专项训练03 整式中数字类和图形类规律探究问题（巩固培优）新七年级数学新教材人教版

**基本信息** 聚焦整式规律探究，构建“数字规律建模-图形规律转化”双路径方法体系，通过四步探究法培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数字规律型|4类题型（排列/末尾数字等）|差值法+周期分析+新运算定义转化|以“3n+1”模型为基础，构建数列通项公式推导逻辑| |图案规律型|2类题型（数字/数量问题）|图形→数字四步法（观察-联想-类比-验证）|通过阴影正方形/火柴棒计数，实现图形特征到代数表达式的抽象|

面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专项训练03整式中数字类和图形类规律探究问题 知识复盘卡 【知识点1数字规律型】 例如：上面的第（3)列数，相差3，则先得到3，而第1项是4，当=1时， 32=3,3+1=4,所有第n项表示为3+1. 拓展延申： 等比数列 2 16 2" 2 平方数列 9 25 平方数的衍 0 16 m2+1 生数列 3 8 24 n2-1 三角形数列 1 3 6 10 nn+1) 2 三角形数衍 2 12 20 n(n+1) 生数列 符号正负交 (-IYx 替数列 (-x 【知识点2图案规律型】 1.基本思想：图形规律数字规律 2.基本方法： (1)从具体的实际问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律。 (2)由此及彼，合理联想，大胆猜想 (3)善于类比，从不同事物中发现相似或相同点： (4)总结规律，得出结论，并验证结论正确与否： 培优拓展训练 ★巩固提升练 119 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【题型1数字类规律探索之排列问题】 111111 1.观察下列一组有规律的数：2,6,12,20,30,42，…，根据其规律可知：第m个数是 1491625 2.按一定规律排列的一组数据：3、57、一9`“，则按此规律排列的第个数是 【题型2数字类规律探索之末尾数字问题】 3.观察等式：2=2,2=4,23=8,24=16,2=32,2=64,2=128，….通过观察，用你发现 的规律确定2224的个位数字是一。 4.计算2-1=1,2-1=3,2-1=7,24-1=15,2-1=31，…归给计算结果中的个位数字规律，猜 测2015-1的个位数字是 【题型3数字类规律探索之新运算问题】 5已知1+}42， 3-33 片}3兮9零g曾君 444’ 4+66=6·设n为正整数，请用关于，的等式表 示这个规律 2 2 6。a是不为2的有理数，我们把2一。称为a的“件随数”，如3的“件随数”是2一3-2，-2的“件随 21 数”是2-(22，已知4=44，是a的“伴随数”，a,是a,的“伴随数”，a是a,的“件随数”，…， 以此类推，则202等于 【题型4数字类规律探索之等式问题】 7.观察下列算式： ①1×3-22=3-4=-1 ②2×4-32=8-9=-1 ③3×5-42=15-16=-1 … 把这个规律用含字母n(n为正整数)的式子表示出来 2/9 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8定义新运算：a*b=！ a b' a8b=1 =b(右边的运算为平常的加、减、乘、除)· 例如：373号=3871 -3x721: 若a⑧b=a*b,则称有理数a,b为“隔一数对”· 例如：23-)283=，1= 236 2×36,即2⑧3=2*3，所以2,3就是一对“隔一数对”. 请同学们解答下列问题： (1)-1,1是“隔一数对”吗？请说明理由； (2)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算： 1⑧2+2⑧3+3⑧4+4☒5+.+2023⑧2024 【题型5，图形类规律探索之数字问题】 b 9.观察下列正方形中四个数，分别具有的一定规律，根据规律可得m a 80 15 b m 10.下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的： 6 8 10 9 54 根据此规律确定x的值为 【题型6图形类规律探索之数量问题】 11.下图是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律完成此题： 第一个 第二个 第三个 图形标号 第一个 第二个 第三个 第四个 3/9 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 涂有阴影的小正方形的个 a 数 (1)a= b= (2)第n个图形中涂有阴影的小正方形的个数为 个；（用含n的代数式来表示） (3)按照这种规律下去，求第400个图形中涂有阴影的小正方形的个数. 12.用火柴棒按图中的方式摆图形： ① ② 按图示规律填空： 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 火柴棒的根数 9 13 a 6 (1)a= b= (2)按照这种方式搭下去，则搭第个图形需要火柴棒的根数为 -；(用含n的代数式来表示) (3)按照这种方式搭下去，用(2)中的代数式求搭第2024个图形需要的火柴棒的根数. ★7能力培优练 1.若2024-a224结果的个位数字是1，则a的值可能是（) A.13 B.24 C.35 D.49 2.如图所示是一组有规律的图案，第1个图案需要4个基础图形，第2个图案需要7个基础图形…，若 第n个图案需要2026个基础图形，则n的值是( 告将8 A.674 B.675 C.676 D.677 3.【找规律】如图，一张桌子可以坐4人，两张桌子拼起来可以坐6人，三张桌子拼起来可以坐8人.像 这样()张桌子拼起来可以坐26人. 000 o☐oo☐oo☐o 419 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.11 B.12 C.13 D.14 4.已知整数a,a,a:a4,…,满足下列条件：a=0,a4,=1-a,4=2-a,a=3-a,…,依 照这个规律，则a2025=() A.1009 B.1010 C.1011 D.1012 5.填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，A的值应是() 0 6 10 22 A.156 B.158 C.160 D.162 6.下列定义一种关于正整数n的“F运算”：①当n是奇数时，F=3n+5;②n为偶数时，结果是 111 F=nx2×2×2×…(其中F是奇数)，并且运算重复进行.例如：取=26，如图， 222 F② F① F② 26 13 44 第 第二次 第三次 若n=50,则第2012次“F运算”的结果是() A.25 B.20 C.80 D.5 357 7.观察下面一列数，按某种规律在横线上填上适当的数：-1’4，一9,16，…，第8个数是一：则 第n个数是 8.用125个三条边都是1厘米的三角形拼图形，按如下规律拼下去，最后会是一个 形.这个图形 的周长是 厘米 9.若x是不等于1的有理数，我们把一x称为x的差倒数.如：2的差倒数是-2-1，-1的差倒数为 11 1 1-（可2，现已知=了x是x的差倒数，x是x的差倒数，x是x的差倒数，··，依次类推， 则X2025=」 10.观察下列各算式：2=2,2=4,2=8,24=16,2=32,2°=64…通过观察，用你所发现的规 律确定2016的个位数字是」 11.有一列数{1，-2，-3,4}，将这列数中的每个数求其相反数得到凸2,3,4，再分别求与1的和的倒数， 5/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1111 得到2’3'45了，令这组数为{a,a,a,a,},称这为一次操作：第二次操作是将{a,4,4,a,}再进行上述 操作，得到{a,a6,a,a}第三次操作是将{a,a6,a,as}重复上述操作，得到{a,ao,a1,a2}::以此类 推，则2025，a1+a2+a+.+61= 12.如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●” 的个数为a,第2幅图形中“●”的个数为42，第3幅图形中“●”的个数为a,…,以此类推，则 aaa 第1幅图第2幅图第3幅图 第4幅图 13.如图，自行车每节链条的长度为2.5cm,交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm。 2.5cm 0.8cm 2节链条 n节链条 1节链条 (1)3节链条长_cm,10节链条长一cm; (2)n节链条长是多少？ 14.如图，摆1个正方形要用4根小棒，摆2个正方形要用7根小棒，摆3个正方形要用10根小棒，按此 规律摆放， 4根 7根 10根 (1)按照上述摆放方式，摆个正方形用 根小棒（用的代数式表示，并化简）. (2)按照上述摆放方式，能否用18根小棒摆出6个正方形？并说明理由. (3)设小棒长度为1，用不多于18根小棒摆出6个边长为1的小正方形，画出一种示意图. 15.观察图，解答下列问题. 6/9 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 o O 0 000000 000000 (1)图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，·， 第六层有11个圆圈.如果要你继续画下去，那么第9层有一个小圆圈？ (2)数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法. 比如：前两层的圆圈个数和为(1+3)或22，由此得，1+3=22. 同样，由前三层的圆圈个数和得：1+3+5=32， 由前四层的圆圈个数和得：1+3+5+7=42 由前五层的圆圈个数和得：1+3+5+7+9=52 根据上述请你猜测，从1开始的n个连续奇数之和是（用n的代数式表示）； (3)计算：1+3+5+7+..+199= 4)计算：201+203+205+..+299 ★7创新拓展练 1.如图是由边长相同的灰、白方块拼成的图形 第1个图形 第2个图形 第3个图形 (1)请观察图形，并填写下列表格： 第1 第2 第3 第n 图形标号 不 个 个 个 灰色方块的 10 15 个数 719 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 白色方块的 个数 (2)第200个图形中的灰色方块和第202个图形中的白色方块共有多少个？ (3③)若第(n+1)个图形中的灰色方块比第(n-l(>)个图形中的白色方块多45个，求n的值.（用含n的 代数式表示) 第1 第2 第3 第n 图形标号 个 个 个 不 灰色方块的 10 15 5n 个数 白色方块的 > 10 3n+1 个数 2.有一张菱形纸片，其一个内角为60°，】 取菱形纸片的四边和短对角线的中点，按“8字形顺次连接各点， 形成两个小三角形，这两个小三角形组成的图形简称“沙漏形”，如图(1)，将“沙漏形”挖去，对剩 下纸片中的菱形纸片重复上述操作，得到如图(2)所示的图形… 1 3 =7 图(1) 图(2) 图(3) 设图()中的“沙漏形”的个数为m(n为正整数).观察以上图形，解答下列问题： (1)填空：5=，f。=(用含n的式子表示)： (2)当n的值为多少时，f-f1的值开始大于2025. 3.观察下列三行数，根据规律解决下列问题： 第一行：1，-3,5，-7,9，-11,13，-15，… 第二行：0,4,4，-8,8，-12,12，-16，… 第三行：2，-6,10，-14,18，-22,26，-30，… (1)第一行第9个数为 一，第二行第9个数为 第三行第9个数为， (2)取每行中第10个数，求三个数之和： 8/9 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)若每行都取第n个数，是否存在这样的n,使得这三个数之和为99？若存在，求出n的值：若不存在， 请说明理由、 4.观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题.请你擦 亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题 1=1-1.1=111=11 (①)观察下列等式：1×2=12,2×323,3×434，根据发现的规律： ①写出第6个等式是 第n个等式是 1+1+1 ②计算：1×22x33×4 十…十 2023×20241 1,1,1,1,1,1 (②)思考运用以上方法计算：4+12+24+4060+84的值. 5.据统计，2023年，山西新增公路通车里程1076.2公里，年末公路通车里程14.7万公里，其中高速公路 6187.6公里.根据山西交通建设规划目标，到2027年，全省高速公路通车里程将突破7000公里，修路的 主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃.注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式 如下： H H CioHs CI6H10 C22H12 结构图 结构简式 图(1) 图(2) 图(3) 【观察思考】观察结构简式的分子式回答下列问题： 【规律发现】 (1)图(4)的分子中含 个C原子： (2)图(n)的分子中含 个C原子； 【规律运用】 (3)若图(m)和图(m+)的分子中共含有242个C原子，求m的值. 9/9 专项训练03 整式中数字类和图形类规律探究问题 【知识点1 数字规律型】 例如：上面的第（3）列数，相差 3，则先得到 3n，而第 1 项是 4，当 n=1 时， 3n=3，3+1=4，所有第n项表示为 3n+1. 拓展延申： 【知识点2 图案规律型】 1.基本思想：图形规律 数字规律 2.基本方法： （1）从具体的实际问题出发,观察各个数量的特点及相互之间的变化规律. （2）由此及彼,合理联想,大胆猜想 （3）善于类比,从不同事物中发现相似或相同点； （4）总结规律,得出结论,并验证结论正确与否; 【题型1 数字类规律探索之排列问题】 1．观察下列一组有规律的数：，，，，，，，根据其规律可知：第个数是 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据所给数得出规律即可，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：∵，，，，，，…， ∴第个数是， 故答案为：． 2．按一定规律排列的一组数据：，则按此规律排列的第个数是 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了探究数字的规律问题，确定分子和分母变化的规律是解题的关键．通过观察：从符号看，正负相隔，奇数项为正数，偶数项为负数，从绝对值看，它们的分子是连续的正整数的平方，分母是连续的奇数．据此求解即可． 【详解】解：∵、、、、、 ∴按此规律排列的第个数是， 故答案为：． 【题型2 数字类规律探索之末尾数字问题】 3．观察等式：，，，，，，，…．通过观察，用你发现的规律确定的个位数字是 ． 【答案】6 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，这一列数字每4个数为一个循环，其个位数字依次为2，4，8，6，再根据即可得到答案． 【详解】解：，，，，，，，…， 以此类推可得，这一列数字每4个数为一个循环，其个位数字依次为2，4，8，6， ∵， ∴的个位数字是6， 故答案为：6． 4．计算，，，，，…归给计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查规律，熟练掌握规律是解题的关键．根据规律进行解题即可． 【详解】解：由题意可知，个位数字以为周期按照的顺序进行循环， ， 故猜测的个位数字是． 故答案为：． 【题型3 数字类规律探索之新运算问题】 5．已知．设为正整数，请用关于的等式表示这个规律 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据题干已有式子结构，得的等式表示这个规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴关于的等式表示这个规律为， 故答案为：． 6．a是不为2的有理数，我们把称为a的“伴随数”，如3的“伴随数”是，的“伴随数”是，已知，是的“伴随数”，是的“伴随数”，是的“伴随数”，…，以此类推，则等于 ． 【答案】4 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类的规律探究，实数的运算等知识点，解题的关键在于根据题意推导出一般性规律． 根据所给“伴随数”的定义，依次求出，，发现规律即可解决问题，能通过计算发现从开始，这列数按重复出现是解题的关键． 【详解】解：由题意知， ， ， ， ， ， 由此可知，这列数按重复出现， ， ， 故答案为：4． 【题型4 数字类规律探索之等式问题】 7．观察下列算式： ① ② ③ …… 把这个规律用含字母（为正整数）的式子表示出来 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了数字类规律研所，根据已知算式发现规律是解题关键．观察所给算式可知，对于三个连续自然数，最大和最小的自然数的积与中间一个自然数平方的差等于，即可用含n的式子表示出来即可． 【详解】解：观察已知算式把这个规律用含字母（为正整数）的式子表示出来为， 故答案为：． 8．定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如∶，． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如∶，，即，所以2，3就是一对“隔一数对”． 请同学们解答下列问题： (1)，1是“隔一数对”吗？请说明理由； (2)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算： ． 【答案】(1)不是“隔一数对” (2) 【知识点】数字类规律探索、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算、数字的变化规律等知识点，理解“隔一数对”的定义并掌握有理数混合运算法则是解题关键． （1）根据“隔一数对”的新定义进行计算判断即可； （2）先根据新定义计算再根据有理数加减运算即可． 【详解】（1）解：由题意可得∶，， ∴， ∴不是“隔一数对”． （2）解：由题意可得∶ ． 【题型5 图形类规律探索之数字问题】 9．观察下列正方形中四个数，分别具有的一定规律，根据规律可得 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，代数式求值，观察可知，右下角的数等于其他三个数的和，且上面两个数是从1开始的自然数，左下角的数是从2开始的自然数，据此求出，则，再代值计算即可． 【详解】解：， ， ， 以此类推可知，右下角的数等于其他三个数的和， 观察可知上面两个数是从1开始的自然数，左下角的数是从2开始的自然数，即第幅图，右上角的数为，左下角的数为，左上角的数为， 当时，解得， 把，代入得： ， ， ， 故答案为：． 10．下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的： 根据此规律确定的值为 【答案】819 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字规律，理解表格中数轴的变换规律是解题的关键． 根据题意，上方第一格的数值依次是的整数，第二格的数值依次是的整数，下方第一格的数值依次是的整数，第二格的数值依次是，由此列式求解． 【详解】解：表格从左往右，从上往下， 上方第一格的数值依次是的整数，第二格的数值依次是的整数， 下方第一格的数值依次是的整数，第二格的数值依次是， ∴， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：819 ． 【题型6 图形类规律探索之数量问题】 11．下图是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律完成此题： 图形标号 第一个 第二个 第三个 第四个 涂有阴影的小正方形的个数 5 a 13 b (1)________，________； (2)第n个图形中涂有阴影的小正方形的个数为________个；（用含n的代数式来表示） (3)按照这种规律下去，求第400个图形中涂有阴影的小正方形的个数． 【答案】(1)9；17 (2) (3)1601 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题是图形的规律探究题，找到题目中的规律，并用代数式把规律表示出来是解决本题的关键． （1）观察图形规律，可知第1图涂有阴影的小正方形的个数为5个，第2图涂有阴影的小正方形的个数为个，第3个图涂有阴影的小正方形的个数为个，以此类推，可知第4图涂有阴影的小正方形的个数； （2）观察可知后面一个图形比前面一个图形多4个涂有阴影的小正方形，据此规律求解即可； （3）将代入计算求解即可． 【详解】（1）解：第2个图形涂有阴影的小正方形的个数为个，即， 第4个图形涂有阴影的小正方形的个数为7个，即 故答案为：9，17； （2）观察图形规律，可知： 第1个图形涂有阴影的小正方形的个数为个，， 第2个图形涂有阴影的小正方形的个数为个， 第3个图形涂有阴影的小正方形的个数为个，， 第4个图形涂有阴影的小正方形的个数为7个 以此类推， 第n个图形涂有阴影的小正方形的个数为个，， 故答案为：； （3）解：将代入中得： 即第400个图形中涂有阴影的小正方形的个数为根． 12．用火柴棒按图中的方式摆图形： 按图示规律填空： 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 火柴棒的根数 5 9 13 (1)________，________； (2)按照这种方式搭下去，则搭第个图形需要火柴棒的根数为________；（用含的代数式来表示） (3)按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求搭第2024个图形需要的火柴棒的根数． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】图形类规律探索、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】此题主要考查了图形的变化类，注意结合图形，发现蕴含的规律，找出解决问题的途径． （1）根据所给图形可得a，b的值； （2）根据（1）的结果可得出规律； （3）把n的值代入（2）的规律式中可求值． 【详解】（1）解：由图④可数出火柴棒的根数为17，故可得， 由图①②③④可得图⑤为：， 故； 故答案为：17；21． （2）解：由（1）可得第n个图形需要火柴棒的根数为， 故答案为：； （3）解：将代入中得：． 即第2024个图形需要的火柴棒根数为8097根． 1．若结果的个位数字是1，则的值可能是（   ） A．13 B．24 C．35 D．49 【答案】C 【分析】先找出个位数字的规律，再根据结果的个位数字是，确定结果的个位数字，最后据此找出可能的值．本题主要考查了尾数特征问题，熟练掌握通过找规律的方法确定幂次的个位数字是解题的关键． 【详解】解：个位数字是， 个位数字是（）， 个位数字是（）， 个位数字是（）， 可以发现当为奇数时，个位数字是；当为偶数时，个位数字是． 个位数字是． 结果的个位数字是， 结果的个位数字是． 个位数字是（的幂次个位数字以、、、循环，，余数为时个位是）， 个位数字是（的幂次个位数字以、循环，，余数为时个位是）， 个位数字是（的任何正整数次幂个位数字都是）， 个位数字是（的幂次个位数字以、循环，，余数为时个位是）． 的值可能是． 故选：C． 2．如图所示是一组有规律的图案，第1个图案需要4个基础图形，第2个图案需要7个基础图形……，若第n个图案需要2026个基础图形，则n的值是（　　） A．674 B．675 C．676 D．677 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现所需基础图形的个数依次增加3是解题的关键．根据所给图形，依次求出所需基础图形的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个图案中基础图形的个数为：； 第2个图案中基础图形的个数为：； 第3个图案中基础图形的个数为：； …， 所以第n个图案中基础图形的个数为个． 令， 解得， 即n的值为675． 故选：B． 3．【找规律】如图，一张桌子可以坐4人，两张桌子拼起来可以坐6人，三张桌子拼起来可以坐8人．像这样（　　）张桌子拼起来可以坐26人． A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】本题考查了数与形的结合，认真观察图形找出其中的规律是解题关键，主要培养学生的观察能力．观察图形可知，一张桌子可以坐4人，以后每增加一张桌子就增加2人，则张桌子拼起来可以坐：人，因此求出即可． 【详解】解：一张桌子可以坐4人，以后每增加一张桌子就增加2人，则张桌子拼起来可以坐：人， 所以当可坐26人时：， 解得：， 故选：B． 4．已知整数，…，满足下列条件：，，， ，…，依照这个规律，则（    ） A．1 009 B．1 010 C．1 011 D．1 012 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，由已知可得，故总结规律，，（n为正整数），即可求得． 【详解】解：由已知得， 故，，（n 为正整数）， 故． 故选：D． 5．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，A的值应是（    ） A．156 B．158 C．160 D．162 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探索，依据题意，正确发现规律是解题关键．由前三个正方形可知，规律为正方形中右上和左下的两个数的积减左上的数等于右下的数，且左上、左下、右上的三个数是相邻的偶数，即可求解． 【详解】解：由前三个正方形可知，规律为正方形中右上和左下的两个数的积减左上的数等于右下的数，且左上、左下、右上的三个数是相邻的偶数， ∴图中阴影部分的两个数分别为左下的数是12，右上的数是14， 则， 故选：B． 6．下列定义一种关于正整数的“运算”：①当是奇数时，；②为偶数时，结果是（其中是奇数），并且运算重复进行．例如：取，如图，                                                   若，则第次“运算”的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字的变化类，解题的关键是先分别计算出时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律再进行解答即可． 【详解】解：根据题意，得 当时， 第一次运算：， 第二次运算：， 第三次运算：， 第四次运算，， 第五次运算：， 第六次运算：， …… 规律：从第三次开始，结果就只是，两个数轮流出现，且当次数为偶数时，结果是，次数是奇数时，结果是， ∵次是偶数， ∴第次“运算”的结果是． 故选：B． 7．观察下面一列数，按某种规律在横线上填上适当的数：，，，，…，第8个数是 ；则第个数是 ． 【答案】 【分析】本题是对数字变化规律的考查，根据分母是平方数，分子是连续的奇数得出变化规律是解题的关键． 观察数列，分子是连续的奇数，分母是序数的平方，且奇数项是负数，偶数项是正数，根据此规律写出即可． 【详解】解：观察数据的规律可知：分子的规律是连续的奇数即，分母是、、、，且奇数项是负数，偶数项是正数即，则第个数是，第8个数是， 故答案为：，． 8．用125个三条边都是1厘米的三角形拼图形，按如下规律拼下去，最后会是一个 形．这个图形的周长是 厘米． 【答案】 梯 127 【分析】本题考查了数与形结合的规律问题，观察图形可知，当小三角形的个数为偶数时，拼成的是平行四边形，当小三角形的个数是奇数时，拼成的是梯形；观察图形得出一般规律即可解答． 【详解】解：（1）当小三角形的个数为偶数时，拼成的是平行四边形，当小三角形的个数是奇数时，拼成的是梯形， 125是奇数，所以拼成的图形是梯形； （2）第一幅图有2个三角形，周长是：； 第二幅图有3个三角形，周长是：； 第三幅图有4个三角形，周长是：； 第四幅图有5个三角形，周长是：； 据此即可得出125个三角形拼成的图形的周长是（厘米）； 答：最后会是一个梯形．这个图形的周长是127厘米． 故答案为：梯；127． 9．若x是不等于1的有理数，我们把称为x的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，．．．，依次类推，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了数字的变化规律．根据差倒数的定义找出该组数列的前4个数，由，从而得出数据变化规律，根据规律可得出的值． 【详解】解：根据差倒数的定义可得出：， ， ， ， ， 由此发现该组数每3个一循环． ， ． 故答案为：4． 10．观察下列各算式：，，，，，…通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化规律，能够通过所给条件，探索出数的规律是解题的关键．通过观察可知每4次运算的尾数循环一次，则的个位数字与的个位数字相同，即可求解． 【详解】解：由题意可知，，，，，，的个位数字，每4个是一组循环， ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同， ∴的个位数字是， 故答案为：． 11．有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，令这组数为，称这为一次操作；第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次操作是将重复上述操作，得到；…；以此类推，则 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及倒数，能根据题意得出大括号内的数字每三组循环一次是解题的关键． 根据题意，先求出和在第几组式子中，其次通过计算发现大括号内数的变化规律即可解决问题． 【详解】解：根据题意得，，，， 第二次操作得，，，， 第三次操作得，，，． 观察上述规律可知，每3次操作为一循环，一个循环内共12个数． 因为， 所以． 因为． 因为， 所以， 故答案为，． 12．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查图形规律，数字规律，根据图示找出规律，结合分数的计算方法是关键． 根据图示，可得，由此代入得到，根据数字规律计算即可． 【详解】解：第1幅图形中“●”的个数为， 第2幅图形中“●”的个数为， 第3幅图形中“●”的个数为， 第4幅图形中“●”的个数为， …， 以此类推，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 13．如图，自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为． (1)3节链条长_____，10节链条长_____； (2)节链条长是多少？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了图形的变化类，解题的关键是根据题意得出节链条的长度与每节长度之间的关系． （1）根据图形找出规律计算第3节、10节链条的长度即可； （2））从特殊到一般，找到规律，得到节链条拉直后长度为． 【详解】（1）解：根据图形可得出： 2节链条的长度为：， 3节链条的长度为：， 4节链条的长度为：， 5节链条的长度为：， 6节链条的长度为：， 7节链条的长度为：， 8节链条的长度为：， 9节链条的长度为：， 10节链条的长度为：， 故答案为：，； （2）解：节链条的长度为： 14．如图，摆1个正方形要用4根小棒，摆2个正方形要用7根小棒，摆3个正方形要用10根小棒，按此规律摆放． (1)按照上述摆放方式，摆n个正方形用______根小棒(用n的代数式表示，并化简）． (2)按照上述摆放方式，能否用18根小棒摆出6个正方形？并说明理由． (3)设小棒长度为1，用不多于18根小棒摆出6个边长为1的小正方形，画出一种示意图． 【答案】(1) (2)不能，理由见详解 (3)作图见详解 【分析】本题主要考查图形规律，理解图示中数量关系，找出规律是解题的关键． （1）根据图示找出规律即可求解； （2）根据（1）中的规律计算即可求解； （3）由（2）的计算可得，用不多于18根小棒摆出6个边长为1的小正方形，需要改变摆放方式，结合图形即可求解． 【详解】（1）解：第1个图有1个正方形需要根小棒， 第2个图有2个正方形需要根小棒，即， 第3个图有3个正方形需要根，即， ∴第个正方形需要（根）， 故答案为：； （2）解：根据（1）可得，摆出6个正方形时是第6个图形， ∴，即需要根小棒， ∴用18根小棒摆不出6个正方形； （3）解：根据题意，第3个图中有3个正方形，需要10根小棒， 由（2）可知，按照题目中的图形摆放得到6个正方形需要19根， ∴改变摆放方式，如图所示， ∴摆放时需要根小棒，即不多于18根小棒， ∴符合题意． 15．观察图，解答下列问题． (1)图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，…，第六层有11个圆圈．如果要你继续画下去，那么第9层有_______个小圆圈？ (2)数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法． 比如：前两层的圆圈个数和为或，由此得，． 同样，由前三层的圆圈个数和得：， 由前四层的圆圈个数和得：． 由前五层的圆圈个数和得：． 根据上述请你猜测，从1开始的n个连续奇数之和是______（用n的代数式表示）； (3)计算： _________； (4)计算：． 【答案】(1)17 (2) (3) (4) 【分析】本题考查图形类规律探究、数字类规律探究、有理数的混合运算，找到变化规律是解答的关键． （1）根据前几层的圆圈个数得到规律，进而可求解； （2）利用已知数据得出答案即可； （3）利用（2）中发现的规律得出答案即可； （4）利用（2）中发现的规律得出答案即可． 【详解】（1）解：第一层有1个小圆圈， 第二层有3个圆圈， 第三层有5个圆圈， …， 依此规律：每一层小圆圈个数是连续的奇数， 第n层有个小圆圈， ∴ ∴第9层有个小圆圈 故答案为：； （2）解：前一层的圆圈个数和得：， 前两层的圆圈个数和得：， 由前三层的圆圈个数和得：， 由前四层的圆圈个数和得：， 由前五层的圆圈个数和得：， ， 从1开始的n个连续奇数之和是， 故答案为：； （3）解：由上可得：， 故答案为：； （4）解： ． 1．如图是由边长相同的灰、白方块拼成的图形． (1)请观察图形，并填写下列表格； 图形标号 第 1 个 第2个 第3个 … 第n个 灰色方块的个数 5 10 15 … 白色方块的个数 4 … (2)第200个图形中的灰色方块和第202个图形中的白色方块共有多少个？ (3)若第个图形中的灰色方块比第个图形中的白色方块多45个，求n的值．（用含n的代数式表示） 【答案】(1)；7；10； (2)1607个 (3)19 【分析】本题考查了图形的变化规律，仔细观察图形，总结出一般变化规律是解题的关键． （1）根据图形，得出结论，灰色方块每次增加5个，白色方块每次增加3个，分别算出各个数据即可； （2）根据（1）中的规律，分别算出第200个图形中的灰色方块数和第202个图形中的白色方块数，再相加即可； （3）根据（1）中的规律，第个图形中的灰色方块数和第个图形中的白色方块数，再相减列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： 第2个图形中白色方块数为（个）， 第3个图形中白色方块数为（个）， 第n个图形中灰色方块数为：个，白色方块数为个， 补全表格为： 图形标号 第 1 个 第2个 第3个 … 第n个 灰色方块的个数 5 10 15 … 白色方块的个数 4 7 10 … 故答案为：，7，10，； （2）第200个图形中的灰色方块有（个）， 第202个图形中的白色方块有（个）． （个）． 答：第200个图形中的灰色方块和第202个图形中的白色方块共有1607个； （3）第个图形中的灰色方块有个， 第个图形中的白色方块有个， 根据题意得， 解得． 2．有一张菱形纸片，其一个内角为60°，取菱形纸片的四边和短对角线的中点，按“8”字形顺次连接各点，形成两个小三角形，这两个小三角形组成的图形简称“沙漏形”，如图（1），将“沙漏形”挖去，对剩下纸片中的菱形纸片重复上述操作，得到如图（2）所示的图形…… 设图（n）中的“沙漏形”的个数为（n为正整数）．观察以上图形，解答下列问题： (1)填空： ， （用含n的式子表示）： (2)当n的值为多少时，的值开始大于2025． 【答案】(1)31， (2) 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，同底数幂乘法的逆运算，正确找到规律是解题的关键． （1）先观察图形找到规律即可求出答案； （2）根据（1）可得，然后代入式子中进行求解即可． 【详解】（1）解：第一个图形有1个“沙漏型”， 第二个图形有 个“沙漏型”， 第三个图形有 个“沙漏型”， …． 由此可得到规律，第n个图形有个 图形，即 ∴， 故答案为：31；； （2）解：∵ ∴ ∴ 则当成立，. ∴ 3．观察下列三行数，根据规律解决下列问题： 第一行：1，，5，，9，，13，， 第二行：0，，4，，8，  ，12，， 第三行：2，，10，，18，，26，， (1)第一行第9个数为________，第二行第9个数为________，第三行第9个数为________； (2)取每行中第10个数，求三个数之和； (3)若每行都取第个数，是否存在这样的，使得这三个数之和为99？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)17，16，34 (2) (3)存在，13，见解析 【分析】（1）第一行的规律是，，，于是得到第n个数为，第二行的规律是，，，于是得到第n个数为；根据题意，得，，，于是得到第n个数为，解答即可． （2）根据题意，得第n个数是，，，，，于是得到第n个数为，解答即可． （3）根据前面的规律，列式计算即可． 本题考查了有理数的乘方，有理数的加减混合，熟练掌握有理数的乘方的混合运算是解题的关键． 【详解】（1）解：第一行的规律是，，，于是得到第n个数为， 第二行的规律是，，，于是得到第n个数为； 根据题意，得，，，于是得到第三行第n个数为， 当时，，，， 故答案为：17，16，34． （2）解：当时，，，， 故． （3）解：根据题意，得， 整理，得， 即， 当n为偶数时，， 解得，不符合题意； 当n为奇数时，， 解得，符合题意； 故存在，且n为13． 4．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题．请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题． (1)观察下列等式：，，，根据发现的规律： ①写出第6个等式是________________________，第n个等式是______________________________； ②计算：； (2)思考运用以上方法计算：的值． 【答案】(1)①；；② (2) 【分析】本题考查了规律型−数字的变化类，准确熟练的进行计算是解题的关键． （1）①观察发现，等式的左边都是一个分数，分子都是1，分母是两个连续正整数之积，等式的右边是两个分数的差，分子都是1，分母是两个连续正整数，根据规律写出第6个等式和第n个等式即可； ②利用发现的规律进行计算即可； （2）先提出，然后根据（1）中发现的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴第6个等式是：； 第n个等式是：； 故答案为：，； ②原式 ； （2）解：原式 ． 5．据统计，2023年，山西新增公路通车里程公里，年末公路通车里程万公里，其中高速公路公里．根据山西交通建设规划目标，到2027年，全省高速公路通车里程将突破7000公里．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃．注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式如下： 【观察思考】观察结构简式的分子式回答下列问题： 【规律发现】 （1）图（4）的分子中含________个C原子； （2）图的分子中含________个C原子； 【规律运用】 （3）若图和图的分子中共含有242个C原子，求m的值． 【答案】（1）28；（2）；（3）19． 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给结构简式，发现C原子的个数依次增加6是解题的关键； （1）根据所给结构简式，发现C原子个数的规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题； （3）根据（1）中发现的规律即可解决问题； 【详解】解：（1）由所给分子结构图及结构简式可知， 图（1）的分子中含C原子的个数为∶， 图（2）的分子中含C原子的个数为∶， 图（3）的分子中含C原子的个数为∶， 所以图的分子中含C原子的个数为个， 当时， (个)， 即图（4）的分子中含C原子的个数为28个， 故答案为：28． （2）由（1）知， 图的分子中含C原子的个数为个， 故答案为：． （3）根据规律可知， ， 解得：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $