3.2 数字类规律探索问题、图形类规律探索问题 专项训练 2026-2027学年人教版七年级数学上册

数字类规律探索问题、图形类规律探索问题专项训练 数字类规律探索问题、图形类规律探索问题专项训练 考点目录 数字类规律探索问题 图形类规律探索问题 考点一 数字类规律探索问题 例1．（26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）已知这100个数中，每个数仅可以取值1或，则能取到的最小正数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】表达式值始终为偶数，且通过调整的取值，可以使表达式值为2，这是最小正偶数，即可作答． 【详解】解：依题意，把第k项的数记为（，且k为正整数）， ∵这100个数中，每个数可以取值1或． ∴是奇数还是偶数取决于： 若为奇数，则为奇数； 若为偶数，则为偶数； 从1到100有50个奇数和50个偶数，50个奇数的和为偶数， 因此始终为偶数； ∵能取到的最小正数， ∴偶数且是最小正数为2， 验证：把每连续的8个数看作一组数： ； ； 依次类推，每连续的8个数之和为0，即这样的一组数之和为0； 依题意，， 即100个数中有12组这样的数，100个数中剩下的4个数分别为， ∵这100个数中，每个数可以取值1或． 则 故能取到的最小正数为2． 例2．（26-27七年级上·河南鹤壁·阶段检测）规定一种新运算☆：，，，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得： ． 例3．（26-27七年级上·湖北武汉·阶段检测）有一列数1，，3，，5，…，按如图的方式排列：第一行1个数，从第二行起每一行都比上一行多两个数．那么第12行，左起第7个数是______． 【答案】 【分析】由题意可得，奇数为正，偶数为负，每行最后一个数的绝对值是平方数，即第行最后一个数为，据此进行解答即可． 【详解】解：观察可得，奇数为正，偶数为负，每行最后一个数的绝对值是平方数，即第行最后一个数为， ∴第11行最后一个数是， ∴第12行，左起第7个数是． 例4．（26-27七年级上·甘肃张掖·阶段检测）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：_________________________； 第50个等式：___________________________； (2)运用你发现的规律 求的值． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）先依次观察已知等式，分别对比等式序号、分母、拆分后的分数，归纳出第个等式的通用表达式，再将，代入通用式，写出对应等式． （2）利用已经归纳出的裂项规律，把每一项拆成的形式，展开后中间项两两抵消，只保留首尾两项，计算最终结果． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， ……， ∴第个等式：， 当时， 第50个等式：； （2）解： ． 变式1．（26-27七年级上·山东济南·阶段检测）现有一列数，，，……，，，其中，，，且满足任意相邻三个数的和为同一个常数，则的值为（     ） A．2032 B．2034 C．2035 D．2036 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的运算，关键是由题意得到数字的规律，然后进行有理数的运算即可．由题意易得，则有，同理可得，，进而可得这列数是每三个一循环，则由，，可得，，，然后依此规律可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， 同理可得：，， ∴这列数是每三个一循环， ∵，， ∴，，， ∴， ∵ ∴． 变式2．（26-27七年级上·河北保定·阶段检测）观察下列算式：，，，，，，…，根据其中的规律，的个位数字是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，，，，，…， 它们的尾数是、、、，每个一循环， ， 根据上述算式中的规律，的个位数字与相同，为． 变式3．（26-27七年级上·重庆璧山·阶段检测）把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，……，如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”，例如： ． ． 所以23和91都是“快乐数”． （1）13_____（填“是”或“不是”）“快乐数”； （2）若一个两位“快乐数”经过两次运算后结果为1，这个“快乐数”为_____． 【答案】 是 13、31、68或86 【分析】（1）根据新定义，进行判断和求解即可； （2）根据一个两位“快乐数”经过两次运算后结果为1，得到经过一次运算后结果为10或100，将10和100拆分成两个平方数相加的格式即可得出结论． 【详解】解：（1），故13是“快乐数”； （2）∵一个两位“快乐数”经过两次运算后结果为1， ∴该两位数经过一次运算为10或100， ∵，， ∴这个“快乐数”为13、31、68或86． 变式4．（26-27七年级上·辽宁大连·阶段检测）观察下面三行数： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…．③ (1)第①行中的第8个数为_________； (2)若设第①行中的第（n为正整数）个数为a，请用含a的式子分别表示：第②行中的第n个数为_________，第③行中的第n个数为_____________； (3)取每行中的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据前面6个数的规律，可写出第7个、第8个数，从而完成解答； （2）找出每行的规律即可完成；第①行：符号是第一个数为负，第二个数为正，且负正相间，数字为2的乘方；第②行：第①行对应的数加1；第③行：第①行对应的数的倍； （3）根据（2）中的规律求出每行中的第10个数，再计算这三个数的和即可． 【详解】（1）解：由规律得：第7个数为，第8个数为256； （2）解：第①行第n个数为a； 第②行为第①行对应的数加1，即第n个数为； 第③行为第①行对应的数的倍，即第n个数为； （3）解：每行中第10个数的和为： ． 考点二 图形类规律探索问题 例1．（26-27八年级上·重庆九龙坡·阶段检测）按照如图所示规律，用同样长度的火柴棒拼一组“灯笼”图案．第①个图案有9根火柴棒，第②个图案有15根火柴棒，第③个图案有21根火柴棒……按照这一规律，第⑦个图案中火柴棒的根数是（     ） A．39 B．43 C．45 D．51 【答案】C 【分析】观察图形规律，第①个图案有根火柴棒，第②个图案有根火柴棒，第③个图案有根火柴棒，，发现后面一个图案比前面一个图案多个，依此规律，求出第个图案中所用火柴棒的根数，即可求解第⑦个图案中火柴棒的根数． 【详解】∵第①个图案有根火柴棒，第②个图案有根火柴棒，第③个图案有根火柴棒， ∴后面一个图案比前面一个图案多个， ∴第①个：根；第②个：；第③个：， ∴第个： ， ∴第⑦个图案中火柴棒的根数是（根）． 例2．（26-27七年级上·湖南衡阳·阶段检测）如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正方形；将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图，第4个图中共有10个正方形……如此下去，则第2024个图中共有正方形的个数为（     ） A．6070 B．6072 C．6069 D．6068 【答案】A 【分析】根据图形的变化，后一个图形的正方形的个数都比前一个图形的正方形的个数多3个，第n个图形的正方形的个数为即可求解． 【详解】解：观察图形可知：第1个图中有1个正方形，即； 第2个图中有4个正方形，即； 第3个图中有7个正方形，即； 第4个图中有10个正方形，即； …… ∴第n个图中正方形的个数为； 当时， ， ∴第2024个图中共有正方形的个数为6070． 例3．（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）个正六边形的点数总共有________个． 【答案】 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，， 按照上述规律，个正六边形的点数总共有． 例4．（26-27七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）用棋子摆出下列图形：第一个图案摆放1个棋子，后续每个图案新增一行．每行棋子数量依次增加一个． (1)第5个图案中，棋子一共有___________枚； (2)摆第2个图形用枚棋子，摆第三个图形用枚棋子，摆第4个图形用枚棋子，求的值： (3)通过观察棋子的摆放规律，用表示图的棋子数，其中，小丽发现 图1棋子总数：枚棋子 图2棋子总数：枚棋子 图3棋子总数：枚棋子 图4棋子总数：枚棋子 ．．．．．． 根据以上规律： ①第80个图案中，棋子一共有___________枚； ②结合上面探究求值 【答案】(1)15 (2)7 (3)①；② 【分析】（1）直接对1到5连续整数求和． （2）先求出x、y、z的值，再代入代数式计算． （3）观察题中给出的式子，归纳得到棋子数的通项表达式，利用裂项相消，中间项全部抵消，简化分数求和． 【详解】（1）解：第5个图案棋子总数： （2）解：由题意得： ，，， ， （3）解：①根据题意得 ， ， ， ， 由此归纳可得：． 当时， ． ②， ， ． 变式1．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）如图1，数轴上方有1个方块，记图1为；图2的数轴上方有1个方块，数轴下方有2个方块，记图2为；图3的数轴上方有4个方块，数轴下方有2个方块，记图3为；同理，记图4为．按照此规律第2026个图记为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合所给的图形发现，该组图形的规律为，第个图记为，n为正整数，令，进行计算求解即可． 【详解】解：根据题意得，第1个图记为， 第2个图记为， 第3个图记为， 第4个图记为， 以此类推， 第个图记为，n为正整数， 当，即时，， ∴第2026个图记为． 变式2．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）如图，用棱长为2厘米的小正方体拼成长方体，按照这样的拼法，第9个长方体的表面积是（ ）平方厘米． A．42 B．38 C．168 D．152 【答案】C 【分析】根据题意可得第n个长方体由个小正方体构成，则第9个长方体由10个小正方体构成，据此计算表面积即可． 【详解】解：第1个长方体由2个小正方体构成， 第2个长方体由3个小正方体构成， 第3个长方体由4个小正方体构成， ……， 以此类推，可知第n个长方体由个小正方体构成， ∴第9个长方体由10个小正方体构成， ∴第9个长方体的表面积是（平方厘米）． 变式3．（26-27七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有2个黑色正方形，图②中有5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，…，依此规律；图2026中黑色正方形的个数是_____． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律问题，由已知图形可得图中黑色正方形的个数为，进而把代入计算即可求解，找出图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵图①中有个黑色正方形， 图②中有个黑色正方形， 图③中有个黑色正方形， 图④中有个黑色正方形， ， ∴图中黑色正方形的个数为， 当时，． 变式4．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）完成以下小题 (1)【发现问题】自然数的平方可以用正方形的面积表示． 观察图1，由6个正方形组成的图形，其空白部分从下到上每一层长方形的面积可以表示为：．这样，图1中所有空白部分的面积之和为_____，粗线上方阴影部分面积是空白部分面积的_____倍；像这样，如果有8个正方形，那么空白部分的面积之和为_____． (2)【解决问题】如图2，粗线上方的阴影图形和空白图形的面积和为_____．（结果用含的代数式表示）．根据图2中粗线上方的阴影部分与空白部分的面积之间的关系，试推导：．（结果用含的代数式表示） (3)【拓展应用】根据以上发现，计算：． 【答案】(1)；； (2)； . (3) 【分析】（1）结合图形面积公式直接计算即可； （2）先求解，利用面积差与规律进行计算即可； （3）先推导，进一步计算即可. 【详解】（1）解：图1中所有空白部分的面积之和为： ， 粗线上方阴影部分面积是： ； ∴粗线上方阴影部分面积是空白部分面积的倍； 如果有8个正方形，那么空白部分的面积之和为： ； （2）解：∵， ∴粗线上方的阴影图形和空白图形的面积和为： ； （3）解：由（2）得：粗线上方的阴影图形面积为： ， ∴， ∴ . 2 学科网（北京）股份有限公司 $数字类规律探索问题、图形类规律探索问题专项训练 数字类规律探索问题、图形类规律探索问题专项训练 考点目录 数字类规律探索问题 图形类规律探索问题 考点一 数字类规律探索问题 例1．（26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）已知这100个数中，每个数仅可以取值1或，则能取到的最小正数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 例2．（26-27七年级上·河南鹤壁·阶段检测）规定一种新运算☆：，，，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 例3．（26-27七年级上·湖北武汉·阶段检测）有一列数1，，3，，5，…，按如图的方式排列：第一行1个数，从第二行起每一行都比上一行多两个数．那么第12行，左起第7个数是______． 例4．（26-27七年级上·甘肃张掖·阶段检测）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：_________________________； 第50个等式：___________________________； (2)运用你发现的规律 求的值． 变式1．（26-27七年级上·山东济南·阶段检测）现有一列数，，，……，，，其中，，，且满足任意相邻三个数的和为同一个常数，则的值为（     ） A．2032 B．2034 C．2035 D．2036 变式2．（26-27七年级上·河北保定·阶段检测）观察下列算式：，，，，，，…，根据其中的规律，的个位数字是（     ） A． B． C． D． 变式3．（26-27七年级上·重庆璧山·阶段检测）把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，……，如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”，例如： ． ． 所以23和91都是“快乐数”． （1）13_____（填“是”或“不是”）“快乐数”； （2）若一个两位“快乐数”经过两次运算后结果为1，这个“快乐数”为_____． 变式4．（26-27七年级上·辽宁大连·阶段检测）观察下面三行数： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…．③ (1)第①行中的第8个数为_________； (2)若设第①行中的第（n为正整数）个数为a，请用含a的式子分别表示：第②行中的第n个数为_________，第③行中的第n个数为_____________； (3)取每行中的第10个数，计算这三个数的和． 考点二 图形类规律探索问题 例1．（26-27八年级上·重庆九龙坡·阶段检测）按照如图所示规律，用同样长度的火柴棒拼一组“灯笼”图案．第①个图案有9根火柴棒，第②个图案有15根火柴棒，第③个图案有21根火柴棒……按照这一规律，第⑦个图案中火柴棒的根数是（     ） A．39 B．43 C．45 D．51 例2．（26-27七年级上·湖南衡阳·阶段检测）如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正方形；将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图，第4个图中共有10个正方形……如此下去，则第2024个图中共有正方形的个数为（     ） A．6070 B．6072 C．6069 D．6068 例3．（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）个正六边形的点数总共有________个． 例4．（26-27七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）用棋子摆出下列图形：第一个图案摆放1个棋子，后续每个图案新增一行．每行棋子数量依次增加一个． (1)第5个图案中，棋子一共有___________枚； (2)摆第2个图形用枚棋子，摆第三个图形用枚棋子，摆第4个图形用枚棋子，求的值： (3)通过观察棋子的摆放规律，用表示图的棋子数，其中，小丽发现 图1棋子总数：枚棋子 图2棋子总数：枚棋子 图3棋子总数：枚棋子 图4棋子总数：枚棋子 ．．．．．． 根据以上规律： ①第80个图案中，棋子一共有___________枚； ②结合上面探究求值 变式1．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）如图1，数轴上方有1个方块，记图1为；图2的数轴上方有1个方块，数轴下方有2个方块，记图2为；图3的数轴上方有4个方块，数轴下方有2个方块，记图3为；同理，记图4为．按照此规律第2026个图记为（     ） A． B． C． D． 变式2．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）如图，用棱长为2厘米的小正方体拼成长方体，按照这样的拼法，第9个长方体的表面积是（ ）平方厘米． A．42 B．38 C．168 D．152 变式3．（26-27七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有2个黑色正方形，图②中有5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，…，依此规律；图2026中黑色正方形的个数是_____． 变式4．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）完成以下小题 (1)【发现问题】自然数的平方可以用正方形的面积表示． 观察图1，由6个正方形组成的图形，其空白部分从下到上每一层长方形的面积可以表示为：．这样，图1中所有空白部分的面积之和为_____，粗线上方阴影部分面积是空白部分面积的_____倍；像这样，如果有8个正方形，那么空白部分的面积之和为_____． (2)【解决问题】如图2，粗线上方的阴影图形和空白图形的面积和为_____．（结果用含的代数式表示）．根据图2中粗线上方的阴影部分与空白部分的面积之间的关系，试推导：．（结果用含的代数式表示） (3)【拓展应用】根据以上发现，计算：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $