课时分层作业19 简单幂函数的图象和性质-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

课时分层作业(十九)　简单幂函数的图象和性质 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共104分 一、选择题 1．函数y＝的图象大致是(　　) A　　　　　　　B C　　　　　　　D 2．已知幂函数f (x)＝xα(α为常数)的图象经过点(2，4)，则f (9)＝(　　) A．49 　 B． C．81 　 D． 3．函数y＝－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D 4．当x∈(1，＋∞)时，下列函数中的图象全在直线y＝x下方的增函数是(　　) A．y＝ 　 B．y＝x2 C．y＝x3 　 D．y＝x-1 5．已知幂函数f (n∈Z)在(0，＋∞)上单调递减，则n的值为(　　) A．－3 　 B．1 C．2 　 D．1或－3 二、填空题 6．已知幂函数f ＝(m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f 的解析式是________． 7．已知幂函数f (x)＝是偶函数，且在(0，＋∞)上是单调递增的，则函数的解析式为________． 8．已知函数f (x)＝若关于x的方程f (x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________． 三、解答题 9．(源自人教B版教材)比较下列各题中两个值的大小： (1)2.31.1和2.51.1； 和． 10．已知幂函数f (x)＝(k2－k－1)xk(k∈R)，且在区间(0，＋∞)上函数图象是上升的． (1)求实数k的值； (2)若存在实数a，b，使得函数f (x)在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值． 11．(多选)已知幂函数f (x)＝，下列关于f (x)的结论正确的是(　　) A．m，n是奇数时，f (x)是奇函数 B．m是偶数，n是奇数时，f (x)是偶函数 C．m是奇数，n是偶数时，f (x)是偶函数 D．0<<1时，f (x)在(0，＋∞)上单调递减 12．已知幂函数f (x)＝，且0<a<b<1，则下列选项中正确的是(　　) A．f (a2)<f (b2)<f <f B．f <f <f (b2)<f (a2) C．f (a2)<f (b2)<f <f D．f <f (a2)<f <f (b2) 13．已知函数f (x)＝若f (x)在R上具有单调性，则a的取值范围是________． 14．对于幂函数f ，若0<a<b，则f 的大小关系是________． 15．定义函数f (x)＝min{x2，x-1}，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)． (1)试作出函数f (x)的图象，并求函数f (x)的解析式； (2)写出f (x)的值域． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 课时分层作业(十九) 1．B　[函数y＝的定义域为R，且此函数在定义域上是增函数，排除AC．另外，因为>1，在第一象限图象下凸．故选B．] 2．C　[由题意f(2)＝2α＝4， 所以α＝2，所以f(x)＝x2，所以f(9)＝92＝81．] 3．B　[y＝－1的定义域为[0，＋∞)且为增函数，所以函数图象是上升的，所以y＝－1关于x轴对称的图象是下降的，故选B．] 4．A　[对任意的x∈(1，＋∞)，都有x－－1)>0，x－x-1＝x-1(x2－1)>0，x－x2＝x(1－x)<0，x－x3＝x(1＋x)(1－x)<0，故当x∈(1，＋∞)时，函数的图象全在直线y＝x下方的函数有y＝和y＝x-1，而函数y＝是增函数，函数y＝x-1是减函数，所以选A．] 5．B　[由于f为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，当n＝－3时，f(x)＝x18在(0，＋∞)上单调递增，不合题意，故选B．] 6．f＝x-1　[∵函数f(x)的图象与x轴，y轴都无交点， ∴m2－1<0，解得－1<m<1． ∵图象关于原点对称， 又m∈Z， ∴m＝0，∴f＝x-1．] 7．f(x)＝x2　[∵f(x)是幂函数， ∴t3－t＋1＝1， 解得t＝－1或t＝0或t＝1． 当t＝0时，f(x)＝既不是奇函数，也不是偶函数，不满足题意； 当t＝1时，f(x)＝x-2是偶函数，但在(0，＋∞)上是单调递减的，不满足题意； 当t＝－1时，f(x)＝x2，满足题意． 综上所述，实数t的值为－1， 所求解析式为f(x)＝x2．] 8．(0，1)　[作出函数图象如图所示，则当0<k<1时，关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根． ] 9．解：(1)考察幂函数y＝x1.1，因为其在区间[0，＋∞)上是增函数，而且2.3<2.5，所以2.31.1<2.51.1． (2)考察幂函数y＝，因为其在区间(0，＋∞)上是减函数，而且a2＋2≥2，所以(a2＋2． 10．解：(1)∵幂函数f(x)＝(k2－k－1)xk(k∈R)， ∴k2－k－1＝1，解得k＝－1或k＝2． 又f(x)在区间(0，＋∞)上函数图象是上升的， ∴k>0，即k＝2． (2)由题知存在实数a，b，使得函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[a，b]，又f(x)＝x2在(0，＋∞)上单调递增， ∴ 又a<b，∴a＝0，b＝1． 11．AB　[f(x)＝，当m，n是奇数时，f(x)是奇函数，故A中的结论正确；当m是偶数，n是奇数时，f(x)是偶函数，故B中的结论正确；当m是奇数，n是偶数时，f(x)在x<0时，无意义，故C中的结论错误；当0<<1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故D中的结论错误．故选AB．] 12．C　[f (x)在(0，＋∞)上单调递增， 因为0<a<b<1，所以>>1>b2>a2>0， 所以f >f >f (b2)>f (a2)．故选C．] 13．[－2，0]　[因为y＝x3在定义域上为增函数，所以f(x)在R上为增函数， 又因为y＝－x2＋2a在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减， 所以要使f(x)在R上为增函数，则 解得－2≤a≤0． 故a的取值范围是[－2，0]．] 14．f　[幂函数f在(0，＋∞)上单调递增，大致图象如图所示． 设A，C，其中0<a<b，则AC的中点E的坐标为E，|AB|＝f(a)，|CD|＝f(b)，|EF|＝f(|AB|＋|CD|)， ∴f．] 15．解：(1)在同一坐标系中作出函数y＝x2(x≠0)与y＝x-1(x≠0)的图象(如图)． 令x2＝x-1，解得x＝1，所以函数f(x)的图象如图所示： 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝ (2)由(1)图可知f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，1]． $