精品解析：江苏省赣榆高级中学2025-2026学年高一下学期3月阶段检测数学试题

江苏省赣榆高级中学高一数学三 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，可得，解得. 2. 已知平面向量，是单位向量，则“，是相等向量”是“，的方向相同”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据单位向量及相等向量的定义和性质，结合充分、必要性的定义判断条件间的关系. 【详解】若，则的方向必相同，充分性成立， 若的方向相同，又是单位向量，则，必要性成立， 所以“是相等向量”是“的方向相同”的充要条件. 故选：A 3. 已知，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角关系以及两角和的正切公式计算可得结果. 【详解】由可得，解得； 则. 4. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基底表示即可得解. 【详解】因为，所以， 则， 因为，所以，即， 则. 5. 已知，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式求出，再根据同角三角函数关系求出，利用两角和的余弦公式即可求解. 【详解】因为，， 所以，， 又因为， 所以，， 所以. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式整理可得，结合余弦函数单调性分析判断即可. 【详解】因为， 又因为，则， 所以. 7. 已知角满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用积化和差公式得到，代入求值即可. 【详解】， 由积化和差得， 即， 故，解得. 故选：C 8. 已知梯形中，，，点为边上的动点，若，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，应用向量的夹角公式计算最后结合值域求解． 【详解】以的中点为原点，如图所示建立平面直角坐标系，则 ，， 设，则，， ， 令，则， ，可得. 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量满足，，则（ ） A. 与的夹角为 B. 与的夹角为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律，求出向量与的夹角即可判断A、B，再根据向量模的计算公式及向量垂直的性质判断C、D即可. 【详解】设与的夹角为， 由得， 将代入得，∴， 又，∴，故A正确，B错误; ，故C正确; ，故，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知向量，则下列结论正确的是（    ） A. B. 的单位向量为 C. 若，则实数的值为 D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用向量的模的坐标公式计算即得；对于B，利用单位向量的定义计算可判断；对于C，利用向量共线的坐标表示列方程求解判断；对于D，利用两向量夹角为锐角的充要条件列方程组求解可判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，与共线的单位向量，故B错误； 对于C，因，则， ，由可得， 解得，故C正确； 对于D，因，则， 由与的夹角为锐角，可得：，解得且，故D错误. 故选：AC. 11. 已知，则下列说法中正确的是（ ）． A. 函数的最小正周期为 B. 函数在上单调递减 C. 是函数图象的一个对称中心 D. 函数的图象可以由函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到 【答案】AB 【解析】 【分析】化简函数，根据三角函数的性质判断选项. 【详解】 ， ，选项A正确； ，令，在单调递减， 所以在上单调递减，选项B正确； ，所以函数图象的对称中心为， 选项C错误； 函数图象上各点的横坐标不变， 纵坐标伸长为原来的2倍得到，选项D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】对题设条件平方并结合倍角公式即可计算求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 13. 已知向量，向量在上的投影向量的坐标为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用在上的投影向量的表达式化简求解可得. 【详解】由，得， 则向量在上的投影向量为， 则，所以. 故答案为：. 14. 如图，函数的图象与它在原点右侧的第二条对称轴交于点是图象在原点左侧与轴的第一个交点，点在图象上，，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】设函数的最小正周期，，，由三角函数的图象与性质可得，由平面向量的知识可得，代入即可得，再由平面向量的数量积可得，即可得解. 【详解】设函数的最小正周期，，， 所以，结合函数的图象可得，， 则. 设，则，， 所以， 所以， 所以， 则，. 由可得，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 已知点，，. （1）若，求的值； （2）若，其中为坐标原点，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】1.根据向量的坐标运算，求出，，再根据，由向量的模长公式及同角三角函数的基本关系即可求解. 2. 由向量数量积的坐标运算及同角三角函数的基本关系即可求解. 【小问1详解】 由题意可得：，， 因为 所以， 化简得， 所以. 【小问2详解】 由题意可得：，， 所以， 得：. 16. 已知函数的最大值为. （1）求函数的最小正周期和常数的值； （2）求函数的单调递减区间； （3）求使成立的的取值集合. 【答案】（1）最小正周期为；. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式展开，再利用辅助角公式化简为的形式，最后根据三角函数的性质即可求解； （2）利用正弦函数的单调性求解即可； （3）利用整体思想，借助三角函数的图象与性质即可解不等式. 【小问1详解】 ， 此时函数的最小正周期， 因为的最大值为，且函数的最大值为，所以， 解得. 【小问2详解】 由（1）可知， 由， 解得， 所以函数的单调递减区间为. 【小问3详解】 由，得， 即，所以， 解得， 因此，满足的的取值集合为. 17. 在中，，，，． （1）用表示； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算即可得解； （2）先利用向量的垂直关系可得，再利用向量的平方运算等于模的平方来求模长. 【小问1详解】 因为，所以，则， 因为，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 因为， ， 因为，所以，即，即； 由得，， 即， 再由得：； ， 由得：， 又因为， 所以，所以． 18. 设常数R，函数. （1）若为偶函数，求的值； （2）若，求方程在区间上的解； （3）若函数在区间上存在最大值，求出正实数的取值范围. 【答案】（1） （2），，， （3） 【解析】 【分析】（1）由偶函数计算可得； （2）由计算的值，再根据三角函数解方程； （3）辅助角公式化为，根据在区间上存在最大值判断的取值范围，从而求解. 【小问1详解】 ∵为偶函数， ∴恒成立， 即恒成立， 所以恒成立∴. 【小问2详解】 ∵，∴， 即，∴， ∴， 由，得， ∵，∴ ∴或或或， 所以，，，. 【小问3详解】 其中 时，， 要使函数在区间存在最大值， 须使 ， 即，又 ， 所以解得. 19. 以下是人教A版高中数学必修第一册教材中的一道习题： 证明：． 为了将该问题进行拓展探究，定义函数．例如，方程可表示为． （1）求函数的单调递减区间； （2）求不等式的解集； （3）是否存在正数，对于任意，关于的方程在区间至少有三个不同实数根？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，且的最小值为 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合正弦型函数的单调性可得出函数的单调递减区间； （2）由已知条件得出，化简得出，分、两种情况求解，结合正弦型函数的基本性质可得出原不等式的解集； （3）假设存在正数满足题设条件，根据，可得出，于是得出①，或②，然后讨论这两个方程解的情况，分类求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 令，解得， 又的定义域为， 所以的单调递减区间为． 【小问2详解】 因为，且， 所以，所以， 所以，即． （i）当时，其中、， 即，解得． （ii）当时，即， 得，其中、， 解得． 综上，原不等式的解集为或. 【小问3详解】 假设存在正数，对于任意，关于的方程在区间至少有三个不同实数根． 因为，所以， 所以， 所以①，或②． 对于方程①， 若，则，方程①不成立， 所以，所以对于任意恒成立，所以， 所以． 对于方程②， （i）若，则， 当为奇数，，方程②无解． （ii）若，则对于任意，所以，所以． （iii）若，则对于任意，所以， 所以． （iv）若，则， 所以且， 所以， 因此方程②无解． 综上，原方程的解为或或． 所以存在，对于任意，关于的方程在区间至少有三个不同实数根，正数的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省赣榆高级中学高一数学三 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 2. 已知平面向量，是单位向量，则“，是相等向量”是“，的方向相同”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知角满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知梯形中，，，点为边上的动点，若，则的范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量满足，，则（ ） A. 与的夹角为 B. 与的夹角为 C. D. 10. 已知向量，则下列结论正确的是（    ） A. B. 的单位向量为 C. 若，则实数的值为 D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 11. 已知，则下列说法中正确的是（ ）． A. 函数的最小正周期为 B. 函数在上单调递减 C. 是函数图象的一个对称中心 D. 函数的图象可以由函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的值为______. 13. 已知向量，向量在上的投影向量的坐标为，则______. 14. 如图，函数的图象与它在原点右侧的第二条对称轴交于点是图象在原点左侧与轴的第一个交点，点在图象上，，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 已知点，，. （1）若，求的值； （2）若，其中为坐标原点，求的值. 16. 已知函数的最大值为. （1）求函数的最小正周期和常数的值； （2）求函数的单调递减区间； （3）求使成立的的取值集合. 17. 在中，，，，． （1）用表示； （2）若，求． 18. 设常数R，函数. （1）若为偶函数，求的值； （2）若，求方程在区间上的解； （3）若函数在区间上存在最大值，求出正实数的取值范围. 19. 以下是人教A版高中数学必修第一册教材中的一道习题： 证明：． 为了将该问题进行拓展探究，定义函数．例如，方程可表示为． （1）求函数的单调递减区间； （2）求不等式的解集； （3）是否存在正数，对于任意，关于的方程在区间至少有三个不同实数根？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $