4.4.2 对数函数的图象和性质（2）课时分层作业-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 课时分层作业(三十七)对数函数的图象和性质（2），覆盖反函数、奇偶性、单调性等知识点，总分103分，通过三级梯度设计实现从概念理解到综合应用的巩固，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|反函数、定义域、单调性基础应用|单选1-4题、填空6-8题，如第1题反函数求解，直接考查概念转化| |提升层|奇偶性判断、复合函数性质综合|多选5题、单选10-12题，如第5题结合定义域值域辨析，培养批判性思维| |综合层|含参数问题、证明与探究|解答题14-15题，如第15题单调性与对称性证明，体现数学推理与表达|

课时分层作业(三十七)　 对数函数的图象和性质（2） 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共103分 一、选择题 1．已知函数y＝f (x)的图象与y＝lg x的图象关于直线y＝x对称，则f (lg 3)·f (lg 4)＝(　　) A．lg 7　 B．10 C．12　 D．107 2．已知函数f (x)＝ln|x＋1|－ln|x－1|，则f (x)(　　) A．是偶函数，且在区间(1，＋∞)上单调递增 B．是奇函数，且在区间(－1，1)上单调递减 C．是偶函数，且在区间(－∞，－1)上单调递增 D．是奇函数，且在区间(－∞，－1)上单调递减 3．函数f (x)＝log0.5(x2－ax＋3)在区间(0，1)上单调递增，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，2]　 B．[2，＋∞) C．[2，4)　 D．[2，4] 4．函数f (x)＝(log2x－2)(x∈[2，4])的值域为(　　) A．　 B． C．[－1，0]　 D．[0，1] 5．(多选)已知函数f (x)＝lo(x2－2x＋a)，则下列结论正确的是(　　) A．当a＝2时，f (x)的值域为(0，＋∞) B．当a＝－3时，f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞) C．f (x)的图象关于直线x＝1对称 D．若f (x)的定义域为R，则实数a的取值范围是(1，＋∞) 二、填空题 6．函数f (x)＝log5(2x＋1)的单调递增区间是________． 7．已知函数y＝lg(ax2＋x＋1)的值域是R，则实数a的取值范围是________． 8．若f (x)＝xln为偶函数，则实数b＝________． 三、解答题 9．(13分)已知f (x)＝lg(2＋x)＋lg(2－x)． (1)求函数f (x)的定义域； (2)判断函数f (x)的奇偶性，并加以证明； (3)求f ()的值． 10．函数f (x)＝lg(＋x)的奇偶性为(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 11．(多选)已知函数f (x)＝ln|x－a|，则(　　) A．f (x)的定义域为R B．f (x)的值域为R C．f (x)在(a，＋∞)上单调递增 D．f (x)的图象关于直线x＝a对称 12．已知函数f (x)＝ln x＋ln(2－x)，则(　　) A．f (x)在(0，2)上单调递增 B．f (x)在(0，2)上单调递减 C．y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称 D．y＝f (x)的图象关于点(1，0)对称 13．已知f (x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，f ＝0，则不等式f (lox)>0的解集为________． 14．(13分)函数f (x)＝(log2x－4)． (1)当x∈[1，4]时，求该函数的值域； (2)若f (x)>mlog2x对于x∈[1，4]恒成立，求m的取值范围． 15．(15分)已知函数f (x)＝loga(x＋2)＋loga(4－x)，0<a<1． (1)求函数f (x)的单调递减区间； (2)若函数f (x)在区间[0，3]内的最小值为－2，求实数a的值； (3)证明：f (x)的图象是轴对称图形． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 课时分层作业(三十七) 1．C　[因为函数y＝f (x)的图象与y＝lg x的图象关于直线y＝x对称， 所以函数y＝f (x)与函数y＝lg x互为反函数， 所以f (x)＝10x，所以f (lg 3)·f (lg 4)＝1×1＝3×4＝12． 故选C．] 2．D　[由题意知，f (x)的定义域为{x|x≠±1}， 且f (－x)＝ln|－x＋1|－ln|－x－1|＝ln|x－1|－ln|x＋1|＝－f (x)， 所以f (x)是奇函数，选项A、C错误； 当－1<x<1时，f (x)＝ln(x＋1)－ln(1－x)＝ln＝ln， y＝－1在(－1，1)上单调递增，y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增， 根据复合函数的单调性可知f (x)在区间(－1，1)上单调递增，选项B错误； 当x>1时，f (x)＝ln(x＋1)－ln(x－1)＝ln＝ln， y＝1＋在(1，＋∞)上单调递减，y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增， 根据复合函数的单调性可知f (x)在区间(1，＋∞)上单调递减， 因为f (x)是奇函数，则f (x)在区间(－∞，－1)上单调递减，选项D正确． 故选D．] 3．D　[令t＝x2－ax＋3， 已知函数y＝log0.5t在(0，＋∞)上单调递减， 则要使函数f (x)＝log0.5(x2－ax＋3)在区间(0，1)上单调递增， 则t＝x2－ax＋3在(0，1)上单调递减且恒大于0， 可得解得2≤a≤4． 即实数a的取值范围为[2，4]． 故选D．] 4．B　[f (x)＝(log2x－2)＝(log2x－2)，且x∈[2，4]， 令t＝log2x，则t∈[1，2]， 则f (x)＝g(t)＝(t－2)(t－1)＝(t2－3t＋2)＝－， 又g(t)的图象开口向上且对称轴为t＝，且g(1)＝g(2)＝0为最大值，当t＝时，函数取得最小值－， 所以f (x)＝g(t)∈． 故选B．] 5．BCD　[对于A，当a＝2时，f (x)＝lo(x2－2x＋2)＝lo[(x－1)2＋1]≤lo1＝0，故A错误； 对于B，当a＝－3时，x2－2x－3>0，解得x>3或x<－1，定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，故B正确； 对于C，因为f (2－x)＝lo[(2－x)2－2(2－x)＋a]＝lo(x2－2x＋a)＝f (x)，f (x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确； 对于D，因为f (x)的定义域为R，所以x2－2x＋a>0的解集是R，得Δ＝(－2)2－4a<0，解得a>1，故D正确． 故选BCD．] 6．－，＋∞　[因为y＝log5μ(x)与μ(x)＝2x＋1均为增函数，故函数f (x)＝log5(2x＋1)是其定义域上的增函数，所以函数f (x)的单调递增区间是－，＋∞．] 7．　[∵y＝lg(ax2＋x＋1)的值域是R， ∴t(x)＝ax2＋x＋1的值域要取遍全体正实数， 当a＝0时，符合题意； 当a≠0时，有解得0<a≤． 综上，得0≤a≤．] 8.3　[若f (x)＝xln是偶函数，则f (－x)＝f (x)， 即－xln＝xln， 所以xln·＝0， 所以·＝1，所以4x2－9＝4x2－b2，所以b＝±3， 当b＝－3时，f (x)＝xln，定义域为－∞，∪，＋∞，不关于原点对称，不符合，舍去； 当b＝3时，f (x)＝xln，定义域为－∞，－∪，＋∞，关于原点对称，符合题意． 综上所述，b＝3．] 9．解：(1)由得－2<x<2， 所以函数f (x)的定义域为{x|－2<x<2}． (2)f (x)为偶函数，证明如下： 因为函数f (x)的定义域为{x|－2<x<2}，关于原点对称， 又f (－x)＝lg[2＋(－x)]＋lg[2－(－x)]＝lg(2－x)＋lg(2＋x)＝f (x)， 所以函数f (x)＝lg(2＋x)＋lg(2－x)为偶函数． (3)f ()＝lg(2＋)＋lg(2－) ＝lg[(2＋)(2－)]＝lg 1＝0． 10．A　[易知该函数的定义域为R，又f (x)＋f (－x)＝lg(＋x)＋lg(－x)＝lg[(＋x)·(－x)]＝lg 1＝0， ∴f (x)＝－f (－x)，∴f (x)为奇函数．] 11．BCD　[由|x－a|>0可得x≠a，值域为R，A错误，B正确； 由于y＝|x－a|在(a，＋∞)上单调递增，在(－∞，a)上单调递减，而y＝ln x为(0，＋∞)上的增函数，因此f (x)在(a，＋∞)上单调递增，C正确； 由于f (－x＋2a)＝ln|－x＋2a－a|＝ln|x－a|＝f (x)，故f (x)的图象关于直线x＝a对称，D正确． 故选BCD．] 12．C　[f (x)的定义域为(0，2)． f (x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)． 设u＝－x2＋2x，x∈(0，2)，则u＝－x2＋2x在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减． 又y＝ln u在其定义域上为增函数， ∴f (x)＝ln(－x2＋2x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减． ∴选项AB错误． ∵f (x)＝ln x＋ln(2－x)＝f (2－x)， ∴f (x)的图象关于直线x＝1对称，∴选项C正确． ∵f (2－x)＋f (x)＝[ln(2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln(2－x)]＝2[ln x＋ln(2－x)]，不恒为0， ∴f (x)的图象不关于点(1，0)对称，∴选项D错误．故选C．] 13．∪(2，＋∞)　[∵f (x)是R上的偶函数， ∴它的图象关于y轴对称． ∵f (x)在[0，＋∞)上单调递增， ∴f (x)在(－∞，0]上单调递减． 由f ＝0，得f －＝0，则函数的大致图象如图所示． ∴f (lox)>0⇒lox<－或lox>，解得x>2或0<x<， ∴原不等式的解集为0，∪(2，＋∞)．] 14．解：(1)f (x)＝(log2x－4)log2x－＝(log2x－4)(log2x－1)， ∵x∈[1，4]，∴log2x∈[0，2]， 令t＝log2x，则f (x)＝g(t)＝(t－4)·(t－1)＝t2－t＋2，t∈[0，2]． 易知g(t)在[0，2]上单调递减，∴该函数值域为[g(2)，g(0)]，即[－1，2]． (2)令t＝log2x，则f (t)＝(t－4)(t－1)>mt在[0，2]上恒成立， 当t＝0时，2>0恒成立，m∈R； 当t∈(0，2]时，等价于m<恒成立， 令h(t)＝＝＝ t＋－5≥(2－5)＝－． 当且仅当t＝2时取等号，故m<－． 综上，m<－． 15．解：(1)由得－2<x<4，所以f (x)的定义域为(－2，4)， 于是f (x)＝loga(x＋2)(4－x)， 令t＝(x＋2)(4－x)＝－(x－1)2＋9，该函数在(－2，1)上单调递增， 而f (t)＝logat，0<a<1在(0，＋∞)上单调递减， 所以f (x)的单调递减区间为(－2，1)． (2)f (x)＝loga(x＋2)(4－x)，x∈[0，3]， 令t＝(x＋2)(4－x)＝－(x－1)2＋9． 当0≤x≤3时，5≤t≤9， 因为0<a<1，则loga9≤logat≤loga5， 所以f (x)min＝loga9＝－2，即a-2＝9， 所以a＝． (3)证明：f (2－x)＝loga(4－x)＋loga(2＋x)＝f (x)． 所以f (x)的图象关于直线x＝1对称． 所以f (x)的图象是轴对称图形． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $