A. ABCD B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面的基本性质，确定点与直线所确定的平面，即直线所确定的平面，延长，交于点，即得所求的平面. 【详解】如图，由条件可知直线交线段于点，连接， 过点作的平行线，必与相交，那么也与平面相交. 16. 已知菱形，，点为边上的点（不包括点，）．现将沿对角线翻折至点与点重合，在翻折过程中，记直线与所成角的最小值为，最大值为．则（ ） A. ，均与位置有关 B. 与位置有关，与位置无关 C. 与位置无关，与位置有关 D. ，均与位置无关 【答案】C 【解析】 【分析】先作，且交于点，分别取的中点，连接，再利用线面垂直的性质得到，即确定为直线与所成的角，再根据三角函数的性质得到，进而通过讨论点位置即可得到答案． 【详解】作，且交于点，分别取的中点， 连接，如下图， 由翻折前该四边形为菱形，且，所以，均为等边三角形， 同时点在上， 由，，，平面，所以平面， 又//，所以平面， 又平面，所以， 所以直线与所成角即直线与所成角，即为， 在中，有， 又点不与重合， 所以当点翻折到与点重合时，最小，为最小，即与位置无关； 当没有翻折时，最大，最大，则最大，即与位置有关． 三、解答题（本大题共有5题，满分44分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤，且不得使用空间向量的方法解题． 17. 如图，在正方体中，求异面直线与DC所成的角的大小． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以或其补角为异面直线与DC所成的角， 在正方体中，， 故， 故异面直线与DC所成的角为. 18. 如图，已知空间四边形，点、分别是线段、的中点，点、分别在线段和线段上，且满足． （1）证明：、、、四点共面； （2）证明：、、三线共点． 【答案】（1）如图，连接，. 因为点、分别是线段、的中点，所以，. 因为，所以，，所以. 因为两条平行线可以确定一个平面，所以、、、在同一个平面上，即、、、四点共面. （2）由（1）知，，，， 所以四边形为梯形，梯形两腰必相交. 设直线与直线交于点. 因为，平面，所以平面. 因为，平面，所以平面. 因为平面平面，所以点一定在交线上，即. 所以、、交于同一点，即、、三线共点. 【解析】 【分析】（1）根据中位线定理、平行线分线段成比例及两条平行线确定一个平面定理证明即可. （2）根据平面的基本性质：两平面相交，公共点都在交线上证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段上的一点，为线段的中点． （1）求证：； （2）若为线段的中点，求二面角的大小． 【答案】（1）因为底面，底面，所以. 因为底面为正方形，所以. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以. 因为，为线段的中点，所以. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及线面垂直的性质证明即可. （2）根据二面角的定义找出二面角的平面角，结合线面垂直的判定定理、线面垂直的性质、相似三角形及三角函数求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，设，取中点，连接， 则，，. 因为底面，所以底面. 过点作，交于点，连接. 因为底面，所以，. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以. 所以即为二面角的平面角. 在中，，. 因为，，所以， 所以，即，所以. 在中，，所以. 故二面角的大小为. 20. 如图，已知三棱柱所有棱长均为2，平面平面，直线均与平面ABC垂直．过线段AC中点作平面平面，记平面与线段交点为． （1）求直线与平面ABC所成角的大小； （2）求证：，并求点到直线AB的距离． 【答案】（1） （2）证明：由于平面平面，平面平面，平面平面， 则. 点到直线AB的距离为. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直，即可得为所求角，利用三角形的边角关系即可求解， （2）根据面面平行的性质即可求证，进而建立空间直角坐标系，根据点线距离的向量法公式即可求解. 【小问1详解】 由于平面，故即为直线与平面ABC所成的夹角， 由于，故， 则直线与平面ABC所成角为. 【小问2详解】 由于为等边三角形，且三棱柱为直三棱柱， 由于，因此是的中点， 取的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以 故点到直线AB的距离为. 21. 如图，已知平面内的两条射线满足．直线将分成两个区域，记包括点的区域为（不含直线OB）．平面外有一动点，同时满足三个条件：①，②，③点在平面内的射影．记点到平面的距离为，点到直线的距离为． （1）若点在射线上，求的值； （2）若点不在的内部，求的最大值． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）以为原点，射线为轴正方向建立空间直角坐标系，设，根据题设条件求得，再利用空间向量法求得，代入计算即可； （2）根据将化为，再利用柯西不等式求得的最小值即可． 【小问1详解】 如图，以为原点，射线为轴正方向建立空间直角坐标系， 设，则，， 射线的单位方向向量，射线的单位方向向量， 由得， 由得，即，故， 由得，由在射线上得， 因此，故， 又，， 故． 【小问2详解】 由（1）得， 注意到， 上式是因为， 故，故， 当时等号成立，此时确实不在的内部， 因此的最大值为5． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市徐汇区位育中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题 （考试时间100分钟 总分100分） 一、填空题（本大题共有12题，第1－6题每题3分，第7－12题每题4分，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果． 1. “平面经过直线”可用符号语言表示为_______________． 2. 如果异面直线所成角的大小为，则的所有可能值组成的区间是_______________． 3. 若点平面平面，且，则_______________l. 4. 空间中和两边分别平行，，则的大小是_______________． 5. 空间中有三个平面两两相交，则它们的交线条数的所有可能值为______． 6. 正方体的面对角线中，与所成角为的有__________条. 7. 如图，一个水平放置的直角梯形由斜二测画法得到的直观图是等腰梯形，其中，，则原梯形中长度为__________. 8. 正方体中，二面角的大小为________． 9. 已知点为所在平面外一点．若直线、、与平面所成角相等，则点在平面上的投影一定为的_______________心．（从“外、内、重、垂”中选择一个填写） 10. 如图，在直角中，，现将点放置在平面的同侧，且与的距离分别为，则点的到平面的最小距离为_______________． 11. 已知正方体中，点P、Q、R分别是线段上的动点，观察直线CP与与，得出下列结论： ①对于任意给定的点，存在点，使得； ②对于任意给定的点，存在点，使得； ③对于任意给定的点，存在点，使得； ④对于任意给定的点，存在点，使得； 其中正确的结论是_______________．（请填写所有你认为正确结论的序号） 12. 如图，已知四面体的所有棱长均为．在线段上取个点、、，使得线段、、的长度分别为、、；在线段上取个点、、，使得线段、、的长度分别为、、．在集合中任取两条直线组成直线对，则由两条共面直线组成的直线对有_______________个．（将与看作同一个直线对） 二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题3分，第15、16题每题4分，满分14分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑． 13. 判断命题“如果直线平面，那么直线分别垂直于平面上的两条相交直线、”的真假，最直接的方法是使用直线与平面垂直的（ ） A. 定义 B. 判定定理 C. 性质定理 D. 性质定理的推论 14. 已知，表示两条不重合的直线，，，表示三个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 15. 正方体的棱长为10，点是其表面上一点，点到直线的距离为2、到直线的距离为3，则经过点且平行于直线的直线和该正方体的表面（ ）相交． A. ABCD B. C. D. 16. 已知菱形，，点为边上的点（不包括点，）．现将沿对角线翻折至点与点重合，在翻折过程中，记直线与所成角的最小值为，最大值为．则（ ） A. ，均与位置有关 B. 与位置有关，与位置无关 C. 与位置无关，与位置有关 D. ，均与位置无关 三、解答题（本大题共有5题，满分44分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤，且不得使用空间向量的方法解题． 17. 如图，在正方体中，求异面直线与DC所成的角的大小． 18. 如图，已知空间四边形，点、分别是线段、的中点，点、分别在线段和线段上，且满足． （1）证明：、、、四点共面； （2）证明：、、三线共点． 19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段上的一点，为线段的中点． （1）求证：； （2）若为线段的中点，求二面角的大小． 20. 如图，已知三棱柱所有棱长均为2，平面平面，直线均与平面ABC垂直．过线段AC中点作平面平面，记平面与线段交点为． （1）求直线与平面ABC所成角的大小； （2）求证：，并求点到直线AB的距离． 21. 如图，已知平面内的两条射线满足．直线将分成两个区域，记包括点的区域为（不含直线OB）．平面外有一动点，同时满足三个条件：①，②，③点在平面内的射影．记点到平面的距离为，点到直线的距离为． （1）若点在射线上，求的值； （2）若点不在的内部，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $