考案 (1) 第一章集合与常用逻辑用语-【成才之路·考案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教A版）

新 数学必修·第一册RJA 8.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过 游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜 程或演算步骤) 材 习、究、练、测四位一体 考案（一） 欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 ( 15.(本小题满分13分)已知集合A={x1-1≤x≤2}，B={x|a≤x≤@ 第一章 集合与常用逻辑用语 4.62% B.56% C.46% D.42% +2. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给 (1)若a=1,求AUB: (时间：120分钟满分：150分)》 出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分， (2)在①CmA二CRB,②AUB=A,③A∩B=B,这三个条件中任选 整 、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给 部分选对的得部分分，有选错的得0分】 一个作为条件，求实数a的取值范围.注：如果选择多个条件 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)】 9.已知集合A={x1x2-2x=0,则有 分别解答，则按第一个解答计分. 1.已知集合A=|1,3,5,71,B=1a+b1aeA,b∈A,则AnB=( A.O二A B.-2∈A A.1.3 B.13,7 C.0,2≤A D.ACyly<3 C.11.3,5,7 D.0 10.设非空集合P,Q满足P∩Q=Q,且P≠Q,则下列选项中错误的 2.命题“Hx>0,x2-2x+1>0”的否定是 是 A.3x>0,x2-2x+1≤0 B.Hx>0,x2-2x+1≤0 A.HxEQ,有xEP B.3xeP,使得xEQ C.3x≤0，x2-2x+1≤0 D.Hx≤0，x2-2x+1≤0 C3xeQ,使得x使P D.Hx使Q,有xEP 3.设集合U=1,2,3,4,51,A=1,3,5引，B={2,3,5,则图中阴影部 11.已知集合A={x1-1<x<3引，集合B={xx<m+1{,则AnB=0的 分表示的集合的真子集有 个 一个充分不必要条件是 ( A.m≤-2 B.m<-2 C.m<2 D.-4<m<-3 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分} A.3 B.4 C.7 D.8 12.已知集合A={0.1.2.3,4,51,集合B=1,3. 4.已知集合A=|x∈R|x2+x-6=0,B={x∈R|ax-1=0,若BCA. 5.7.9},则Venn图中阴影部分表示的集合中 则实数a的值为 元素的个数为 16.(本小题满分15分)设集合A=x-1<x<4,B=x -5x.c=- 1 13.已知集合A={x|ax2-3x+1=0},若A中只含 2n<x<2n. 有一个元素，则实数a的值为 :若A的真子集个数是3 (1)若C=☑，求实数a的取值范围： c或或0 侧实数a的范周是 D.- (2)若C≠☑且C二(A∩B),求实数a的取值范围 14.在下列所示电路图中，下列说法正确的是 (填序号) 5.设p:x<a,x<b.q:a<b,则p是g的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C,充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.对于数集A,B,定义A+B={xIx=a+b,a∈A.b∈B},A÷B {=号aEA.bEB,若集合A=1.2,则集合(4+A)÷A中所 有元素之和为 A.5 15 3 2 023 2 7,设全集U=R,集合A=xlx≤1，或x≥3引，集合B={xk<x<+1 (1)如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件： keR,且Bn(CA)≠⑦，则 (2)如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件： A.k<0或>3 B.2<k<3 (3)如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件： C.0<k<3 D.-1<k<3 (4)如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件 409 410 17.(本小题满分15分)求证：方程x2-2x-3m=0有两个同号且不相18.（本小题满分17分）(1)已知p:-2≤x≤10,9：1-m≤x≤1+m(m>19.(本小题满分17分)设集合A=x1x2-3x+2=0,B={x1x2+ 等的实根的充要条件是-了m<0 0),若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范用： 2(a+1)x+(a2-5)=01, (2)已知p:A=x|-1≤x≤5，q:B=|x|-m<x<2m-1{,若p是q (1)若A∩B={2{,求实数a的值： 的充分条件，求实数m的取值范周。 (2)若AUB=A,求实数a的取值范围 411 412新 数学必修·第一册RJA 教 考案部分 参考答案 材 习、究、练、测四位一体 考案（一） 1.D因为集合A中所有元素为奇数，集合B中的元素是集合A中两个元素之和，而两个 奇数之和必为偶数，所以集合B中所有元素均为偶数.因此A和B没有公共元素，故A门 B=O.故选D. 2.A含有量词的命题的否定，一改量词将“V”改为“了”，二否结论将“>”改为“≤”，条件 不变，故选A 3.C因为集合U=1,2,3,4,5},A=1,3,5},B=2.3,5},所 以A∩B=3,5},图中阴影部分表示的集合为：C(A∩B)= 4 {1,2,4},所以图中阴影部分表示的集合的真子集有：23-1= B 8-1=7. 5 4.DA=-3,2},BCA,.-3eB或2eB或B=☑； -3a-1=0,或2a-1=0或a=0.六a=- 3或2或0.故 选D. 5.B由题可知，命题p等价于a≤b,命题g为a<b,因为a<b能推出a≤b,但a≤b不能推 出a<b(如a=b时)，所以p是g的必要不充分条件，故选B 6.D根据新定义，集合A=1,2,则4+A=23,4利，则(4+4)4={1,234,2}，则可 23 知所有元素之和为兮故选D, 7C,A=r<3,借助于数轴可得10k<3.故选C 8.C设只喜欢足球的百分比为x,只喜欢游泳的百分比为y, 两个项目都喜欢的百分比为z,由题意，可得x+z=60,x+y+z= 足球 96,y+z=82,解得z=46.∴.该中学既喜欢足球又喜欢游泳的 学生数占该校学生总数的比例是46%.故选C. 2 9.ACD A=0,2,CA,-2A,10,2 CA,ACyly< 3}.故选ACD. 10.CD因为PnQ=Q,且P≠Q,所以Q是P的真子集，所以Hx∈eQ,有xeP,]x∈P,使 得xQ,A、B正确，C,D错误. 11.BD设AnB=☑的一个充分不必要条件是P,P对应的集合为C,当A∩B=O时，m+1≤ -1,解得m≤-2，所以C至{mlm≤-2}.因此满足条件的选项为BD. 12.3由Venn图及集合的运算可知，阴影部分表示的集合为，(A∩B).又A={0,1,2,3, 4,5},B={1,3,5,7,9},.A∩B={1,3,5},.C4(A∩B)={0,2,4},即Venn图中阴影部 分表示的集合中元素的个数为3，故答案为3. .9 13.0或4 aa<0或0<a<4} 91 第合A中只含-个元亲a0或公9如0解得。 9 =0或a= 4:A的真子集个数是3个，am2-3x+1=0有两个不等的实根， 90.解得a<0或0ca子实数a的取值范围是<0或0} 「a≠0， 14.(1)(2)(3)（1)A闭合，B亮；而B亮时，A不一定闭合，故A是B的充分不必要条件， 因此正确；(2)A闭合，B不一定亮；而B亮，A必须闭合，故A是B的必要不充分条件， 因此正确；(3)A闭合，B亮；而B亮，A必闭合，所以A是B的充要条件，因此正确；(4)A 闭合，B不一定亮；而B亮，A不一定闭合，所以A是B的既不充分也不必要条件，因此 错误. 15.(1)当a=1时，B={xl1≤x≤3}，所以AUB={x1-1≤x≤3}. (2)三个条件CRA二CRB,AUB=A,A∩B=B都表示BCA, 所以C22,解得-1≤a≤0。 所以实数a的取值范围为a|-1≤a≤0} 16.(1)因为C={x1-2a<<2a=⑦，所以1-2a≥2a,所以a≤4， 即实数a的取值范围是a≤} (2)因为C=xl1-2a<x<2a≠⑦，所以1-2a<2a,即a>4 、1 因为A=-1r4,B={-5<},所以An8-{-1<} 4 f1-2a≥-1， 3 2a≤2，解得 3 因为C二(A∩B),所以 4<a≤4 1 a74' 即实数u的取值范围是{口4≤ 1 31 17.(1)充分性：3<m<0, 方程x2-2x-3m=0的判别式4=4+12m>0,且-3m>0, .方程x2-2x-3m=0有两个同号且不相等的实根. (2)必要性：若方程x2-2x-3m=0有两个同号且不相等的实根，设为x1,x2, 则有A=4+12m>0解得- lx1x2=-3m>0, 3m<0 综合(1)(2)知，方程x2-2x-3m=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是 3<m<0 18.(1)p:-2≤x≤10，g:1-m≤x≤1+m(m>0). 因为卫是q的必要不充分条件，所以g是p的充分不必要条件， 即{xl1-m≤x≤1+m}手{x-2≤x≤10}， 故有什02或三品解得m≤3 又m>0,所以实数m的取值范围为{ml0<m≤3}. (2)因为p是q的充分条件，所以ACB, 如图： A☐ -m-1052m-1 则1；.解得m>3所以实数m的取值范围为mm3。 19.(1)A=1,2}.A∩B={2}, ∴.2∈B,代入B中方程，得a2+4a+3=0,所以a=-1或a=-3. 当a=-1时，B={-2,2},满足条件；当a=-3时，B=2},也满足条件. 综上，a的值为-1或-3. (2).AUB=A,..BCA. ①当4=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3)<0,即a<-3时，B=☑满足条件； ②当△=0，即a=-3时，B={2},满足要求； ③当△>0，即a>-3时，B=A={1,2}才能满足要求，经检验不可能成立. 综上可知a的取值范围是{ala≤-3}. 考案（二） 1.D由题意，对于选项A巾，当a®0>6时，此时，所以A是错误的：对于选项B巾， 当0>c>d时，此时不等式不一定成立，所以B是错误的；对于选项C中，当c=0时，不等 式不成立，所以C是错误的.根据不等式的性质，若ac2>bc2时，必有c2>0,则a>b是成立 的，所以D是正确的. 11 2D由2，得 12=x<0即2x(2-x)<0,解得心2或x<0,故选D, x 2 2x b a 3.B因为a,b都是正实数，且a≠b,所以A= 。+>2/a·6=2,即A>2,B=-x2+4x 2=-(x2-4x+4)+2=-(x-2)2+2≤2，即B≤2，所以A>B. 4.C因为t>0,则函数y 22-2+2-1≥2√2，子-1=3，当且仅当1=1时取等号 t 所以函数y 2-+2的最小值为3. 5.A由题意知x=-1,x=2是方程ax2+bx+2=0的根.由根与系数的关系得 [-1+2=- a’ 1)x2之今{8五不等武2+a+0c0,即2+<0.解得-1<放选A 6.C由题意，p=10,S=√10(10-a)(10-b)(10-c)=√/20(10-a)(10-b)≤√/20· 10-a+10-b=85,当且仅当a=b=6时取等号，所以此三角形面积的最大值为85. 7.C由I1-xl-2>0,得11-xl>2,所以1-x>2或1-x<-2,解得x<-1或x>3,故选C. 8.C因为2+，2-2y=(xy)2,当x=>0时，2+y=2所以不正确：x+y9y 111y+x-1 33 4 1 因为2020所沙当+时子当*>时+子>当x1时字 1<,因此不正确：因为0，y>0,所以有x+y≥2√>网，正确：因为>0，>0，所以 yxy 有上+2=-2团=压≥0，即上≥2所以不正确放选C xy√yy y x y xy AC因为15<6<18，所以8<<5因为6<a<60,所以3<6<4，所以A正确：因为6<a <60,15<b<18,所以36<a+2b<96,所以B错误；因为15<b<18,所以-18<-b<-15.因为6< a<0,所以-12a6<45,所以C正确；由A知了分<4，所以号号+1<5，即号<若5， 所以D错误 10.BCD因为不等式a+bx+o>0的解集为一2r<2},故相应的二次函数八x)=am+ 1 bx+c的图象开口向下，所以a<0,故A错误；易知2和-2是方程ar+br+c=0的两个 根，则有-1<0，-6=>0，又a<0.,故>0，c>0,放B,C正确：由二次函数的图象可 知f(1)=a+b+c>0,故D正确，故选BCD. 11.ABC当a=-1,b=0,c=0时，b2-4ac≤0，但ax2+bx+c≤0，故A中叙述错误：当a=1,b= 0,c=0时，a>b,但ac2=bc2,故B中叙述错误；方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根等 价于公0-4>0，解得a<0,所以“a<0产是“方程+a=0有-个正根和一个负根”的 充要条作，放C中叙述错误；因为a>1→。<1，所以充分性成立，因为。<1→0<0或0> 1,所以必要性不成立，故D中叙述正确.故选ABC. x+1>0,即心+4 -4<x<-1原不等式可化为-2>0，整理得二4 即+0，所以(x+4)(x+1) <0,故-4<x<-1,所以原不等式的解集为{xl-4<x<-1: 13.[1,9)当m-1=0,即m=1时，原不等式可化为2>0，恒成立，满足不等式解集为R,当 m-1≠0，即m≠1时，若不等式(m-1)x2+(m-1)x+2>0的解集是R,则 「m-1>0. (m-1)2-8(m-1)<0,解得1<m<9:综上所述，m的取值范围为[1,9). 448设则=则由△c△0v得瓷品又网为D0=8=4,CB=40:3.所 ND=12所以矩形花坛AP的面积S=(4+x)3+=24+3x+≥2 x . =48,当且仅当3x=48,即x=4时等号成立.当BM=4时矩形花坛AWPV的 x 面积最小，最小值为48. 15..x>3,∴.x-3>0. 2-2-3)+12x-3》+18=2-3)+18+12≥2，/2-3》.812=24 x-3 x-3 x-3 x-3 x一3，即x=6时，上式等号成立， 18 当且仅当2(x-3) 3的最小值为24 2x x-4 16,由p:x+30中不等式解得-3<<4， 选①，x2-(2a-1)x+a2-a<0a-1<x<a, 因为p是9的必要不充分条件， 所以a-2-3,a-1≥-3与a≤4中的等号不同时成立，解得-2≤a≤4.所以实数a的 1a≤4， 取值范围为{a|-2≤a≤4}. 选②，x-2ax+a-1<0台→a-1<x<a+1, 因为p是9的必要不充分条件，所以a二3， a+1≤4， (a-1≥-3与a+1≤4中等号不同时成立) 解得-2≤a≤3.所以实数a的取值范围为{al-2≤a≤3}. 选③，x2-(a+1)x+a<0(a>1)台1<x<a, 因为p是9的必要不充分条件， 所以a≤4，因为a>1,所以1<a≤4.所以实数a的取值范围为al1<a≤4}. 17.（1)因为关于x的不等式2kx2+hx- 0的解集为三<小。 3 8 所以-弓和1是方程2+号-0的两个实数根， 8