3.3 幂函数分层同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学·分层作业系列 3.3 幂函数（分层作业，3层24题）（原卷版） 高一数学上学期 人教A版（2019） 层级 定位 题量 建议用时 A 基础达标 人人必做：本节基本概念、基本方法的直接应用 11题 约30分钟 B 能力提升 建议完成：知识的综合运用与常见题型变化 8题 约30分钟 C 拓展创新 学有余力选做：综合性、创新性较强的问题 5题 约40分钟 A 基础达标（人人必做） 本层共11题，建议用时约30分钟 一、单选题（共4小题） 1．下列四个函数是奇函数且在定义域内单调递减的函数是（）（26-27高三上·四川绵阳·开学考试） A． B． C． D． 2．已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ）（26-27高二上·山东日照·开学考试） A．0 B．1 C．0或1 D．-1或1 3．幂函数的定义域为，则关于x的不等式的解集为（    ）（26-27高一上·江苏·期中） A． B． C． D． 4．已知幂函数的图象与x轴无交点，则m的取值范围是（   ）（2026高三·全国·专题练习） A． B． C． D． 二、多选题（共1小题） 5．设，，则下列不等式中正确的是（   ）（2027高三·全国·专题练习） A． B． C． D． 三、填空题（共4小题） 6．已知幂函数的图象过点，则__________．（25-26高一下·四川乐山·期末） 7．已知幂函数在上单调递减，则实数______．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末） 8．已知幂函数的图象关于轴对称，则__________.（2025高一上·广东汕头·竞赛） 9．已知幂函数在上单调递减，则__________．（25-26高二下·河北·期末） 四、解答题（共2小题） 10．幂函数，，，在第一象限内的图象依次对应图中的哪个曲线？（26-27高一上·全国·课堂例题） 11．已知幂函数是偶函数，且在上单调递增.（26-27高一上·全国·课堂例题） (1)求函数的解析式； (2)解不等式 B 能力提升（建议完成） 本层共8题，建议用时约30分钟 一、单选题（共5小题） 12．已知幂函数在上单调递减，则（   ）（25-26高二下·河南·阶段检测） A． B．3 C． D． 13．已知幂函数的图象不经过原点，则（   ）（25-26高二下·江苏常州·期末） A． B． C．或 D．或 14．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为（   ）（2027高三·全国·专题练习） A． B．1 C．2 D．1或3 15．已知“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件，则正实数a的取值范围是（    ）（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测） A． B． C． D． 16．函数的单调递减区间为（　　）（26-27高一上·全国·课后作业） A． B． C． D． 二、多选题（共1小题） 17．已知，，则下列不等式成立的是（     ）（25-26高二下·重庆·期末） A． B． C． D． 三、填空题（共1小题） 18．幂函数在区间上单调递减，则实数__________．（25-26高一下·云南玉溪·期末） 四、解答题（共1小题） 19．已知幂函数在上单调递增，（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测） (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集（其中）. C 拓展创新（学有余力选做） 本层共5题，建议用时约40分钟 一、单选题（共3小题） 20．若幂函数的图象经过点，则满足的的最大值与最小值的差为（    ）（26-27高三上·河北雄安·阶段检测） A． B． C． D． 21．若幂函数的图象经过点，则函数的最小值为（     ）（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测） A．3 B． C． D． 22．已知幂函数在上单调递减，若正实数a，b满足，则的最小值为（    ）（25-26高二下·河北沧州·期末） A．5 B．4 C． D． 二、解答题（共2小题） 23．已知幂函数为偶函数.（26-27高三上·福建厦门·阶段检测） (1)求函数的解析式； (2)若函数，且在的最小值为，求的值. 24．已知幂函数在区间上单调递增．（25-26高一下·湖南·期末） (1)求的解析式； (2)若关于的不等式恰有个整数解，求实数的取值范围． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·分层作业系列 3.3 幂函数（分层作业，3层24题）（解析版） 高一数学上学期 人教A版（2019） 层级 定位 题量 建议用时 A 基础达标 人人必做：本节基本概念、基本方法的直接应用 11题 约30分钟 B 能力提升 建议完成：知识的综合运用与常见题型变化 8题 约30分钟 C 拓展创新 学有余力选做：综合性、创新性较强的问题 5题 约40分钟 A 基础达标（人人必做） 本层共11题，建议用时约30分钟 一、单选题（共4小题） 1．下列四个函数是奇函数且在定义域内单调递减的函数是（）（26-27高三上·四川绵阳·开学考试） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A.是奇函数，但该函数在定义域上不单调，排除. B.，定义域， ，是奇函数； 在上递增，故在上单调递减，符合题意； C.的定义域为，，即函数为奇函数， 又因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，排除. D.的定义域为，，故不是奇函数，排除. 2．已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ）（26-27高二上·山东日照·开学考试） A．0 B．1 C．0或1 D．-1或1 【答案】A 【详解】由题可知， 解方程可得或， 解不等式可得， 所以， 综上：实数的值为. 3．幂函数的定义域为，则关于x的不等式的解集为（    ）（26-27高一上·江苏·期中） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数定义和定义域求出的值，得到解析式，解不等式得解． 【详解】由题，得，即，解得或， 当时，，定义域为，不合题意； 当时，，定义域为，合题意． 所以，即，所以， 即，解得， 所以不等式的解集为． 4．已知幂函数的图象与x轴无交点，则m的取值范围是（   ）（2026高三·全国·专题练习） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用幂函数性质列式计算求解. 【详解】因为幂函数的图象与x轴无交点， 所以， 所以，即得 二、多选题（共1小题） 5．设，，则下列不等式中正确的是（   ）（2027高三·全国·专题练习） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于A，利用在上是增函数即可判断；对于B，利用在上是减函数即可判断；对于C，运用作差法判断；对于D，利用不等式的性质即可判断，D错误． 【详解】对于A，因为在上是增函数，所以，A正确； 对于B，因为在上是减函数，所以，B正确； 对于C，因为，所以，C正确； 对于D，当时，，D错误． 三、填空题（共4小题） 6．已知幂函数的图象过点，则__________．（25-26高一下·四川乐山·期末） 【答案】 【详解】因为函数为幂函数，所以设， 函数过点，所以， 所以. 7．已知幂函数在上单调递减，则实数______．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末） 【答案】 【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】已知是幂函数，则，解得或， 又因为在上单调递减，所以，即，所以． 8．已知幂函数的图象关于轴对称，则__________.（2025高一上·广东汕头·竞赛） 【答案】 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，为偶函数，图象关于轴对称. 当时，为奇函数，图象关于原点对称，不符. 所以， 9．已知幂函数在上单调递减，则__________．（25-26高二下·河北·期末） 【答案】 【详解】由题意可知， 所以，解得. 所以， 所以. 四、解答题（共2小题） 10．幂函数，，，在第一象限内的图象依次对应图中的哪个曲线？（26-27高一上·全国·课堂例题） 【答案】，，，. 【分析】根据幂函数的性质即可求解. 【详解】根据幂函数的性质可知，当时，图象在上递增， 且越大，图象递增速度越快，由此可判断是曲线，是曲线； 当时，图象在上递减， 当时，函数的函数值为， 函数的函数值为， 因为，所以是曲线，是曲线； 综上所述幂函数，，，， 在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，. 11．已知幂函数是偶函数，且在上单调递增.（26-27高一上·全国·课堂例题） (1)求函数的解析式； (2)解不等式 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义、奇偶性与单调性，确定的值，即得函数的解析式； （2）利用（1）的函数的奇偶性与单调性将不等式化为，两边取平方后求解一元二次不等式即得. 【详解】（1）因为是幂函数，且在上单调递增， 则且，由解得， 又，所以或3. 又是偶函数，则是偶数， 将或3分别代入，可得或6， 故或； （2）由（1），偶函数在上单调递增， 则由可得，故有， 两边取平方，整理得，解得或， 所以原不等式的解集是. B 能力提升（建议完成） 本层共8题，建议用时约30分钟 一、单选题（共5小题） 12．已知幂函数在上单调递减，则（   ）（25-26高二下·河南·阶段检测） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】使用幂函数的定义与单调性求解. 【详解】由题意，，解得或， 当时，，为增函数， 当时，，在上单调递减，符合题意，所以， 所以，所以. 13．已知幂函数的图象不经过原点，则（   ）（25-26高二下·江苏常州·期末） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据幂函数的定义求出的可能取值，再结合图象不过原点的约束筛选出符合条件的，最后代入计算函数值即可. 【详解】由题意可得，解得或， 当时，，此时图象不经过原点，符合题意； 当时，，此时图象经过原点，不符合题意； 所以，. 14．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为（   ）（2027高三·全国·专题练习） A． B．1 C．2 D．1或3 【答案】B 【详解】由于为幂函数，所以，解得或， 当时，在上是增函数，不符合题意； 当时，，定义域为，关于原点对称， 又，所以为偶函数，图象关于轴对称， 且在上是减函数，符合题意． 15．已知“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件，则正实数a的取值范围是（    ）（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的性质求得，由题意知是的真子集，列不等式即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增，所以，解得. 因为“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件，且， 所以是的真子集，所以， 即正实数的取值范围是. 16．函数的单调递减区间为（　　）（26-27高一上·全国·课后作业） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得或，即函数的定义域为． 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以由复合函数单调性，可知函数的单调递减区间为． 二、多选题（共1小题） 17．已知，，则下列不等式成立的是（     ）（25-26高二下·重庆·期末） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据作差法判断AB；根据基本不等式判断C；根据幂函数的单调性判断D. 【详解】对于A，由，得，则，所以，A正确. 对于B，， 因为，，所以，即，B错误. 对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号， 又，故等号不成立，所以，C正确. 对于D，因为，所以，则在上单调递增，又，所以，D错误. 三、填空题（共1小题） 18．幂函数在区间上单调递减，则实数__________．（25-26高一下·云南玉溪·期末） 【答案】 【分析】先根据幂函数的定义求出的可能取值，再结合幂函数在上的单调递减性质筛选出符合条件的. 【详解】 根据幂函数的定义：形如（为常数）的函数为幂函数，其的系数必须为，因此有： ， 整理得一元二次方程，因式分解得，解得或； 幂函数在上单调递减的充要条件是指数，即， 当时，，此时在上单调递增，不符合题意，舍去； 当时，，此时在上单调递减，符合题意， 综上，实数. 四、解答题（共1小题） 19．已知幂函数在上单调递增，（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测） (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集（其中）. 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 【分析】（1）根据幂函数的定义及性质计算可得； （2）先将不等式转化为，再分类讨论可得不等式的解集. 【详解】（1）因为函数为幂函数，所以， 即，解得或， 又因为在上单调递增，所以， 所以，因此. （2）由（1）知，所以， 所以不等式转化为，即. 当时，解得或，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. C 拓展创新（学有余力选做） 本层共5题，建议用时约40分钟 一、单选题（共3小题） 20．若幂函数的图象经过点，则满足的的最大值与最小值的差为（    ）（26-27高三上·河北雄安·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为幂函数的图象经过点，所以， 令， 因为和在上均为增函数，所以为增函数， 又因为， 所以的解集为， 所以的最大值与最小值的差为4. 21．若幂函数的图象经过点，则函数的最小值为（     ）（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出幂函数的解析式，进而求出，换元法即可求出函数的最值. 【详解】设函数，由题意，故， 于是，则， 令，则，且， 故的最值可转化为函数的最值， 由二次函数的性质可知函数在上单调递增， 当，即时，函数取得最小值3. 22．已知幂函数在上单调递减，若正实数a，b满足，则的最小值为（    ）（25-26高二下·河北沧州·期末） A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数定义与性质可得，再利用“1”代换结合基本不等式运算求解. 【详解】因为幂函数在上单调递减， 则，解得， 可得正实数a，b满足， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 二、解答题（共2小题） 23．已知幂函数为偶函数.（26-27高三上·福建厦门·阶段检测） (1)求函数的解析式； (2)若函数，且在的最小值为，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据幂函数的定义和幂函数的奇偶性求解即可； （2）利用二次函数的性质以及分类讨论法，根据函数的最值分析即可. 【详解】（1）由为幂函数，则， 即，解得：或， 当时，，由函数的定义域关于原点对称，且， 此时函数为偶函数，满足题意， 当时，，由函数的定义域关于原点对称，且， 此时函数为奇函数，不满足题意， 综上所述，函数. （2）由（1）知，则函数， 所以函数为开口向上，对称轴为的二次函数， ①当时，在上单调递增， 此时， 又在的最小值为， 所以，解得：，满足题意， ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又在的最小值为， 所以，解得：（舍去）或， ③当时，在上单调递减， 此时， 又在的最小值为， 所以，解得：，不满足题意， 综上所述，的值为或. 24．已知幂函数在区间上单调递增．（25-26高一下·湖南·期末） (1)求的解析式； (2)若关于的不等式恰有个整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)通过幂函数单调性的性质求解. (2)通过不等式化简构造新函数利用对称性确定的范围. 【详解】（1）因为在单调递增，所以， 解得，因为，所以，. （2）求解，即有个整数解. 因为，恰好为整数，由于二次函数的对称性，我们可知另外个整数解为， ，，所以. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $