17.2 直角三角形 题型专练 2026-2027学年冀教版八年级数学上册

冀教版（2024）八年级上册 17.2 直角三角形 题型专练 【题型1】直角三角形斜边上中线等于斜边一半 【典例】如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，点D是AB的中点，连接CD，∠B＝30°，则∠ADC的度数为 __________． 【举一反三2】(课本P169习题T2)已知： 如图，在 中， 分别是边 上的高， 是 的中点.求证： 是等腰三角形. 【题型2】含30°角的直角三角形的性质 【典例】如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F．若BP=4，则PF的长（ ） A．2 B．3 C．1 D．8 【举一反三1】如图，是边长为的等边三角形，，Q为射线边上一点，当是直角三角形时，的长为（ ） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，△ABC为等边三角形，DC∥AB，AD⊥CD于D．若△ABC的周长为12，则CD= cm． 【举一反三3】如图，在中，，于点，的平分线交于点. (1)求证：； (2)若，，求的长. 【题型3】等腰直角三角形的性质与判定 【典例】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝10，用尺规作图的方法作线段AD和线段DE，保留作图痕迹如图所示，认真观察作图痕迹，则△BDE的周长是（　　） A．8 B．5 C． D．10 【举一反三1】如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E且AB＝6cm，则△DEB的周长为（　　） A．40cm B．6cm C．8cm D．10cm 【举一反三2】如图，点A，B，C，D均在正方形网格格点上，则 __________ . 【举一反三3】如图，直角坐标系中，点、的坐标分别为，，点在第一象限内，且使为等腰直角三角形，则点的坐标为__________ . 【举一反三4】如图，平面直角坐标系中，正方形的四个顶点都在坐标轴上，直线的解析式为，是边上的一点，连接交于点，的面积等于面积的. (1) 求直线的解析式； (2) 过点作于点，交于点，求点的坐标； (3) 在（2）的条件下，第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由. 【举一反三5】如图，在等腰中，，点M在线段上，点N在的延长线上，且满足，连接，，过点N作于点E，交于点D．记． (1)__________ ．（用含α的式子表示）； (2)判断的形状，并说明理由； (3)在M点运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【题型4】直角三角形的两个锐角互余 【典例】如图，在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，则的长为（ ） A．3 B． C．2 D． 【举一反三1】如图，在锐角中，点是边上一点，于点，若，，则和的数量关系是（ ） A． B． C． D． 【举一反三2】有一道题目：“如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿DE折叠，使得点B落在边AC上的点F处，若∠CFD=60°，且△AEF中有两个内角相等，求∠A的度数．”嘉嘉的答案是∠A=40°，淇淇说：“嘉嘉考虑的不全面，∠A还应该有另外一个值．”下列判断正确的是（　　） A．淇淇说的不对，∠A就是40° B．淇淇说得对，且∠A的另一个值是50° C．淇淇说得对，且∠A的另一个值是55° D．两人都不对，∠A应有三个不同值 【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为AC边上一动点，将△CBD沿着直线BD对折得到△EBD．若∠ABD=15°，则∠ABE的度数为__________. 【举一反三4】点在直线上，与互余，平分平分． (1)若，求的度数； (2)__________ °． 【举一反三5】综合与实践： 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： 如图1，中，，点E外一点，，过B作，垂足分别为．求证：． 独立思考： (1)请证明王老师提出的问题． (2)实践探究： (3)王老师把原题作如下的更改，并提出新问题，请你解答． “如图2，中，，点D是上一点，于E，求证：”． (4)问题解决： (5)数学活动小组同学进一步对上述问题进行研究之后发现： “如图3，中，，点D为上一点，，过点A作，且，连接．若，请直接写出的值为__________．” 冀教版（2024）八年级上册 17.2 直角三角形 题型专练（参考答案） 【题型1】直角三角形斜边上中线等于斜边一半 【典例】如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解析】∵在中，，， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与互余的角是，共有4个， 故选：C. 【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，点D是AB的中点，连接CD，∠B＝30°，则∠ADC的度数为 __________． 【答案】60° 【解析】解：∵在Rt△ABC中，点D是AB的中点， ∴CD＝BD， ∴∠B＝∠BCD＝30°， ∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝60°， 故答案为：60°． 【举一反三2】(课本P169习题T2)已知： 如图，在 中， 分别是边 上的高， 是 的中点.求证： 是等腰三角形. 【答案】证明　(直角 三角形斜边上的中线等于斜边的一半). 同理： . 故 是等腰三角形. 【题型2】含30°角的直角三角形的性质 【典例】如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F．若BP=4，则PF的长（ ） A．2 B．3 C．1 D．8 【答案】A 【解析】解： ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC． ∴∠BAC=∠C． 又∵AD=CE ∴△ABD≌△CAE（SAS）． ∴∠ABD=∠CAE． ∴∠APD=∠ABP+∠PAB=∠BAC=60°． ∴∠BPF=∠APD=60°． ∵ ∠BFP=90°，∠BPF=60°， ∴∠PBF=30°．∴PF=PB=×4=2．故选A． 【举一反三1】如图，是边长为的等边三角形，，Q为射线边上一点，当是直角三角形时，的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】是边长为等边三角形， ，， 如图1，当时， 则， ∴， ∴； 如图2，当时， 则， ∴， ∴. 综上，当的长为或时，是直角三角形. 故选：D. 【举一反三2】如图，△ABC为等边三角形，DC∥AB，AD⊥CD于D．若△ABC的周长为12，则CD= cm． 【答案】2 【解析】∵等边△ABC的周长为12cm，∴AC=12÷3=4cm，∠BAC=60°，∵DC∥AB，∴∠ACD=∠BCA=60°，∵AD⊥CD，∴∠CAD=90°-∠ACD=90°-60°=30°，∴CD=AC=2． 【举一反三3】如图，在中，，于点，的平分线交于点. (1)求证：； (2)若，，求的长. 【答案】(1)∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即， ∴. (2)∵，， ∴，， ∴中，， ∴中，， ∴. 【题型3】等腰直角三角形的性质与判定 【典例】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝10，用尺规作图的方法作线段AD和线段DE，保留作图痕迹如图所示，认真观察作图痕迹，则△BDE的周长是（　　） A．8 B．5 C． D．10 【答案】D 【解析】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠B＝45°， 由尺规作图可知，AD平分∠CAB，DE⊥AB又，∠ACB＝90°， ∴DE＝DC，又∠B＝45°， ∴DE＝BE， ∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝BD+CD+BE＝BC+BE＝AC+BE＝AE+BE＝AB＝10， 故选：D． 【举一反三1】如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E且AB＝6cm，则△DEB的周长为（　　） A．40cm B．6cm C．8cm D．10cm 【答案】B 【解析】解：∵DE⊥AB， ∴∠C＝∠AED＝90°， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD＝∠EAD， 在△ACD和△AED中， ， ∴△ACD≌△AED（AAS）， ∴AC＝AE，CD＝DE， ∴BD+DE＝BD+CD＝BC＝AC＝AE， BD+DE+BE＝AE+BE＝AB＝6， 所以，△DEB的周长为6cm． 故选：B． 【举一反三2】如图，点A，B，C，D均在正方形网格格点上，则 __________ . 【答案】 【解析】如图，作点关于线段的对称点，连接， 由对称可得， 即， 设小正方形的边长为 1 ， 由勾股定理，得， ， 是等腰直角三角形， ∴，即. 故答案为：. 【举一反三3】如图，直角坐标系中，点、的坐标分别为，，点在第一象限内，且使为等腰直角三角形，则点的坐标为__________ . 【答案】、、 【解析】如图所示， ①当为等腰直角三角形时，作轴于点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的坐标为； ②当为等腰直角三角形时，作轴于点， 同①理，证得， ∴，， ∴， ∴的坐标为； ③当为等腰直角三角形时， 此时，为的中点， ∵，， ∴的坐标为； 综上，点的坐标为、、， 故答案为：、、 【举一反三4】如图，平面直角坐标系中，正方形的四个顶点都在坐标轴上，直线的解析式为，是边上的一点，连接交于点，的面积等于面积的. (1) 求直线的解析式； (2) 过点作于点，交于点，求点的坐标； (3) 在（2）的条件下，第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 在中，令，则，令，则， ，， ， 四边形是正方形， ， ， 过作于， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 的面积等于面积的. ， ，， ， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为； (2) 过作于， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； (3) 存在，当，， 过作轴于， ， ， ， ， ， ，， ； 当，， 过作平行于轴的垂线，过作于，过作于，延长交轴于， 则轴， ， 则四边形是矩形， ，， 同理，， ， ， ，， ； 当时，，如图， 这种情况不符合题意， 综上所述，存在点，使为等腰直角三角形，点坐标或. 【举一反三5】如图，在等腰中，，点M在线段上，点N在的延长线上，且满足，连接，，过点N作于点E，交于点D．记． (1)__________ ．（用含α的式子表示）； (2)判断的形状，并说明理由； (3)在M点运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 【解析】(1)∵在等腰中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (2)是等腰三角形； ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴，， 根据解析（1）可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； (3)作于点H，如图所示： 由（2）得，， ∵， ∴， ∴，∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形，∴， ∵ ∴． 【题型4】直角三角形的两个锐角互余 【典例】如图，在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，则的长为（ ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】如图所示：过点E作， ∵，， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，于F， ∴， ∴， 故选：C． 【举一反三1】如图，在锐角中，点是边上一点，于点，若，，则和的数量关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如下图所示，过点作， 则， ， ，， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， 即， 在中，， ， ， ， 整理可得：. 故选：D. 【举一反三2】有一道题目：“如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿DE折叠，使得点B落在边AC上的点F处，若∠CFD=60°，且△AEF中有两个内角相等，求∠A的度数．”嘉嘉的答案是∠A=40°，淇淇说：“嘉嘉考虑的不全面，∠A还应该有另外一个值．”下列判断正确的是（　　） A．淇淇说的不对，∠A就是40° B．淇淇说得对，且∠A的另一个值是50° C．淇淇说得对，且∠A的另一个值是55° D．两人都不对，∠A应有三个不同值 【答案】B 【解析】解：∵∠C=90，∠CFD=60°， ∴∠CDF=30°， ∵△FDE，△BDE关于DE对称， ∴∠DFE=∠B，∠FED=∠BED，∠FDE=∠BDE=75°， 令∠B=x°，则∠DFE=x°， ∴∠AFE=180°-60°-x°=120°-x°， ∠FED=∠BED=180°-75°-x°=105°-x°， ∴∠AEF=180°-∠FED-∠BED=2x°-30°， △AEF中有两个内角相等，只有∠AEF=∠AFE，∠A=∠AEF， 当∠AEF=∠AFE时， 2x-30=120-x, ∴x=50， ∴∠A=90°-∠B=40°； 当∠A=∠AEF时， 90-x=2x-30， ∴x=40， ∴∠A=90°-∠B=50°， ∴∠A=40°或∠A=50°． 故选：B． 【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为AC边上一动点，将△CBD沿着直线BD对折得到△EBD．若∠ABD=15°，则∠ABE的度数为__________. 【答案】60° 【解析】解：∵∠ABD=15°，∠ABC=90°， ∴∠DBC=∠ABC-∠DBC=90°-15°=75°， 由折叠可得∠DBE=∠DBC=75°， ∴∠ABE=∠DBE-∠ABD=75°-15°=60°． 故答案为：60°． 【举一反三4】点在直线上，与互余，平分平分． (1)若，求的度数； (2)__________ °． 【答案】(1)答案见解析 (2)135 【解析】(1)解：根据题意得， ∵ ∴， 又与互余，即， ∴， 而， ∴；   (2)（2）解：∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：135． 【举一反三5】综合与实践： 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： 如图1，中，，点E外一点，，过B作，垂足分别为．求证：． 独立思考： (1)请证明王老师提出的问题． (2)实践探究： (3)王老师把原题作如下的更改，并提出新问题，请你解答． “如图2，中，，点D是上一点，于E，求证：”． (4)问题解决： (5)数学活动小组同学进一步对上述问题进行研究之后发现： “如图3，中，，点D为上一点，，过点A作，且，连接．若，请直接写出的值为__________．” 【解析】(1)答案见解析 学科网（北京）股份有限公司 $