2026—2027学年人教版九年级数学第一学期10月学情自主监测（内容：第25章一元二次方程第26章二次函数第27章反比例函数）

2026——2027学年人教版九年级数学第一学期10月学情自主监测 （内容：第25章一元二次方程第26章二次函数第27章反比例函数） 一、单选题(共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、中自变量最高次数为1，不是二次函数，故选项不符合题意； B、，自变量最高次数为2且二次项系数不为0，是二次函数，故选项符合题意； C、，化简后自变量最高次数为1，不是二次函数，故选项不符合题意； D、的右边不是整式，不是二次函数，故选项不符合题意． 2．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长为（     ） A．9 B．10 C．9或12 D．12 【答案】D 【详解】解：， ， 或， 解得，； 当腰长为，底边长为时，由，满足三角形三边关系，故周长为； 当腰长为，底边长为时，由，不满足三角形三边关系，舍去． 3．已知是关于的一元二次方程，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， 解得． 4．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．图象位于第二、四象限 C．图象经过点 D．当时，随的增大而增大 【答案】A 【详解】解：∵反比例函数中， ∴图象位于第一、三象限，故B错误． ∵时，在每个象限内随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，A正确； 当时，随的增大而减小，D错误． ∵当时，， ∴图象不经过点，故C错误． 5．如图，反比例函数（）经过菱形的顶点，已知该菱形的周长为20，面积为20，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点B作轴于点， ∵菱形的周长为20， ∴， ∵菱形的面积为20， ∴， 解得， 在中，， 由图可知，点B在第二象限，A在轴负半轴，且点B在点A的左侧， ∴， ∴， ∴反比例函数（）经过点， ∴. 6．若 ， 是方程 的两个根，则 的值为（     ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】D 【详解】解：∵a，b是方程的两个根， ∴，， ∴， ∴． 7．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的， ∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误； 当时，二次函数开口向上，一次函数必经过一、三象限，故C选项错误； 当时，二次函数开口向下，一次函数必经过二、四象限，故A选项错误，D选项正确． 8．某厂一月份生产产品50台，计划一、二、三月份共生产产品200台，设二、三月份平均每月增长率为x，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设二、三月份平均每月增长率为， ∵一月份生产产品50台， ∴二月份产量为台，三月份产量为台， ∵一、二、三月份共生产200台， ∴可列方程. 9．南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长及阔各几步”译文：一块矩形田地的面积是864平方步，它的长和宽共60步，问它的长和宽各是多少步？设这块矩形田地的长为x步，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意设这块矩形田地的长为x步，则宽为步， 依题意得． 故选A． 10．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且图象经过点，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．若且，则 D．若，两点都在抛物线上，则 【答案】C 【详解】解：由函数图象可知，抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∴，则选项A错误； ∵这个二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，则选项B错误； ∵且， ∴， ∴和关于对称轴直线对称， ∴， ∴，则选项C正确； ∵抛物线的开口向下，其对称轴为直线， ∴当时的函数值与当时的函数值相等；且当时，随的增大而减小， ∵点在抛物线上， ∴点也在抛物线上， 又∵点在抛物线上，且， ∴，则选项D错误． 二、填空题(共5小题，每小题4分，共20分） 11．关于x的一元二次方程 有一根为0，则________． 【答案】 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即， ∵方程有一个根为， ∴将代入原方程得：， 解得或， ∵， ∴． 12．某饮水机开机后即开始烧水，当水温到时自动停止加热，随后水温逐渐下降，根据此过程绘制了水温y（单位：）随时间x（单位：）变化的大致图象（由线段与双曲线一部分组成），如图所示．则该饮水机开始烧水后水温始终保持在以上的时间为________分钟． 【答案】 【详解】解：设直线解析式为：，则， 解得：， ∴温度上升段（）的解析式为：， 当时，即， 解得； 设反比例函数的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 故温度下降段（段）函数表达式： 当时，即， 解得； 则该饮水机开始烧水后水温始终保持在以上的时间为（分钟）， 故答案为：． 13．如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是______． 【答案】 【详解】解：， ， 观察图象可知当，时，． 在交点之间时，一次函数的图象在抛物线下方，即， 所以不等式的解集是． 14．运动会上，某运动员掷铅球时，所掷的铅球的高度与水平距离之间的函数关系式为，则该运动员的成绩是________米． 【答案】10 【详解】解：令，得， 整理得， 解得，（舍）． 所以该运动员此次投掷铅球的成绩是10米． 15．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移个单位，再向左平移个单位，所得函数表达式为_________． 【答案】 【详解】解：∵原二次函数解析式为， ∴先将图象向左平移个单位，对自变量按照左加右减调整， 得到； 再将所得图象向下平移个单位，对常数项按照上加下减调整， ∴得到． 三、解答题一(本大题共4小题，每小题8分，共32分） 16．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 17．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，该方程总有实数根； (2)若该方程有一个根为3，求k的值及方程的另一个根． 【答案】(1)证明：∵， ∴ ∵， ∴． ∴无论k取何值，该方程总有实数根． (2)k的值为3，方程的另一个根为2 【详解】（1）略 （2）解：把代入方程，得， 解得， ∴方程为， ∴， 解得或， ∴方程的另一个根为2. 18．如图，直线（k，b为常数）与双曲线（m为常数）相交于，两点． (1)求双曲线与直线的解析式； (2)请直接写出关于x的不等式的解集； (3)连结，，试求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【详解】（1）解：将点代入双曲线解析式， ∴， ∴双曲线为， 又∵在双曲线上， ∴， ∴， 将A、B代入一次函数解析式得， ∴． ∴直线的解析式为． （2）解：依据图象，即一次函数值大于反比例函数值， ∵，， ∴不等式的解集为：或． （3）解：设一次函数与y轴交于C点， ∴，， ∵可以看成由底均为的、组成， ∴． 19．如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动．当点到达点时，两点同时停止运动． (1)出发几秒时的面积为？ (2)出发几秒时的长度为？ (3)的面积能为吗？若能，求出时间，若不能，说明理由？ 【答案】(1)秒 (2)秒 (3)解：不能． 理由如下： 设出发秒时的面积为，则、， 在矩形中，，则， ， 即， ， 一元二次方程无实数解， 即的面积不能为． 【详解】（1）解：由题意可知，点走完所花时间为；点走完所花时间为； 两点同时停止运动的时间为， 设出发秒时的面积为，则、， 在矩形中，，则， ， 即， ，解得或（，舍去）， 即出发秒时的面积为； （2）解：设出发秒时的长度为，则、， 在矩形中，，则， 在中，由勾股定理可得，则， ，即， 解得或（不合题意，舍去）， 即出发秒时的长度为； （3）略 四、解答题二(本大题共3小题，第20题12分，第21题12分，第22题14分，共38分） 20．某公司利用互联网技术，销售一批成本为30元/箱的精品水果，按销售单价不低于成本价，且不高于60元/箱销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（箱）与销售单价x（元/箱）之间的关系如图所示． (1)请求出y与x的函数解析式； (2)设每天的销售利润为w元，销售单价定为多少元/箱时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)销售单价定为元/箱时，才能使销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为元 【详解】（1）解：设该商品每天的销售量与销售单价之间的关系为 由图可得： 解得： 该商品每天的销售量与销售单价之间的关系为， 销售单价不低于成本价，且不高于元/箱销售， ， 与的函数解析式为； （2）由（1）得该商品每天的销售量与销售单价之间的关系为， ∴每天的销售利润为， ∴， ，， 当时，每天获得的利润最大，最大利润是元， 答：销售单价定为元/箱时，每天获得的利润最大，最大利润是元． 21．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽． (1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 【答案】(1) (2)如果该船的速度不变，能安全通过此桥 【详解】（1）解：设函数解析式为，设桥拱最高点到水面的距离为米，，， 则，， 代入，得， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：能，理由如下， 由题意得，船行驶到桥下的时间为小时， 水位上升的高度为米， ， 该船的速度不变，能安全通过此桥． 22．如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，经过 、 两点的抛物线 与 轴的另一交点为 ． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点 是该抛物线上的动点，过点 作垂直 轴的直线，交轴于点 ，交 于点 ，设点 的横坐标为 （）． ①当 时，求点 的坐标； ②当 为以 为腰的等腰三角形时，直接写出满足条件的 的值． 【答案】(1) (2)①；②或． 【详解】（1）解：直线与轴，轴的交点坐标分别为、， 抛物线与轴的另一交点为， 设所求抛物线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得， 所求抛物线的函数表达式为，即； （2）解：①，则， ，， 当时，， 解得：或（与重合，舍去）， 当时，， 故； ②∵， ∴ 由①得， 以为腰，分两种情况讨论： 当时，， 解得或（舍； 当时，过点作交于，则为的中点，即，如图1， 解得或（舍）； 综上所述：满足条件的的值为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026——2027学年人教版九年级数学第一学期10月学情自主监测 （内容：第25章一元二次方程第26章二次函数第27章反比例函数） 一、单选题(共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长为（     ） A．9 B．10 C．9或12 D．12 3．已知是关于的一元二次方程，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．图象位于第二、四象限 C．图象经过点 D．当时，随的增大而增大 5．如图，反比例函数（）经过菱形的顶点，已知该菱形的周长为20，面积为20，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．若 ， 是方程 的两个根，则 的值为（     ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 7．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 8．某厂一月份生产产品50台，计划一、二、三月份共生产产品200台，设二、三月份平均每月增长率为x，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 9．南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长及阔各几步”译文：一块矩形田地的面积是864平方步，它的长和宽共60步，问它的长和宽各是多少步？设这块矩形田地的长为x步，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 10．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且图象经过点，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．若且，则 D．若，两点都在抛物线上，则 二、填空题(共5小题，每小题4分，共20分） 11．关于x的一元二次方程 有一根为0，则________． 12．某饮水机开机后即开始烧水，当水温到时自动停止加热，随后水温逐渐下降，根据此过程绘制了水温y（单位：）随时间x（单位：）变化的大致图象（由线段与双曲线一部分组成），如图所示．则该饮水机开始烧水后水温始终保持在以上的时间为________分钟． 13．如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是______． 14．运动会上，某运动员掷铅球时，所掷的铅球的高度与水平距离之间的函数关系式为，则该运动员的成绩是________米． 15．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移个单位，再向左平移个单位，所得函数表达式为_________． 三、解答题一(本大题共4小题，每小题8分，共32分） 16．解方程： (1)； (2)． 17．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，该方程总有实数根； (2)若该方程有一个根为3，求k的值及方程的另一个根． 18．如图，直线（k，b为常数）与双曲线（m为常数）相交于，两点． (1)求双曲线与直线的解析式； (2)请直接写出关于x的不等式的解集； (3)连结，，试求的面积． 19．如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动．当点到达点时，两点同时停止运动． (1)出发几秒时的面积为？ (2)出发几秒时的长度为？ (3)的面积能为吗？若能，求出时间，若不能，说明理由？ 四、解答题二(本大题共3小题，第20题12分，第21题12分，第22题14分，共38分） 20．某公司利用互联网技术，销售一批成本为30元/箱的精品水果，按销售单价不低于成本价，且不高于60元/箱销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（箱）与销售单价x（元/箱）之间的关系如图所示． (1)请求出y与x的函数解析式； (2)设每天的销售利润为w元，销售单价定为多少元/箱时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 21．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽． (1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 22．如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，经过 、 两点的抛物线 与 轴的另一交点为 ． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点 是该抛物线上的动点，过点 作垂直 轴的直线，交轴于点 ，交 于点 ，设点 的横坐标为 （）． ①当 时，求点 的坐标； ②当 为以 为腰的等腰三角形时，直接写出满足条件的 的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $