2026-2027学年人教版九年级数学第一学期10月学情自主监测3（内容：第25章一元二次方程第26章二次函数第27章反比例函数）

2026——2027学年人教版九年级数学第一学期10月学情自主监测3 （内容：第25章一元二次方程第26章二次函数第27章反比例函数） 一、单选题(共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．抛物线的开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而增大 D．抛物线的顶点坐标是 3．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 4．已知点，点，点在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．直角坐标平面上将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（   ） A． B． C． D． 6．二次函数的自变量与函数值的部分对应值如表所示，设方程的一个根为m，则m的取值范围可能是（     ） x … 1 … y … … A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，下列结论中正确的是（     ） A． B．若，则 C． D．若，则 8．某厂家某种产品2026年1至5月份的产量统计图如图所示．设从2月份到4月份该厂家这种产品产量的月平均增长率为，根据题意可列方程（     ） A． B． C． D． 9．在同一坐标系内，函数和的图象大致为（     ） A．B．C．D． 10．如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线 ，与x轴交于两点，与y轴交于点．则下列结论正确的是（     ） A． B． C．当时，y随x的增大而减小 D． 二、填空题(共5小题，每小题4分，共20分） 11．若，是方程的两个根，则________． 12．若抛物线的对称轴为y轴，那么a的值是____． 13．如图，在平面直角坐标系中，点，均在反比例函数的图象上，且，则的值为________． 14．化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_________名同学． 15．如图，四边形中的两条对角线，互相垂直，，当为______时．四边形的面积最大． 三、解答题 16．解方程： (1)； (2)． 17．抛物线与x轴的一个交点为，对称轴是直线． (1)抛物线解析式为______，与x轴的另一个交点坐标为______； (2)在平面直角坐标系中二次函数的图象； (3)当时，x的取值范围为______． 18．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点． (1)求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点的坐标； (2)求的面积． 19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时，x的取值范围； (3)分别连接和，求的面积． 四、解答题二(本大题共3小题，第20题12分，第21题12分，第22题14分，共38分） 20．如图是抛物线形的拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米． (1)建立平面直角坐标系，求此抛物线的解析式； (2)当水面下降3米时，求水面宽增加了多少米？ 21．小林是一名羽毛球运动爱好者，喜欢运用数学知识对羽毛球线路进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网高，球网与y轴的水平距离，球场的边界C点距离O点，击球点在y轴上．进行羽毛球训练时，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系． (1)当羽毛球的飞行的最大高度时； ①求y与x的关系式； ②羽毛球能否越过球网？请说明理由； (2)若羽毛球一定能越过球网，又不出边界（不含边界），求a的取值范围． 22．如图，已知抛物线经过，两点． (1)求的值． (2)若点为抛物线上一动点，的面积为8时，求点的坐标． (3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出使为直角三角形的点的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026——2027学年人教版九年级数学第一学期10月学情自主监测3 （内容：第25章一元二次方程第26章二次函数第27章反比例函数） 一、单选题(共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．含分式，不是整式方程，故不是一元二次方程，故A不符合题意． B．方程仅含未知数，且最高次数为2，是整式方程，符合定义，是一元二次方程，故B符合题意． C．方程含两个未知数和，不是一元方程，故C不符合题意． D．方程含两个未知数和，不是一元方程，故D不符合题意． 2．关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．抛物线的开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而增大 D．抛物线的顶点坐标是 【答案】D 【详解】解：对于二次函数， A．，则开口向下，故选项A错误，不符合题意； B． 对称轴是直线，故选项B错误，不符合题意； C．当时，y随x的增大而增大，故选项C错误，不符合题意； D．顶点坐标为，故选项D正确，符合题意， 故选：D． 3．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】C 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 4．已知点，点，点在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点，点，点在反比例函数的图象上， ，，， ， ． 故选：． 5．直角坐标平面上将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位， 平移后的解析式为， 其顶点坐标为． 故选：D． 6．二次函数的自变量与函数值的部分对应值如表所示，设方程的一个根为m，则m的取值范围可能是（     ） x … 1 … y … … A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，， 当时，， 在到之间，函数值由负变正， 故方程的一个根m在至的范围内． 7．在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，下列结论中正确的是（     ） A． B．若，则 C． D．若，则 【答案】C 【详解】解：∵在双曲线上， ∴，即；故选项A错误． ∵，在直线上， ∴，，两式相加得，即； 两式相减得，即； ∵b恒为0，与的取值无关，故选项B错误． ， ∵，， ∴， 即，故选项C正确． 由，得，则， 故在第二象限，在第四象限， ∴直线过原点且经过二、四象限， 观察函数图象，直线在双曲线上方时，x的取值范围是或，故选项D错误． 8．某厂家某种产品2026年1至5月份的产量统计图如图所示．设从2月份到4月份该厂家这种产品产量的月平均增长率为，根据题意可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意可得． 9．在同一坐标系内，函数和的图象大致为（     ） A．B．C．D． 【答案】D 【详解】解：根据题意， 当时，函数开口向上，顶点在原点；而函数的图象应该是随着的增大而增大，并且过点，即图象应该过第一、二、三象限； 当时，函数开口向下，顶点在原点；而函数的图象应该是随着的增大而减小，并且过点，即图象应该过第一、二、四象限； 分析选项可得，只有D选项符合题意． 10．如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线 ，与x轴交于两点，与y轴交于点．则下列结论正确的是（     ） A． B． C．当时，y随x的增大而减小 D． 【答案】C 【详解】二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，与x轴交于两点，与y轴交于点， ∴， 解得， ∴，A选项错误； ，B选项错误； ∵， ∴二次函数图象开口向上， ∵对称轴， ∴时，y随x增大而减小，C选项正确； ，D选项错误． 二、填空题(共5小题，每小题4分，共20分） 11．若，是方程的两个根，则________． 【答案】 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴． 12．若抛物线的对称轴为y轴，那么a的值是____． 【答案】 【详解】解：二次项系数，一次项系数． ∵对称轴为y轴，即， ∴， 解得． 故答案为． 13．如图，在平面直角坐标系中，点，均在反比例函数的图象上，且，则的值为________． 【答案】 【详解】解：点，在反比例函数的图象上， ，， ， ， ∴ 解得， 反比例函数图象在第一象限， ， ． 14．化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_________名同学． 【答案】6 【详解】解：设1人每次能手把手教会x名同学．由题意，得， 解得：（不合题意，舍去）， ∴1人每次能手把手教会6名同学． 故答案为：6． 15．如图，四边形中的两条对角线，互相垂直，，当为______时．四边形的面积最大． 【答案】 【分析】根据已知设四边形面积为，为，则，进而求出，再求出最值即可． 【详解】解：设，四边形面积为，则， 则：， ， 有最大值， 当时，四边形的面积最大， 即当时，四边形面积最大， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知正确得出二次函数关系是解题关键． 三、解答题 16．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ∴或， ∴，； （2）解：，其中，，， ∴， ∴， ∴，． 17．抛物线与x轴的一个交点为，对称轴是直线． (1)抛物线解析式为______，与x轴的另一个交点坐标为______； (2)在平面直角坐标系中二次函数的图象； (3)当时，x的取值范围为______． 【答案】(1)； (2) 画出此图象如图： (3)或 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴的一个交点为，对称轴是直线， ∴抛物线与x轴另一个交点坐标为， 把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； 故答案为； （2）解：∵， ∴顶点为 （3）解：由图象可知：当时，x的取值范围为或． 故答案为：或 18．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点． (1)求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）将、代入解析式，得 ， 解得： ∴抛物线解析式为， ∵， ∴顶点． （2）如图，过点作轴交轴于点，则， ． ∴的面积为． 19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时，x的取值范围； (3)分别连接和，求的面积． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【详解】（1）解：将点代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为： ，点， 将代入， 得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：一次函数与反比例函数交于点， 根据一次函数和反比例函数的图象得：当时，x的取值范围是：或； （3）解：设一次函数与x轴交于点D，与y轴交于点C，过点A作轴于E，过点B作轴于F，如图所示： 对于，当时，，当时，， ∴D的坐标为，点C的坐标为， ， ， 点，， ， ，， ． 四、解答题二(本大题共3小题，第20题12分，第21题12分，第22题14分，共38分） 20．如图是抛物线形的拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米． (1)建立平面直角坐标系，求此抛物线的解析式； (2)当水面下降3米时，求水面宽增加了多少米？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图，以拱顶为原点建立直角坐标系， 可设这条抛物线为， 结合题意，将点代入，得， 解得， ∴， （2）若水面下降3米，即当时，可有，解得， 此时水面宽度为米， ∴水面下降3米，水面宽度增加米． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式及二次函数的实际应用，解题关键是正确建立坐标系，熟练运用二次函数解决实际问题． 21．小林是一名羽毛球运动爱好者，喜欢运用数学知识对羽毛球线路进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网高，球网与y轴的水平距离，球场的边界C点距离O点，击球点在y轴上．进行羽毛球训练时，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系． (1)当羽毛球的飞行的最大高度时； ①求y与x的关系式； ②羽毛球能否越过球网？请说明理由； (2)若羽毛球一定能越过球网，又不出边界（不含边界），求a的取值范围． 【答案】(1)①； ②不能过网，理由： 当时，， 不能过网； (2)． 【详解】（1）解：①当羽毛球的飞行的最大高度时，， 代入点得：， 解得， ； ②略 （2）解：把代入中得，， ， ， 当时， ， 当时， ， ． 22．如图，已知抛物线经过，两点． (1)求的值． (2)若点为抛物线上一动点，的面积为8时，求点的坐标． (3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出使为直角三角形的点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或或； (3)点的坐标为或或或 【详解】（1）解：把，代入中得： ， 解得，； （2）解：由（1）知，， 设点， ∵，， ， 的面积为8， ， 当时，，即， 解得， ∴点的坐标为； 当时，，即， 解得，，， ∴点的坐标为或， 综上，点的坐标为或或； （3）解：抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴, 设， ， ，， ， 当时，则， ， 解得：， 点的坐标为或； 当时，则， ， 解得：， 点的坐标为； 当时，则， ， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，存在这样的点，使得为直角三角形，点的坐标为或或或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $