精品解析：江西师范大学附属中学、南昌启华双语学校2026-2027学年高二上学期10月限时训练数学试题

高二数学限时训练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为. 2. 若圆（）经过坐标原点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】若圆经过坐标原点， 则，又，所以. 3. 过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】依题意可设所求直线的方程为， 将点的坐标代入，得，解得， 故所求直线的方程为. 4. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】B 【解析】 【分析】根据两圆圆心距与半径之间的数量关系即可判断两圆的位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径. 因为，即， 所以圆与圆的位置关系是相交. 5. 一条光线从点射出，与轴交于点，经轴反射，则反射光线经过的点的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到点关于轴对称的点为，利用反射光线经过点和点即可求解. 【详解】 如图所示，点关于轴对称的点为， 因为反射光线同时经过点和点，且，所以反射光线所在直线的方程为，即， 所以反射光线经过的点的坐标为，故反射光线经过的点的坐标可以为，故A正确. 6. 若直线：经过点，则与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为（ ） A. 144 B. 240 C. 288 D. 576 【答案】C 【解析】 【分析】将点代入截距式得到等式，写出三角形面积表达式，用基本不等式求面积最小值. 【详解】依题意可得，当且仅当时，等号成立， 则，则所求三角形面积，其最小值为288. 7. 若圆上到直线的距离为3的点仅有2个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知圆心到直线的距离满足，求出的取值范围即可. 【详解】圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离， 依题意可得，即，解得. 8. 设为直线：上的动点，为直线：上的动点，是线段的中点，点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到点在平行于的直线上，且到的距离相等，根据平行线的距离公式得到所在的直线，最后利用点到直线的距离即可求解. 【详解】 如图所示，点在与之间，且到这两条直线的距离相等，所以点在平行于这两条直线的直线上， 设该直线的方程为，则，解得， 故的最小值为点到直线的距离，即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若直线与直线平行，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用两直线平行的系数关系列式，求出参数后要检验，排除使直线方程不成立或两直线重合的情况. 【详解】因为直线与直线平行，所以，解得或. 当时，即为，这显然不成立，所以.经检验，符合题意. 10. 在同一平面直角坐标系中，方程与表示的图形可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】直线的斜率为，纵截距为，圆的圆心坐标为，半径为. 对于D，图中的直线的倾斜角为锐角，则，所以点在轴的正半轴上，排除D. 当时，直线与圆的图形是A对应的图形； 当，时，直线与圆的图形是B对应的图形； 当时，直线与圆的图形是C对应的图形. 11. 若为曲线：上任意一点，直线（）与的交点为，，，，记，，，的横坐标之和为，横坐标之积为，则（ ） A. 的最大值为 B. C. 的最小值为 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用两圆的半径直接确定曲线上点纵坐标的最大值，判断选项A；把直线分别代入两圆方程，用韦达定理求横坐标之和，化简后结合判断范围，判断选项B；把横坐标之积换元为二次函数，求最小值并与选项数值比对，判断选项C；根据已知表达式列不等式，整理因式分解求解的范围，判断选项D． 【详解】由，得， 则或， 所以由圆：与圆：组成， 则的最大值为2，A正确； 直线过定点，由图可知， 当时，直线与圆有两个交点，与圆也有两个交点， 且这些交点没有重合， 将代入，得， 设该方程的两个根为，，则，， 将代入，得， 设该方程的两个根为，，则，， ，B正确； 设，则， 当时，取得最小值，且最小值为，C错误； 当时，，解得，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线:在轴上的截距为________． 【答案】 【解析】 【详解】由，得，所以在轴上的截距为. 13. 某圆拱形桥一孔圆拱的示意图如图所示．圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，则支柱的高度约为________．（参考数据：取） 【答案】3.15 【解析】 【分析】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立如图所示的平面直角坐标系，写出和的坐标，设圆心坐标是，圆的半径是，则圆的方程是.将和的坐标代入圆的方程，通过计算求出，从而得到圆的方程，将点的横坐标代入圆的方程求出点的纵坐标，从而得到的高度. 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，. 设圆心坐标是，圆的半径是，则圆的方程是. 因为，两点都在圆上，所以，解得， 则圆的方程是， 将点的横坐标代入圆的方程，得， 其中的纵坐标， 则 ， 故支柱的高度约为. 14. 函数的值域为________． 【答案】 【解析】 【分析】将函数转化为上半圆上的动点与定点连线的斜率，通过圆心到直线的距离求切线斜率得到最大值，结合图象中端点趋势确定值域． 【详解】因为，且，所以. 设点，，则是直线的斜率， 是圆：的上半部分的动点，当直线与圆的上半部分相切时， 设其斜率为，则直线的方程为，即0， 当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离为２，即，解得， 结合图形可知直线的斜率的取值范围是，故的值域为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点，，． （1）求直线的斜截式方程； （2）若，，三点共线，求的值； （3）若，求中边上的中线所在直线的方程，并将其化成一般式． 【答案】（1） （2）5 （3）. 【解析】 【分析】（1）首先根据两点坐标求直线斜率，再代入点斜式方程整理为斜截式即可； （2）利用点C在直线上，将C点坐标代入方程求解； （3）首先利用中点坐标公式求出AB边的中点坐标，再根据两点坐标求该直线的斜率，写出点斜式方程后整理为一般式即可. 【小问1详解】 因为， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 若，，三点共线，则点在直线上， 所以点的坐标满足方程，则. 【小问3详解】 由题意得线段的中点为. 若，则，则， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. 16. 已知点关于直线对称的点为． （1）求点的坐标； （2）若直线与以线段为直径的圆相切，求的值． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】(1)抓住两点，连线和对称轴垂直、中点在对称轴上，列方程组求解;(2)圆心到直线距离等于半径，用点到直线距离公式列方程. 【小问1详解】 设.因为直线的斜率为，所以， 所以，即. 因为线段的中点在直线上， 所以，即， 又，解得，，所以点的坐标为. 【小问2详解】 线段的中点坐标为，即. 因为， 所以圆的半径为. 因为直线与以线段为直径的圆相切， 所以圆心到直线的距离， 解得. 17. 已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，底边的另一个端点的轨迹记为． （1）求的方程． （2）设点满足． （ⅰ）求点的轨迹． （ⅱ）试问点是否可能在上？说明你的理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）点的轨迹是圆心为，半径的圆. （ii）点在圆心为，半径的圆上，记点的轨迹为圆. ， ，， 因为，所以圆与圆相交. 由， 得圆与圆的公共弦所在直线的方程为， 因为不经过点和点， 且点和点的坐标均不满足方程， 则点可能在上. 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形结合两点间距离公式得到，则在以为圆心，为半径的圆上，利用圆的标准方程得到的方程，由点不在直线上得到点的限制条件，从而得到结论. （2）（i）设.由利用两点间的距离公式得到点的轨迹方程；（ii）记点的轨迹为圆，利用两点间的距离公式求出，求出，，利用得到圆与圆相交，通过联立方程组得到圆与圆的公共弦所在直线的方程，由不经过点和点得到点和点的坐标均不满足方程，从而得到结论. 【小问1详解】 因为等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为， 所以， 则在以为圆心，为半径的圆上，且点不在直线上. 因为直线的方程为， 所以的方程为. 【小问2详解】 （i）设.由，得， 即，整理得， 所以点的轨迹方程为， 所以点的轨迹是圆心为，半径的圆. （ii） 略 【注】第（1）问中，的方程还可以写为 （，且，）. 18. （1）已知为任意实数，当变化时，方程表示什么图形？该图形有何特征？ （2）已知直线，其中、均为任意实数，． （i）证明：直线过定点； （ii）过点作直线，使得，且，过作的垂线，垂足为，求的面积的最大值． 【答案】（1）方程表示过定点的所有直线（不包含直线）. （2）（i）证明：的方程可化为. 由得，所以过定点. （ii） 【解析】 【分析】对于（1），因为方程是过两定直线交点的直线系形式，所以先求两条定直线的交点，再分析λ变化时方程对应的图形及恒过该交点的特征； 对于（2）（Ⅰ），将方程按、整理为合并同类项的形式，令、的系数和常数项分别为，解方程组得到定点坐标； 对于（2）（Ⅱ），先写出直角三角形的面积，求出到的距离，求出面积的最大值. 【详解】方程即为， 因为与不能同时为， 所以方程表示一条直线. 由得，所以该直线过定点， 无论取何值，都不成立， 所以直线不能与直线重合， 所以方程表示过定点的所有直线（不包含直线）. （2）（i）略 （ii）设到的距离为，即. 由题意得的面积. 因为恒过定点，且， 所以，当且仅当与垂直时取到，因此面积最大值 19. 设是圆外一点，过点作圆的切线，切点为，，，则称点与圆的张角为．已知圆的半径为2，圆心为，点． （1）求点与圆的张角． （2）当取得最小值时，求点与圆的张角的余弦值． （3）将圆向右平移两个单位长度后得到圆． （Ⅰ）求圆上一点的坐标，使得该点与圆的张角为； （Ⅱ）过点的直线与圆交于，两点，，两点都不在轴上，证明：直线与的交点在一条定直线上． 【答案】（1） （2） （3）（Ⅰ）或. （Ⅱ）证明：由题意知直线的斜率不为0，设直线的方程为，，. 将代入圆的方程，得， 由韦达定理得，，，则. 直线的方程为， 直线的方程为， 联立，得， 将代入，得，则. 故直线与的交点在定直线上. 【解析】 【分析】（1）利用切线垂直半径构造直角三角形，由三角函数求出半张角，两倍得到张角； （2）用表示切线长与张角，把数量积转化为关于的函数，均值不等式求最小值，回代求； （3）（Ⅰ）利用张角定义求出点到圆心Q的距离，联立两个圆方程解交点坐标； （Ⅱ）设直线，联立圆得到韦达关系，写出两条直线方程，两式相除消元，代入韦达化简求出交点横坐标为定值. 【小问1详解】 过点作圆的切线，切点为，，则，， 在中，，则， 则，则点与圆的张角为. 【小问2详解】 设点到圆心的距离为，点与圆的张角为. 因为，， 所以， 所以. 由点在圆外，得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则， 故当取得最小值时，点与圆的张角的余弦值为. 【小问3详解】 （I）圆的方程为. 设圆上所求的点为，则，① 由点与圆的张角为，得， 因为，所以，② 由①和②，解得，， 则所求点的坐标为或. （Ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学限时训练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若圆（）经过坐标原点，则（ ） A. B. C. D. 3. 过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离 5. 一条光线从点射出，与轴交于点，经轴反射，则反射光线经过的点的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 6. 若直线：经过点，则与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为（ ） A. 144 B. 240 C. 288 D. 576 7. 若圆上到直线的距离为3的点仅有2个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设为直线：上的动点，为直线：上的动点，是线段的中点，点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若直线与直线平行，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 10. 在同一平面直角坐标系中，方程与表示的图形可能是（ ） A. B. C. D. 11. 若为曲线：上任意一点，直线（）与的交点为，，，，记，，，的横坐标之和为，横坐标之积为，则（ ） A. 的最大值为 B. C. 的最小值为 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线:在轴上的截距为________． 13. 某圆拱形桥一孔圆拱的示意图如图所示．圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，则支柱的高度约为________．（参考数据：取） 14. 函数的值域为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点，，． （1）求直线的斜截式方程； （2）若，，三点共线，求的值； （3）若，求中边上的中线所在直线的方程，并将其化成一般式． 16. 已知点关于直线对称的点为． （1）求点的坐标； （2）若直线与以线段为直径的圆相切，求的值． 17. 已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，底边的另一个端点的轨迹记为． （1）求的方程． （2）设点满足． （ⅰ）求点的轨迹． （ⅱ）试问点是否可能在上？说明你的理由． 18. （1）已知为任意实数，当变化时，方程表示什么图形？该图形有何特征？ （2）已知直线，其中、均为任意实数，． （i）证明：直线过定点； （ii）过点作直线，使得，且，过作的垂线，垂足为，求的面积的最大值． 19. 设是圆外一点，过点作圆的切线，切点为，，，则称点与圆的张角为．已知圆的半径为2，圆心为，点． （1）求点与圆的张角． （2）当取得最小值时，求点与圆的张角的余弦值． （3）将圆向右平移两个单位长度后得到圆． （Ⅰ）求圆上一点的坐标，使得该点与圆的张角为； （Ⅱ）过点的直线与圆交于，两点，，两点都不在轴上，证明：直线与的交点在一条定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $