专题03 代数式综合与应用（题型专练）数学新教材人教版七年级上册

专题03 代数式综合与应用 （题型突破·举一反三） 题型1 含绝对值的代数式求值 题型2  整体思想在求值中的应用 题型3 销售、行程、几何面积等实际问题 题型4 代数式与数字问题 题型5 算式规律与数字排列 题型6 新定义运算与代数式表示 ▌题型01 含绝对值的代数式求值 1. 绝对值的代数意义 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 2. 绝对值的几何意义 表示数轴上表示数a的点到原点的距离。 表示数轴上表示数a与数b的两点之间的距离。 3. 重要推论 ① 任意有理数的绝对值都是非负数：。 ② 互为相反数的两个数绝对值相等：。 ③ 若 ，则 或 。 4. “和为0”型问题 若若干个非负数的和为0，则每一个非负数都必须为0： 则 5. 易错提醒 ① 误认为绝对值等于正数的数只有一个（实际上有两个，互为相反数）。 ② 忽略0的绝对值为0，误认为绝对值一定是正数。 ③ 几何意义中混淆 与 的距离含义。 【典例1】（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）若，则________________ ． 【变式1-1】（26-27七年级上·甘肃临夏·阶段检测）请根据图示的对话解答下列问题． (1)_________；_________； (2)已知，求的值． 【变式1-2】（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）已知，． (1)若，求的值； (2)在（1）的条件下，若、互为相反数，、互为倒数，求的值． 【变式1-3】（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）已知，.若，． (1)求的值； (2)若，互为相反数，，互为倒数，求的值． 【变式1-4】（26-27七年级上·江苏无锡·阶段检测）已知m、n互为相反数（m、n均不为0），p、q互为倒数，且，求的值． ▌题型02 整体思想在求值中的应用 1. 整体思想的核心 把某个含字母的式子看作一个整体，直接代入求值，而不必求出每个字母的具体值。 2. 常见变形技巧 ① 提取公因式：如。 ② 拆项重组：如。 ③ 构造相反数：如 。 ④ 倍数关系：如。 3. 解题步骤 ① 观察所求代数式与已知式子的关系。 ② 通过变形将所求式子用已知式子表示。 ③ 整体代入计算。 4. 易错提醒 ① 整体代入时符号处理错误。 ② 变形过程中漏乘或漏项。 ③ 误将整体当作具体数值代入。 【典例1】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）教科书91页第15题是这样的：若，，求的值．小明是这样做的： 原式 ． 在这里，他把作为了一个整体，这体现了一个非常重要的数学思想：整体思想． 【方法运用】： (1)若代数式，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为8．当时，求代数式的值； (3)若，，求代数式的值． 【变式1-1】（25-26七年级上·广东东莞·期中）【阅读理解】我们知道：，类似的，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛． 【方法运用】 (1)把看成一个整体，则__________； (2)已知，求代数式的值； (3)当时，代数式的值是，则当时，求的值（结果用含的代数式表示）． 【拓展应用】 (4)将一块长方形纸片剪成如图所示的①、②、③、④4个正方形和⑤一个小长方形，设①号正方形的边长为，②号正方形的边长为，若图中⑤号小长方形的周长为20，试求③号正方形的周长． 【变式1-2】（25-26七年级下·河南周口·开学考试）用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看成一个数的整体．试按提示解答下面问题． (1)已知，，求当时的值． 提示：． (2)若代数式的值为8，求代数式的值． 提示：把变形为含有的形式． 【变式1-3】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）在解决“已知，求代数式的值”这个问题时，小明同学提出了一种解法： 原式． 因为，所以原式． 这种思想叫“整体思想”，它是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简与求值中应用极为广泛．根据以上信息，完成下面问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【变式1-4】（25-26七年级上·河北张家口·期末）“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用很广泛．例如，我们把看成一个整体，则． (1)化简：________； (2)若，则________； (3)若 求 的值． ▌题型03 销售、行程、几何面积等实际问题 1. 常见数量关系 ① 销售问题：总价 = 单价 × 数量；利润 = (售价 − 进价) × 销量。 ② 行程问题：路程 = 速度 × 时间；时间 = 路程 ÷ 速度。 ③ 工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间。 ④ 几何面积：长方形 ，三角形。 2. 混合问题 混合后单价 = 总价 ÷ 总重量。 3. 增长率问题 增长后的量 = 原量 × (1 + 增长率)； 下降后的量 = 原量 × (1 − 下降率)。 4. 易错提醒 ① 单位不统一时直接列式。 ② 混淆“增长到”与“增长了”。 ③ 几何图形中遗漏部分区域或重复计算。 【典例1】（25-26七年级下·浙江衢州·期末）设A种糖果的单价为每千克a元，B种糖果的单价为每千克6元，则2千克A种糖果和b千克B种糖果混合而成的什锦糖果的单价为每千克（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式1-1】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级下·山东德州·阶段检测）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长（）35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则种植面积（单位：平方米）为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26七年级下·山西运城·期末）某校为进一步落实中小学每天不少于两小时的综合体育活动，更好地开展篮球课，计划购买一批篮球，体育用品商店里每个篮球的标价为120元，商家推出了如下优惠方案：若购买篮球的数量不超过15个，不享受优惠方案；购买15个以上时，超过部分按标价的八折出售．该校购买个篮球的总费用为元，则与的关系式为______． 【变式1-4】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知等腰中，，，点是延长线上一点，过点作（点，在直线的同侧），使，求的面积（用含的式子表示）． ▌题型04 代数式与数字问题 1. 多位数的表示方法 ① 两位数：（为个位，为十位）。 ② 三位数：（为个位，为十位，为百位）。 ③ 四位数：。 2. 数字的整除特征 ① 能被9整除：各位数字之和能被9整除。 ② 能被3整除：各位数字之和能被3整除。 3. 连续整数（奇数、偶数）的表示 ① 连续整数：。 ② 连续奇数：。 ③ 连续偶数：。 4. 易错提醒 ① 数位与数值混淆（如十位数字为，应表示为）。 ② 交换数位后新数表示错误。 ③ 连续奇数的公差误写为1。 【典例1】（26-27七年级上·江苏·阶段检测）如果一个三位数是985，即百位数字为9，十位数字为8，个位数字为5，那么这个三位数可以表示为． 设是一个四位数， (1)四位数可以表示为 （用含a、b、c、d的代数式表示）； (2)若可以被9整除，请说明这个四位数可以被9整除． 【变式1-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）用代数式表示下列各数： (1)个位数字是a、十位数字是b（）的两位数； (2)个位数字是a、十位数字是b、百位数字是c（）的三位数． 【变式1-2】（25-26七年级上·福建泉州·期末）【阅读材料解答问题】 能被9整除的数的特征是：若一个数各个数位上的数字之和能被9整除，则这个数就能被9整除．例如：486的三个数位的数字分别是4，8，6，且，则486能被9整除． (1)验证：判断5367，6975这两个数能否被9整除？ (2)证明：请你通过代数推理，说明一个三位数能被9整除的数学道理． 【变式1-3】（25-26七年级上·江西南昌·期中）用代数式表示下列各数： (1)比与的差的平方多3的数； (2)已知在三个连续奇数中，最大的数为，则最小的数是多少？ (3)一个两位数，十位上的数字为（且为整数）．个位上的数字是十位上数字的2倍．求这个两位数（用a表示）． 【变式1-4】（25-26七年级上·全国·课后作业）一个两位数，个位上的数与十位上的数之和为，交换个位与十位上两个数字的位置得到一个新的两位数．设原两位数十位上的数为，请用表示出原两位数和新两位数． ▌题型05 算式规律与数字排列 1. 裂项相消法 对于形如的分数，可拆成： 相加时中间项相互抵消，只剩首尾两项。 2. 等比数列求和（错位相减法） 对于，两边乘后相减： 3. 规律探究的方法 ① 列出前几项，观察变化趋势。 ② 归纳出第项的表达式，并验证。 ③ 对于操作类问题，计算每次操作后总和的变化规律。 4. 易错提醒 ① 裂项时系数遗漏或写错。 ② 等比数列求和公式中符号处理错误。 ③ 归纳规律时，前几项不具代表性。 【典例1】（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)写出第5个等式； (2)用含n的式子表示第n个等式； (3)计算． 【变式1-1】（25-26七年级下·江苏镇江·阶段检测）观察下列各式： ……………………①； ……………………②； ……………………③； …… 探索以上式子的规律： (1)写出第5个等式：___________； (2)写出第个等式：___________； (3)计算… 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）阅读材料，解决问题． 我们定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如记作，读作“2的3次商”；，记作，读作“的4次商”．一般地，把，记作，读作“的次商”． (1)直接写出结果： ； ； (2)将一个非零有理数的次商写成幂的形式为： ； (3)算一算：． 【变式1-3】（25-26七年级上·全国·期末）规律探究：观察下面的有理数序列，回答问题． 序列：，，，，，… (1)写出该序列的第项（为正整数）； (2)计算该序列前项的和． 【变式1-4】（2024七年级上·重庆铜梁·竞赛）有依次排列的三个数3，9，8，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，，8， 这称为第一次操作；做第二次同样的操作也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，，，9，8；继续依次操作下去，问： (1)从数串 3，9，8 开始，操作一百次后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？ (2)能否使操作后所产生的新数串的所有数之和是 2004，如果可能，是第几次操作？如果不可能，请说明理由． (3)第 n次操作后产生的新数串的第2个数是多少？ ▌题型06 新定义运算与代数式表示 1. 新定义运算的理解 ① 仔细阅读定义，明确新运算的规则和运算顺序。 ② 将新定义中的字母用具体数值代入，严格按照定义计算。 ③ 注意新定义运算是否满足交换律、结合律等。 2. 常见新定义类型 ① 型。 ② 型。 ③ 与数轴结合的新定义（如距离、折叠等）。 3. 解题策略 ① 先化简新定义中的绝对值或括号。 ② 再代入具体数值计算。 ③ 判断运算律时，分别计算和，比较结果。 4. 易错提醒 ① 对新定义理解偏差，代入时遗漏或重复运算。 ② 计算绝对值时符号出错。 ③ 判断交换律时，只验证一组数值就下结论（应说明理由或举反例）。 【典例1】（25-26七年级上·福建漳州·期中）小明同学在学习完第一章有理数后，对运算产生了浓厚的兴趣，在有理数的范围内定义了一种新运算“”，并写出了一些按照新定义的运算规则进行计算的算式： ； ； ； ； …… (1)请你写出小明同学定义的的运算规则；（用含，的式子表示） (2)计算：； (3)有理数的加法和乘法均满足交换律，请你判断满足交换律吗？请举例验证．（写出一个例子即可） 【变式1-1】（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）定义一种新运算：观察下列各式，并解决问题 ； ； ． 请你想一想： (1)__________；__________； (2)若，那么__________；（填入“”或“”） (3)计算：． 【变式1-2】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义新运算：． (1)计算的值； (2)已知有理数在数轴上满足，化简． 【变式1-3】（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）用“”定义一种新运算：对于任意正有理数a和b，规定： 当时，； 当时，． (1)若，，当时，求x的值； (2)若，，①当有最小值时，求x的取值范围；②当时，求x的值． 【变式1-4】（2026年河北省秦皇岛市山海关区自主招生数学试题）有一个填数游戏，将，，，，，这个数填入图的各个圆圈内使得每条边上的三个数的和都相等，图是小颖的一次尝试． (1)通过计算判断小颖的尝试是否正确； (2)若填入的上述个数符合游戏条件，已知这个数之和为，设每条边上的三个数之和为，三个顶点处的三个数之和为，直接写出，之间的关系式； (3)求出所有填法中每条边上三个数之和的最大值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 代数式综合与应用 （题型突破·举一反三） 题型1 含绝对值的代数式求值 题型2  整体思想在求值中的应用 题型3 销售、行程、几何面积等实际问题 题型4 代数式与数字问题 题型5 算式规律与数字排列 题型6 新定义运算与代数式表示 ▌题型01 含绝对值的代数式求值 1. 绝对值的代数意义 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 2. 绝对值的几何意义 表示数轴上表示数a的点到原点的距离。 表示数轴上表示数a与数b的两点之间的距离。 3. 重要推论 ① 任意有理数的绝对值都是非负数：。 ② 互为相反数的两个数绝对值相等：。 ③ 若 ，则 或 。 4. “和为0”型问题 若若干个非负数的和为0，则每一个非负数都必须为0： 则 5. 易错提醒 ① 误认为绝对值等于正数的数只有一个（实际上有两个，互为相反数）。 ② 忽略0的绝对值为0，误认为绝对值一定是正数。 ③ 几何意义中混淆 与 的距离含义。 【典例1】（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）若，则________________ ． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性，两个非负数的和为，则每个绝对值都为，先求出和的值，再计算． 【详解】解：∵任意实数的绝对值是非负数，可得 ，， ∵， ∴，， 解得，． 代入得． 【变式1-1】（26-27七年级上·甘肃临夏·阶段检测）请根据图示的对话解答下列问题． (1) ； ； (2)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据相反数的意义即可求得a的值，根据绝对值为最小的正整数可求得b； （2）根据绝对值的非负性质求得m与n的值，即可求解． 【详解】（1）解：由于3的相反数是，而a与3互为相反数， 故； 由于，而1是最小的正整数， 故； （2）解：因为，， 所以， 所以， 所以， 当时，，； 当时，，． 综上，的值为或． 【变式1-2】（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）已知，． (1)若，求的值； (2)在（1）的条件下，若、互为相反数，、互为倒数，求的值． 【答案】(1)的值为或 (2)所求式子的值为 【分析】（1）根据，且，得出，或，，然后代入求值即可； （2）根据、互为相反数，、互为倒数，得出，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； （2）解：∵、互为相反数，、互为倒数， ∴， ∴ ． 【变式1-3】（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）已知，.若，． (1)求的值； (2)若，互为相反数，，互为倒数，求的值． 【答案】(1)2 (2)1 【分析】（1）根据绝对值的定义和字母的正负即可得到，再计算的值即可； （2），互为相反数，，互为倒数，得到，再利用整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，，，． ∴， ∴； （2）解：∵，互为相反数，，互为倒数， ∴， ． 【变式1-4】（26-27七年级上·江苏无锡·阶段检测）已知m、n互为相反数（m、n均不为0），p、q互为倒数，且，求的值． 【答案】2025或2027 【分析】根据相反数的定义可得，根据倒数的定义可得，由绝对值的定义可得或，再分别代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵m、n互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∵p、q互为倒数， ∴， ∵， ∴或， 当时， ； 当时， ； 综上所述，的值为2025或2027． ▌题型02 整体思想在求值中的应用 1. 整体思想的核心 把某个含字母的式子看作一个整体，直接代入求值，而不必求出每个字母的具体值。 2. 常见变形技巧 ① 提取公因式：如。 ② 拆项重组：如。 ③ 构造相反数：如 。 ④ 倍数关系：如。 3. 解题步骤 ① 观察所求代数式与已知式子的关系。 ② 通过变形将所求式子用已知式子表示。 ③ 整体代入计算。 4. 易错提醒 ① 整体代入时符号处理错误。 ② 变形过程中漏乘或漏项。 ③ 误将整体当作具体数值代入。 【典例1】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）教科书91页第15题是这样的：若，，求的值．小明是这样做的： 原式 ． 在这里，他把作为了一个整体，这体现了一个非常重要的数学思想：整体思想． 【方法运用】： (1)若代数式，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为8．当时，求代数式的值； (3)若，，求代数式的值． 【答案】(1)14 (2)2 (3)14 【分析】（1）观察所求代数式，发现前两项可以提取公因数3，变形为，题目条件已知，不需要求出，把看成一个整体，代入即可求出结果； （2）把代入代数式，可以求出，当时，代入，得，变形为，把看成一个整体，代入即可求出结果； （3）观察代数式，对式子拆项重组为，刚好是题目给的两个已知整体相减，直接代入求值计算． 【详解】（1）解：因为， 所以 ； （2）解：当时， ，即， 当时，； （3）解：因为，， 所以 ． 【变式1-1】（25-26七年级上·广东东莞·期中）【阅读理解】我们知道：，类似的，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛． 【方法运用】 (1)把看成一个整体，则__________； (2)已知，求代数式的值； (3)当时，代数式的值是，则当时，求的值（结果用含的代数式表示）． 【拓展应用】 (4)将一块长方形纸片剪成如图所示的①、②、③、④4个正方形和⑤一个小长方形，设①号正方形的边长为，②号正方形的边长为，若图中⑤号小长方形的周长为20，试求③号正方形的周长． 【答案】(1) (2)36 (3) (4)20 【分析】（1）按照“整体思想”进行计算即可； （2）把用表示，然后整体代入即可； （3）由题意得，再把代入，最后整体代入 即可求解； （4）由题意可得③号正方形的边长，进而表示出④号正方形的边长，则可表示⑤号长方形的长与宽，根据⑤号长方形的周长为20，可求得的值，从而求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：当时，代数式的值是， 即， ∴； 当时，； （4）解：∵①号正方形的边长为，②号正方形的边长为， ∴③号正方形的边长为， ∴④号正方形的边长为， ∴⑤号长方形的长为，宽为， 由题意得， ∴， 则③号正方形的周长为． 【变式1-2】（25-26七年级下·河南周口·开学考试）用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看成一个数的整体．试按提示解答下面问题． (1)已知，，求当时的值． 提示：． (2)若代数式的值为8，求代数式的值． 提示：把变形为含有的形式． 【答案】(1)0 (2)11 【分析】（1）按提示把和整体代入可得的表达式，然后再将代入计算即可； （2）由可得，然后按提示对代数式进行变形，最后整体代入计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴当时，． （2）解：∵ ∴ ∴． 【变式1-3】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）在解决“已知，求代数式的值”这个问题时，小明同学提出了一种解法： 原式． 因为，所以原式． 这种思想叫“整体思想”，它是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简与求值中应用极为广泛．根据以上信息，完成下面问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代数式的化简求值，核心是运用整体思想将已知条件作为整体代入计算，熟练掌握整体代换的技巧是解答本题的关键． （1）利用去括号、合并同类项法则，将代数式变形为含的整体形式，结合代入求值； （2）通过对已知等式进行适当变形，构造出待求代数式的组成部分，再利用等式的性质将变形后的式子相加，整体代入完成求值． 【详解】（1）解： 把代入得：原式． （2）解：把两边同乘以可得： 把和，两边相加， 得：． 【变式1-4】（25-26七年级上·河北张家口·期末）“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用很广泛．例如，我们把看成一个整体，则． (1)化简：________； (2)若，则________； (3)若 求 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了合并同类项，代数式求值，利用整体思想求解是解题的关键． （1）把看成一个整体，利用合并同类项的法则求解即可； （2）把所求式子变形为，再把看成一个整体，利用合并同类项的法则化简，最后代入求值即可； （3）把所求式子变形为，再代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵ ∴ ． ▌题型03 销售、行程、几何面积等实际问题 1. 常见数量关系 ① 销售问题：总价 = 单价 × 数量；利润 = (售价 − 进价) × 销量。 ② 行程问题：路程 = 速度 × 时间；时间 = 路程 ÷ 速度。 ③ 工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间。 ④ 几何面积：长方形 ，三角形。 2. 混合问题 混合后单价 = 总价 ÷ 总重量。 3. 增长率问题 增长后的量 = 原量 × (1 + 增长率)； 下降后的量 = 原量 × (1 − 下降率)。 4. 易错提醒 ① 单位不统一时直接列式。 ② 混淆“增长到”与“增长了”。 ③ 几何图形中遗漏部分区域或重复计算。 【典例1】（25-26七年级下·浙江衢州·期末）设A种糖果的单价为每千克a元，B种糖果的单价为每千克6元，则2千克A种糖果和b千克B种糖果混合而成的什锦糖果的单价为每千克（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题考查列代数式的实际应用，先求出混合什锦糖果的总价和总重量，再根据单价=总价÷总重量列出代数式即可得到答案． 【详解】解：∵ 2千克A种糖果的总价为元，千克B种糖果的总价为元， ∴ 混合后什锦糖果的总价格为元，总重量为千克， ∴ 什锦糖果的单价为每千克元． 【变式1-1】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了分式的实际应用，根据题意求出全程，及提速后行驶的速度，相除即可得到提速后行驶的时间，原来行驶时间减去提速后行驶的时间，即得比原来减少的时间． 【详解】A地到B地的路程：， 提速后的速度：， 提速后的时间：， ∴提速后从A地到B地比原来减少的时间：， 故选：C． 【变式1-2】（24-25七年级下·山东德州·阶段检测）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长（）35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则种植面积（单位：平方米）为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设小道的宽为x米， 根据题意得，种植面积为． 【变式1-3】（25-26七年级下·山西运城·期末）某校为进一步落实中小学每天不少于两小时的综合体育活动，更好地开展篮球课，计划购买一批篮球，体育用品商店里每个篮球的标价为120元，商家推出了如下优惠方案：若购买篮球的数量不超过15个，不享受优惠方案；购买15个以上时，超过部分按标价的八折出售．该校购买个篮球的总费用为元，则与的关系式为______． 【答案】，其中为正整数 【分析】总费用分为两部分，不超过15个的部分按原价计算，超过15个的部分按标价八折计算，分别计算两部分费用后求和整理即可得到关系式； 【详解】解：∵购买个篮球，满足， ∴总费用由两部分组成，分别是前15个的费用和超过15个部分的费用， 计算前15个的费用：元， 超过15个的数量为个，超过部分每个的价格为元， 因此超过部分的总费用为元， ∴总费用， 展开整理得： ， 即与的关系式为． 【变式1-4】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知等腰中，，，点是延长线上一点，过点作（点，在直线的同侧），使，求的面积（用含的式子表示）． 【答案】 【分析】根据计算即可解答． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵，，， ∴， ， ∴ ． ▌题型04 代数式与数字问题 1. 多位数的表示方法 ① 两位数：（为个位，为十位）。 ② 三位数：（为个位，为十位，为百位）。 ③ 四位数：。 2. 数字的整除特征 ① 能被9整除：各位数字之和能被9整除。 ② 能被3整除：各位数字之和能被3整除。 3. 连续整数（奇数、偶数）的表示 ① 连续整数：。 ② 连续奇数：。 ③ 连续偶数：。 4. 易错提醒 ① 数位与数值混淆（如十位数字为，应表示为）。 ② 交换数位后新数表示错误。 ③ 连续奇数的公差误写为1。 【典例1】（26-27七年级上·江苏·阶段检测）如果一个三位数是985，即百位数字为9，十位数字为8，个位数字为5，那么这个三位数可以表示为． 设是一个四位数， (1)四位数可以表示为 （用含a、b、c、d的代数式表示）； (2)若可以被9整除，请说明这个四位数可以被9整除． 【答案】(1) (2) ， 因为可以被9整除， 所以可以被9整除， 所以这个四位数可以被9整除． 【分析】（1）根据题意表示出四位数即可； （2）根据题意列出代数式，即可作出判断． 【详解】（1）解： ； （2）略 【变式1-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）用代数式表示下列各数： (1)个位数字是a、十位数字是b（）的两位数； (2)个位数字是a、十位数字是b、百位数字是c（）的三位数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由题意得：． 【变式1-2】（25-26七年级上·福建泉州·期末）【阅读材料解答问题】 能被9整除的数的特征是：若一个数各个数位上的数字之和能被9整除，则这个数就能被9整除．例如：486的三个数位的数字分别是4，8，6，且，则486能被9整除． (1)验证：判断5367，6975这两个数能否被9整除？ (2)证明：请你通过代数推理，说明一个三位数能被9整除的数学道理． 【答案】(1)5367不能被9整除；6975能被9整除 (2) 证明：对于三位数，若能被9整除，设， 则 ． 故能被9整除． 【分析】（1）根据题干举例进行解答即可； （2）根据题意表示出，设，求解即可． 【详解】（1）解：对于5367：由于， ∵21不是9的倍数， ∴5367不能被9整除. 对于6975：由于， ∵， ∴6975能被9整除 （2）略 【变式1-3】（25-26七年级上·江西南昌·期中）用代数式表示下列各数： (1)比与的差的平方多3的数； (2)已知在三个连续奇数中，最大的数为，则最小的数是多少？ (3)一个两位数，十位上的数字为（且为整数）．个位上的数字是十位上数字的2倍．求这个两位数（用a表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）根据题意列代数式即可； （3）根据题意列代数式即可． 【详解】（1）解：根据题意得：比与的差的平方多3的数为； （2）∵在三个连续奇数中，最大的数为， ∴居中的奇数为：；最小的数为：； （3）一个两位数，十位上的数字为．个位上的数字是十位上数字的2倍， ∴这个两位数为：． 【变式1-4】（25-26七年级上·全国·课后作业）一个两位数，个位上的数与十位上的数之和为，交换个位与十位上两个数字的位置得到一个新的两位数．设原两位数十位上的数为，请用表示出原两位数和新两位数． 【答案】原两位数：；新两位数： 【分析】本题考查了列代数式，设原两位数十位上的数为，则原两位数个位上的数为，再根据题意列出代数式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设原两位数十位上的数为，则原两位数个位上的数为， ∴原两位数为， 新两位数为． ▌题型05 算式规律与数字排列 1. 裂项相消法 对于形如的分数，可拆成： 相加时中间项相互抵消，只剩首尾两项。 2. 等比数列求和（错位相减法） 对于，两边乘后相减： 3. 规律探究的方法 ① 列出前几项，观察变化趋势。 ② 归纳出第项的表达式，并验证。 ③ 对于操作类问题，计算每次操作后总和的变化规律。 4. 易错提醒 ① 裂项时系数遗漏或写错。 ② 等比数列求和公式中符号处理错误。 ③ 归纳规律时，前几项不具代表性。 【典例1】（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)写出第5个等式； (2)用含n的式子表示第n个等式； (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察已知等式，找到等式和序号的对应关系即可求解； （2）根据已知等式，找出规律即可； （3）先代入，再利用裂项相消的方法求解即可． 【详解】（1）解：观察等式可知，第5个等式：． （2）解：观察等式可知，第个等式：． （3）解：由题意得： ． 【变式1-1】（25-26七年级下·江苏镇江·阶段检测）观察下列各式： ……………………①； ……………………②； ……………………③； …… 探索以上式子的规律： (1)写出第5个等式：___________； (2)写出第个等式：___________； (3)计算… 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干给出的式子得出规律即可求解； （2）根据题干给出的式子得出规律即可求解； （3）由（2）的结论得，再进行求解即可． 【详解】（1）解：观察已知等式：第个等式中，被减数指数为，减数指数为，右侧为， 因此第5个等式为； （2）解：根据（1）得出的规律，可得第个（为正整数）的等式为； （3）解：由（2）的结论，得， 设所求和为， ． 【变式1-2】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）阅读材料，解决问题． 我们定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如记作，读作“2的3次商”；，记作，读作“的4次商”．一般地，把，记作，读作“的次商”． (1)直接写出结果： ； ； (2)将一个非零有理数的次商写成幂的形式为： ； (3)算一算：． 【答案】(1)，343 (2) (3) 【分析】（1）根据除方的定义直接进行除法运算； （2）仿照示例将除方运算转化为乘方运算； （3）根据（2）中结论将除方运算转化为乘方运算后，再进行有理数的混合运算． 【详解】（1）解：； ． （2）解：， 即． （3）解： ． 【变式1-3】（25-26七年级上·全国·期末）规律探究：观察下面的有理数序列，回答问题． 序列：，，，，，… (1)写出该序列的第项（为正整数）； (2)计算该序列前项的和． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查有理数运算规律探究，有理数的加减法计算法则，根据已知序列发现规律并运用规律解决问题是解题的关键． （1）根据已知序列进行探索求解即可； （2）设前7项的和为，再令其乘以，并与原式相加即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，符号的规律：第1项为负，第2项为正，第3项为负，…，交替出现， ∴第n项的符号为； 数值的规律：第1项，第2项，第3项，…， ∴第项的数值为， ∴第项为； （2）解：设前7项的和为， ∴， ∴， ∴： ， ∴， ∴． 【变式1-4】（2024七年级上·重庆铜梁·竞赛）有依次排列的三个数3，9，8，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，，8， 这称为第一次操作；做第二次同样的操作也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，，，9，8；继续依次操作下去，问： (1)从数串 3，9，8 开始，操作一百次后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？ (2)能否使操作后所产生的新数串的所有数之和是 2004，如果可能，是第几次操作？如果不可能，请说明理由． (3)第 n次操作后产生的新数串的第2个数是多少？ 【答案】(1)操作100次后其和为520 (2)不可能，见解析 (3) 【分析】（1），根据“对于一个排列，操作一次后，其和比原来的和增加尾项与首项的差”可得答案； （2）,根据（1）中的规律列出方程，求出解判断即可； （3），根据规律求出，进而得出答案． 【详解】（1）解：初始和为，每次操作增加的数之和为， 则每次操作的总和为5， 所以操作100次后其和为； （2）解：不可能， 设第x次操作，根据题意，得 ， 解得无整数解； （3）解：设操作n次后，第二项为， 第一次操作后，新数串为3，，即，所以； 第二次操作后，新数串为，即，所以； 则 所以． ▌题型06 新定义运算与代数式表示 1. 新定义运算的理解 ① 仔细阅读定义，明确新运算的规则和运算顺序。 ② 将新定义中的字母用具体数值代入，严格按照定义计算。 ③ 注意新定义运算是否满足交换律、结合律等。 2. 常见新定义类型 ① 型。 ② 型。 ③ 与数轴结合的新定义（如距离、折叠等）。 3. 解题策略 ① 先化简新定义中的绝对值或括号。 ② 再代入具体数值计算。 ③ 判断运算律时，分别计算和，比较结果。 4. 易错提醒 ① 对新定义理解偏差，代入时遗漏或重复运算。 ② 计算绝对值时符号出错。 ③ 判断交换律时，只验证一组数值就下结论（应说明理由或举反例）。 【典例1】（25-26七年级上·福建漳州·期中）小明同学在学习完第一章有理数后，对运算产生了浓厚的兴趣，在有理数的范围内定义了一种新运算“”，并写出了一些按照新定义的运算规则进行计算的算式： ； ； ； ； …… (1)请你写出小明同学定义的的运算规则；（用含，的式子表示） (2)计算：； (3)有理数的加法和乘法均满足交换律，请你判断满足交换律吗？请举例验证．（写出一个例子即可） 【答案】(1) (2) (3) 满足交换律 ， ， ， 故满足交换律． 【分析】（1）观察题目给出的算式，归纳出的通用运算公式； （2）先计算括号内的，再将结果代入外层算式计算最终结果； （3）根据交换律的定义，分别计算与，验证二者是否相等． 【详解】（1）解：根据题意可知，． （2）解：， ． （3）略 【变式1-1】（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）定义一种新运算：观察下列各式，并解决问题 ； ； ． 请你想一想： (1)__________；__________； (2)若，那么__________；（填入“”或“”） (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）按照新运算计算方法进行计算； （2）计算出和，进行比较即可； （3）先计算得出结果，再计算． 【详解】（1）解：；； （2），， ， ， ， ， ； （3）． 【变式1-2】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义新运算：． (1)计算的值； (2)已知有理数在数轴上满足，化简． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）先判断的范围，再根据新定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：∵， ∴， ∴ ． 【变式1-3】（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）用“”定义一种新运算：对于任意正有理数a和b，规定： 当时，； 当时，． (1)若，，当时，求x的值； (2)若，，①当有最小值时，求x的取值范围；②当时，求x的值． 【答案】(1) (2)①；②1或13 【分析】（1）利用裂项法求得，进而列方程求解即可； （2）①利用绝对值的几何意义求解即可；②根据绝对值的性质，分情况讨论并列方程解答即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ， ∵， ∴，解得； （2）解：∵，，， ∴， ①∵表示数轴上数x对应的点到4和10对应的两个点的距离之和， ∴当时，取得最小值， ∴x的取值范围为； ②∵， ∴， 当时，，解得； 当时，，x不存在； 当时，，解得， 综上，x的值为1或13． 【变式1-4】（2026年河北省秦皇岛市山海关区自主招生数学试题）有一个填数游戏，将，，，，，这个数填入图的各个圆圈内使得每条边上的三个数的和都相等，图是小颖的一次尝试． (1)通过计算判断小颖的尝试是否正确； (2)若填入的上述个数符合游戏条件，已知这个数之和为，设每条边上的三个数之和为，三个顶点处的三个数之和为，直接写出，之间的关系式； (3)求出所有填法中每条边上三个数之和的最大值． 【答案】(1)小颖的尝试不正确，见解析 (2) (3) 【分析】（1）分别计算三条边上的数字之和，进行判断即可； （2）根据三条边上数字之和与顶点处数字之和的关系列式即可； （3）根据，之间的关系可得最大时，最大，进而确定已知个数中三个数的和最大值即可． 【详解】（1）解：，，，每条边上的三个数的和不相等， 小颖的尝试不正确； （2）解：由题意可知，三角形有条边，每条边上的三个数之和为， 三条边的总和为， 在计算三条边的总和时，三个顶点处的数各被计算了两次，其余各数各被计算了一次， 三条边的总和等于个数的总和加上三个顶点处的数之和， 这个数之和为，设每条边上的三个数之和为，三个顶点处的三个数之和为， ； （3）解：每条边上三个数之和为，最大，即最大， 即最大时，最大， 为三个顶点处三个数之和，，，，，，中三个数的和最大为， 最大为，此时， 每条边上三个数之和的最大值为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 代数式综合与应用 （题型突破·举一反三） 题型1 含绝对值的代数式求值 题型2  整体思想在求值中的应用 题型3 销售、行程、几何面积等实际问题 题型4 代数式与数字问题 题型5 算式规律与数字排列 题型6 新定义运算与代数式表示 ▌题型01 含绝对值的代数式求值 1. 绝对值的代数意义 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 2. 绝对值的几何意义 表示数轴上表示数a的点到原点的距离。 表示数轴上表示数a与数b的两点之间的距离。 3. 重要推论 ① 任意有理数的绝对值都是非负数：。 ② 互为相反数的两个数绝对值相等：。 ③ 若 ，则 或 。 4. “和为0”型问题 若若干个非负数的和为0，则每一个非负数都必须为0： 则 5. 易错提醒 ① 误认为绝对值等于正数的数只有一个（实际上有两个，互为相反数）。 ② 忽略0的绝对值为0，误认为绝对值一定是正数。 ③ 几何意义中混淆 与 的距离含义。 【典例1】 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性，两个非负数的和为，则每个绝对值都为，先求出和的值，再计算． 【详解】解：∵任意实数的绝对值是非负数，可得 ，， ∵， ∴，， 解得，． 代入得． 【变式1-1】 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据相反数的意义即可求得a的值，根据绝对值为最小的正整数可求得b； （2）根据绝对值的非负性质求得m与n的值，即可求解． 【详解】（1）解：由于3的相反数是，而a与3互为相反数， 故； 由于，而1是最小的正整数， 故； （2）解：因为，， 所以， 所以， 所以， 当时，，； 当时，，． 综上，的值为或． 【变式1-2】 【答案】(1)的值为或 (2)所求式子的值为 【分析】（1）根据，且，得出，或，，然后代入求值即可； （2）根据、互为相反数，、互为倒数，得出，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； （2）解：∵、互为相反数，、互为倒数， ∴， ∴ ． 【变式1-3】 【答案】(1)2 (2)1 【分析】（1）根据绝对值的定义和字母的正负即可得到，再计算的值即可； （2），互为相反数，，互为倒数，得到，再利用整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，，，． ∴， ∴； （2）解：∵，互为相反数，，互为倒数， ∴， ． 【变式1-4】 【答案】2025或2027 【分析】根据相反数的定义可得，根据倒数的定义可得，由绝对值的定义可得或，再分别代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵m、n互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∵p、q互为倒数， ∴， ∵， ∴或， 当时， ； 当时， ； 综上所述，的值为2025或2027． ▌题型02 整体思想在求值中的应用 1. 整体思想的核心 把某个含字母的式子看作一个整体，直接代入求值，而不必求出每个字母的具体值。 2. 常见变形技巧 ① 提取公因式：如。 ② 拆项重组：如。 ③ 构造相反数：如 。 ④ 倍数关系：如。 3. 解题步骤 ① 观察所求代数式与已知式子的关系。 ② 通过变形将所求式子用已知式子表示。 ③ 整体代入计算。 4. 易错提醒 ① 整体代入时符号处理错误。 ② 变形过程中漏乘或漏项。 ③ 误将整体当作具体数值代入。 【典例1】 【答案】(1)14 (2)2 (3)14 【分析】（1）观察所求代数式，发现前两项可以提取公因数3，变形为，题目条件已知，不需要求出，把看成一个整体，代入即可求出结果； （2）把代入代数式，可以求出，当时，代入，得，变形为，把看成一个整体，代入即可求出结果； （3）观察代数式，对式子拆项重组为，刚好是题目给的两个已知整体相减，直接代入求值计算． 【详解】（1）解：因为， 所以 ； （2）解：当时， ，即， 当时，； （3）解：因为，， 所以 ． 【变式1-1】 【答案】(1) (2)36 (3) (4)20 【分析】（1）按照“整体思想”进行计算即可； （2）把用表示，然后整体代入即可； （3）由题意得，再把代入，最后整体代入 即可求解； （4）由题意可得③号正方形的边长，进而表示出④号正方形的边长，则可表示⑤号长方形的长与宽，根据⑤号长方形的周长为20，可求得的值，从而求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：当时，代数式的值是， 即， ∴； 当时，； （4）解：∵①号正方形的边长为，②号正方形的边长为， ∴③号正方形的边长为， ∴④号正方形的边长为， ∴⑤号长方形的长为，宽为， 由题意得， ∴， 则③号正方形的周长为． 【变式1-2】 【答案】(1)0 (2)11 【分析】（1）按提示把和整体代入可得的表达式，然后再将代入计算即可； （2）由可得，然后按提示对代数式进行变形，最后整体代入计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴当时，． （2）解：∵ ∴ ∴． 【变式1-3】 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代数式的化简求值，核心是运用整体思想将已知条件作为整体代入计算，熟练掌握整体代换的技巧是解答本题的关键． （1）利用去括号、合并同类项法则，将代数式变形为含的整体形式，结合代入求值； （2）通过对已知等式进行适当变形，构造出待求代数式的组成部分，再利用等式的性质将变形后的式子相加，整体代入完成求值． 【详解】（1）解： 把代入得：原式． （2）解：把两边同乘以可得： 把和，两边相加， 得：． 【变式1-4】 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了合并同类项，代数式求值，利用整体思想求解是解题的关键． （1）把看成一个整体，利用合并同类项的法则求解即可； （2）把所求式子变形为，再把看成一个整体，利用合并同类项的法则化简，最后代入求值即可； （3）把所求式子变形为，再代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵ ∴ ． ▌题型03 销售、行程、几何面积等实际问题 1. 常见数量关系 ① 销售问题：总价 = 单价 × 数量；利润 = (售价 − 进价) × 销量。 ② 行程问题：路程 = 速度 × 时间；时间 = 路程 ÷ 速度。 ③ 工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间。 ④ 几何面积：长方形 ，三角形。 2. 混合问题 混合后单价 = 总价 ÷ 总重量。 3. 增长率问题 增长后的量 = 原量 × (1 + 增长率)； 下降后的量 = 原量 × (1 − 下降率)。 4. 易错提醒 ① 单位不统一时直接列式。 ② 混淆“增长到”与“增长了”。 ③ 几何图形中遗漏部分区域或重复计算。 【典例1】 【答案】C 【分析】本题考查列代数式的实际应用，先求出混合什锦糖果的总价和总重量，再根据单价=总价÷总重量列出代数式即可得到答案． 【详解】解：∵ 2千克A种糖果的总价为元，千克B种糖果的总价为元， ∴ 混合后什锦糖果的总价格为元，总重量为千克， ∴ 什锦糖果的单价为每千克元． 【变式1-1】 【答案】C 【分析】此题主要考查了分式的实际应用，根据题意求出全程，及提速后行驶的速度，相除即可得到提速后行驶的时间，原来行驶时间减去提速后行驶的时间，即得比原来减少的时间． 【详解】A地到B地的路程：， 提速后的速度：， 提速后的时间：， ∴提速后从A地到B地比原来减少的时间：， 故选：C． 【变式1-2】 【答案】C 【详解】解：设小道的宽为x米， 根据题意得，种植面积为． 【变式1-3】 【答案】，其中为正整数 【分析】总费用分为两部分，不超过15个的部分按原价计算，超过15个的部分按标价八折计算，分别计算两部分费用后求和整理即可得到关系式； 【详解】解：∵购买个篮球，满足， ∴总费用由两部分组成，分别是前15个的费用和超过15个部分的费用， 计算前15个的费用：元， 超过15个的数量为个，超过部分每个的价格为元， 因此超过部分的总费用为元， ∴总费用， 展开整理得： ， 即与的关系式为． 【变式1-4】 【答案】 【分析】根据计算即可解答． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵，，， ∴， ， ∴ ． ▌题型04 代数式与数字问题 1. 多位数的表示方法 ① 两位数：（为个位，为十位）。 ② 三位数：（为个位，为十位，为百位）。 ③ 四位数：。 2. 数字的整除特征 ① 能被9整除：各位数字之和能被9整除。 ② 能被3整除：各位数字之和能被3整除。 3. 连续整数（奇数、偶数）的表示 ① 连续整数：。 ② 连续奇数：。 ③ 连续偶数：。 4. 易错提醒 ① 数位与数值混淆（如十位数字为，应表示为）。 ② 交换数位后新数表示错误。 ③ 连续奇数的公差误写为1。 【典例1】 【答案】(1) (2) ， 因为可以被9整除， 所以可以被9整除， 所以这个四位数可以被9整除． 【分析】（1）根据题意表示出四位数即可； （2）根据题意列出代数式，即可作出判断． 【详解】（1）解： ； （2）略 【变式1-1】 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由题意得：． 【变式1-2】 【答案】(1)5367不能被9整除；6975能被9整除 (2) 证明：对于三位数，若能被9整除，设， 则 ． 故能被9整除． 【分析】（1）根据题干举例进行解答即可； （2）根据题意表示出，设，求解即可． 【详解】（1）解：对于5367：由于， ∵21不是9的倍数， ∴5367不能被9整除. 对于6975：由于， ∵， ∴6975能被9整除 （2）略 【变式1-3】 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）根据题意列代数式即可； （3）根据题意列代数式即可． 【详解】（1）解：根据题意得：比与的差的平方多3的数为； （2）∵在三个连续奇数中，最大的数为， ∴居中的奇数为：；最小的数为：； （3）一个两位数，十位上的数字为．个位上的数字是十位上数字的2倍， ∴这个两位数为：． 【变式1-4】 【答案】原两位数：；新两位数： 【分析】本题考查了列代数式，设原两位数十位上的数为，则原两位数个位上的数为，再根据题意列出代数式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设原两位数十位上的数为，则原两位数个位上的数为， ∴原两位数为， 新两位数为． ▌题型05 算式规律与数字排列 1. 裂项相消法 对于形如的分数，可拆成： 相加时中间项相互抵消，只剩首尾两项。 2. 等比数列求和（错位相减法） 对于，两边乘后相减： 3. 规律探究的方法 ① 列出前几项，观察变化趋势。 ② 归纳出第项的表达式，并验证。 ③ 对于操作类问题，计算每次操作后总和的变化规律。 4. 易错提醒 ① 裂项时系数遗漏或写错。 ② 等比数列求和公式中符号处理错误。 ③ 归纳规律时，前几项不具代表性。 【典例1】 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察已知等式，找到等式和序号的对应关系即可求解； （2）根据已知等式，找出规律即可； （3）先代入，再利用裂项相消的方法求解即可． 【详解】（1）解：观察等式可知，第5个等式：． （2）解：观察等式可知，第个等式：． （3）解：由题意得： ． 【变式1-1】 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干给出的式子得出规律即可求解； （2）根据题干给出的式子得出规律即可求解； （3）由（2）的结论得，再进行求解即可． 【详解】（1）解：观察已知等式：第个等式中，被减数指数为，减数指数为，右侧为， 因此第5个等式为； （2）解：根据（1）得出的规律，可得第个（为正整数）的等式为； （3）解：由（2）的结论，得， 设所求和为， ． 【变式1-2】 【答案】(1)，343 (2) (3) 【分析】（1）根据除方的定义直接进行除法运算； （2）仿照示例将除方运算转化为乘方运算； （3）根据（2）中结论将除方运算转化为乘方运算后，再进行有理数的混合运算． 【详解】（1）解：； ． （2）解：， 即． （3）解： ． 【变式1-3】 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查有理数运算规律探究，有理数的加减法计算法则，根据已知序列发现规律并运用规律解决问题是解题的关键． （1）根据已知序列进行探索求解即可； （2）设前7项的和为，再令其乘以，并与原式相加即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，符号的规律：第1项为负，第2项为正，第3项为负，…，交替出现， ∴第n项的符号为； 数值的规律：第1项，第2项，第3项，…， ∴第项的数值为， ∴第项为； （2）解：设前7项的和为， ∴， ∴， ∴： ， ∴， ∴． 【变式1-4】 【答案】(1)操作100次后其和为520 (2)不可能，见解析 (3) 【分析】（1），根据“对于一个排列，操作一次后，其和比原来的和增加尾项与首项的差”可得答案； （2）,根据（1）中的规律列出方程，求出解判断即可； （3），根据规律求出，进而得出答案． 【详解】（1）解：初始和为，每次操作增加的数之和为， 则每次操作的总和为5， 所以操作100次后其和为； （2）解：不可能， 设第x次操作，根据题意，得 ， 解得无整数解； （3）解：设操作n次后，第二项为， 第一次操作后，新数串为3，，即，所以； 第二次操作后，新数串为，即，所以； 则 所以． ▌题型06 新定义运算与代数式表示 1. 新定义运算的理解 ① 仔细阅读定义，明确新运算的规则和运算顺序。 ② 将新定义中的字母用具体数值代入，严格按照定义计算。 ③ 注意新定义运算是否满足交换律、结合律等。 2. 常见新定义类型 ① 型。 ② 型。 ③ 与数轴结合的新定义（如距离、折叠等）。 3. 解题策略 ① 先化简新定义中的绝对值或括号。 ② 再代入具体数值计算。 ③ 判断运算律时，分别计算和，比较结果。 4. 易错提醒 ① 对新定义理解偏差，代入时遗漏或重复运算。 ② 计算绝对值时符号出错。 ③ 判断交换律时，只验证一组数值就下结论（应说明理由或举反例）。 【典例1】 【答案】(1) (2) (3) 满足交换律 ， ， ， 故满足交换律． 【分析】（1）观察题目给出的算式，归纳出的通用运算公式； （2）先计算括号内的，再将结果代入外层算式计算最终结果； （3）根据交换律的定义，分别计算与，验证二者是否相等． 【详解】（1）解：根据题意可知，． （2）解：， ． （3）略 【变式1-1】 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）按照新运算计算方法进行计算； （2）计算出和，进行比较即可； （3）先计算得出结果，再计算． 【详解】（1）解：；； （2），， ， ， ， ， ； （3）． 【变式1-2】 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）先判断的范围，再根据新定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：∵， ∴， ∴ ． 【变式1-3】 【答案】(1) (2)①；②1或13 【分析】（1）利用裂项法求得，进而列方程求解即可； （2）①利用绝对值的几何意义求解即可；②根据绝对值的性质，分情况讨论并列方程解答即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ， ∵， ∴，解得； （2）解：∵，，， ∴， ①∵表示数轴上数x对应的点到4和10对应的两个点的距离之和， ∴当时，取得最小值， ∴x的取值范围为； ②∵， ∴， 当时，，解得； 当时，，x不存在； 当时，，解得， 综上，x的值为1或13． 【变式1-4】 【答案】(1)小颖的尝试不正确，见解析 (2) (3) 【分析】（1）分别计算三条边上的数字之和，进行判断即可； （2）根据三条边上数字之和与顶点处数字之和的关系列式即可； （3）根据，之间的关系可得最大时，最大，进而确定已知个数中三个数的和最大值即可． 【详解】（1）解：，，，每条边上的三个数的和不相等， 小颖的尝试不正确； （2）解：由题意可知，三角形有条边，每条边上的三个数之和为， 三条边的总和为， 在计算三条边的总和时，三个顶点处的数各被计算了两次，其余各数各被计算了一次， 三条边的总和等于个数的总和加上三个顶点处的数之和， 这个数之和为，设每条边上的三个数之和为，三个顶点处的三个数之和为， ； （3）解：每条边上三个数之和为，最大，即最大， 即最大时，最大， 为三个顶点处三个数之和，，，，，，中三个数的和最大为， 最大为，此时， 每条边上三个数之和的最大值为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $