锐角三角函数（第一课时--正切）课件2026-2027学年北师大版数学九年级下册

第一章 直角三角形的边角关系 1.1 锐角三角函数 （第一课时） 北师大初中数学九年级下册 学习目标 1 2 3 4 经历探索直角三角形中一个锐角确定后其对边与邻边的比值也随之确定的过程,理解正切的意义. 能够用表示直角三角形中两边的比,表示生活中物体的倾斜程度,并能够用正切进行简单的计算. 重点：理解正切及符号的意义；能够利用正切计算直角三角形的边角. 难点：理解正切公式的意义，进一步感受数形结合的思想. 温故知新 1.直角三角形的锐角有什么性质？ 2.直角三角形的三边有什么性质？ 3.含30°的直角三角形的边角之间有什么性质？ 直角三角形的两个锐角互余 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半 引入新课 思考：你是怎么衡量山、斜坡“险”与“不险”？标准是什么呢？ 陡 陡意味着倾斜程度大！ 引入新课 A B C 梯子与地面的夹角∠ABC称为倾斜角. 从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子的铅直高度. 从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度. 斜边 铅直高度 水平宽度 相关概念 新课讲解 问题一 梯子AB和CD哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断办法？ 倾斜角 倾斜角 倾斜角越大——梯子越陡 A B C D E F ∠ABC＞∠EFD ——AB较陡 此处输入您的标题 水平宽度（邻边） 铅直高度（对边） 当铅直高度越大，水平宽度越小，梯子越陡 问题二 梯子长度不变，哪个更陡？你是怎样判断的？ 你有几种判断办法？ 甲 乙 新课讲解 当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡 当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡 问题三 观察甲乙两图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 铅直高度 水平宽度 越大 越陡 计算： 新课讲解 问题四 如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 3m 6m D E F C 2m B 4m A 当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡 铅直高度 水平宽度 计算： 新课讲解 结论 2、当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡. 1、倾斜角越大，梯子越陡. 3、当铅直高度与水平宽度的比相等，梯子一样陡. 总结： 我们可以用 铅直高度与水平宽度的比、倾斜角的大小来判断梯子的倾斜程度. 新课讲解 新课讲解 梯子变陡→ 铅直高度↑ 水平宽度↓ 倾斜角的对边↑ 倾斜角的邻边↓ 水平宽度（邻边） 铅直高度（对边） 新课讲解 问题五 如图，若∠A大小不变，观察∠A的对边与邻边 A B1 C2 C1 B2 C3 B3 (1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系? 两个直角三角形相似 相等 (3)如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3 )呢? 三角形相似，对应边成比例 结论：直角三角形中，一个锐角大小确定后，它的对边和邻边的比值也就确定了 新课讲解 知识点1.正切的概念 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的对边与邻边的比 叫做∠A的正切，记作 tanA， 即 tanA= ∠B的正切表示为tanB， 30°角的正切表示为tan30° 结论：tanA的值越大，梯子越陡. 新课讲解 想一想： 锐角A的正切值可以等于0吗？为什么？可以小于0吗？ 锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？ A B C ┌ 不可以等于0，也不可以小于0， 可以等于1，此时为等腰直角三角形； 也可以大于1，可逼近于无穷大. 结论： tanA＞0 新课讲解 正切的理解： 1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义， ∠A是一个锐角. 2.tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切， ∠可以省略. 但∠BAC的正切表示为:tan∠BAC.∠1的正切表示为:tan∠1. 3.tanA＞0 ，且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比（注意顺序： ）. 4.tanA不表示“tan”乘以“A ”. 5.tanA的大小只与∠A的大小有关，与直角三角形边长的比有关而与直角三角形的边长无关； 6.对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应. 典例讲解 例1. 在Rt △ ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3， 求tanA 的值和tanB 的值 B C A 解：∵∠C=90°，AB=5，BC=3， ∴AC=4 ∴tanA== tanB== 典例讲解 例2. 如图，在Rt△ABC 中，∠C＝ 90°， =，求tan A． 解：由 ，设BC＝15a，AB＝17a， ∵∠C＝ 90°，根据勾股定理得AC＝8a， 根据正切的定义求解得 tan A＝=. B C A 提示:在生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度. 新课讲解 例3 下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡? β 6m ┐ 乙 8m α 5m ┌ 甲 13m 解:甲梯中, 乙梯中, ∵tanβ＞tanα,∴乙梯更陡. 坡度也称坡比： 即斜坡的 铅直高度：水平宽度 等于坡角的正切 新课讲解 知识点2.坡度、坡角的意义 100m 60m ┌ α i 坡角：坡面与水平面的夹角α称为坡角； 坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比称 为坡度,即坡度等于坡角的正切. 典例讲解 例4 如图，一山坡的坡度为i=1:1.小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（长度精确到0.1m）？ 如图， 在Rt△ABC中，=1 在Rt△ABC中， ∠B=90°，∠A=45°，AC=240m， ∵AB2+BC2=AC2 解： ∴坡角为45° 答：这座山坡的坡角为45°，小刚上升了约169.7 m． ∴BC=240÷=120≈169.7（m）． ∴CB=AB 典例讲解 例5.如图，在Rt △ ABC 中，∠ ACB=90°，AC=8，BC=6，CD ⊥ AB，垂足为D，则tan ∠ BCD= ______. 提示：∠BCD＝∠CAB， ∴tan ∠BCD＝tan ∠CAB＝== 求一个锐角的正切，可以转化成求相等角的正切 会求 tan ∠ ACD吗？ 当堂练习 A 2.在Rt△ABC 中，∠C＝90°，若斜边AB 是直角边AC 的3倍，则tan A的值是( ) A. B. C. D. D 3 1.在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，则tan A 的值是( ) A. B. C. D. 当堂练习 3.在△ABC 中，∠C＝90°，AC：BC=3：1，则tan A 的值是 . 4.如图,P是 的边 OA 上一点，点 P的坐标为 ， 则 =__________. M 记得构造直角三角形哦！ 当堂练习 5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D，则tan∠BCD= 　. 当堂练习 6.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA= 。 可以转化为上图 变式为这个图呢？ 当堂练习 7. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是(　　) A．2 B. C. D. D 拓展与提高 ∵ tanA= 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， B C A 请思考： tanA、tanB分别表示什么？ 你发现了什么？ tanB= ∴ tanA·tanB=1 结论： 互余两锐角的正切值互为倒数. tanα·tan（90°-α）=1 当堂练习 8.在等腰△ABC中, AB=AC=13, BC=10,求tanB. A C B ┌ D 解：如图，过点A作AD⊥BC于点D， ∴在Rt△ABD中， 易知BD=5，AD=12. ∴tanB= = BD AD 求锐角正切时，通常把这个角构造到直角三角形中，有时也可以通过计算与它相等的角的正切值。 课堂小结 正切 定义 坡度 （坡比） ∠A越大，tanA越大, 梯子越陡 与梯子倾斜程度的关系 直角三角形中，锐角∠A 的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切,记作tan A,即 任意 锐角α 谢谢欣赏 THANK YOU FOR WATCHING $