3.2.2奇偶性（分层作业，13大题型）高一数学人教A版必修第一册

分层作业 3.2.2 奇偶性 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 判断函数的奇偶性 题型02 奇偶函数的图像特征 题型03 利用奇偶性求函数值 B组 能力进阶 题型01 奇函数+常数对称模型 题型02 利用奇偶性求解析式 题型03 由奇偶性构造方程组求解析式 题型04 利用奇偶性与单调性比较大小 C组 思维拔高 题型01 利用奇偶性求参数 题型02 利用奇偶性与单调性解不等式 题型03 抽象函数的奇偶性 题型04 函数的对称性 题型05 函数奇偶性的综合应用 题型06 新定义问题 判断函数的奇偶性题型01 1．下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇偶性的定义及基本初等函数的单调性判断即可. 【详解】解：对于A：是奇函数在上为减函数，故A错误； 对于B：是非奇非偶函数，在区间上为增函数，故B错误； 对于C：是奇函数，在上为减函数，故C错误； 对于D：定义域为，函数在区间上为增函数， 又，所以是奇函数，故D正确； 故选：D. 2．已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数，偶函数的定义，逐一判断各选项即可. 【详解】选项A：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，A错误. 选项B：设， 由，可知是奇函数，B正确. 选项C：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，C错误. 选项D：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，D错误. 3．（24-25高三上·山东烟台·学业水平）若函数同时满足以下三个条件，则其一个解析式可以为__________. ①在其定义域内有；②，有；③. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据条件写出函数即可. 【详解】，可知是偶函数，在上单调递减，符合①②两个条件， 又，所以符合条件③. 同理可得也符合条件. 故答案为：（答案不唯一） 4．已知函数. （1）求证：函数为奇函数； （2）用定义证明：函数在上是增函数 【答案】 （1）函数的定义域关于原点对称 所以函数为奇函数 （2）设，且，则 ∵，∴，∴，∴ ∴，∴，即 ∴在上是增函数． 【分析】（1）先求得函数的定义域，然后证得，由此证得为奇函数. （2）利用函数单调性的定义，计算，由此证得在上为增函数. 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本小题主要考查函数奇偶性的证明，考查函数单调性的证明，属于基础题. 5．（25-26高一上·陕西·期中）已知函数在上单调递增，且对任意a，，都有. (1)判断函数的奇偶性，并证明： (2)若对于任意都有成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1) 函数为定义在上的奇函数，证明如下： 因为对任意a，，都有， 令，则，可得， 令，则，可得， 所以函数为定义在上的奇函数. (2) 【分析】（1）先判断奇偶性，再根据题意结合奇函数的定义分析证明即可； （2）根据单调性和奇偶性分析可得，换元令，可得原题意等价于对任意，恒成立，结合二次函数性质分析求解. 【详解】（1）略 （2）因为函数为定义在上的奇函数， 若，则， 又因为函数在上单调递增，则， 且，可得， 令，可得，原题意等价于对任意，恒成立， 又因为的图象开口向上，对称轴为， 可知在内单调递增，则， 可得，所以实数k的取值范围为. 奇偶函数的图像特征题型02 1．下列各图中，可以表示以为自变量的奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数图象的性质依次判断即可. 【详解】对于AB，选项中的图象均关于轴对称，不关于原点对称，故AB错误； 对于C，选项中的图象符合函数图象的特征，且关于原点对称，故C正确； 对于D，选项中的图象不符合函数图象的特征，故D错误. 故选：C 2．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的图象关于原点对称，排除B，C选项，再由，排除A选项，从而得出正确答案. 【详解】根据函数的图象关于原点对称，可知函数为奇函数，而B，C选项中的函数为偶函数，不符合题意，排除； 又，对于A选项，当时，，不符合，排除； 对于D选项，当时，，符合条件，所以D选项正确. 故选：D 3．（25-26高一·期末）函数的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数的对称性，结合函数值即可作出判断. 【详解】由，且定义域为，所以是偶函数， 即图象关于轴对称，故排除AC， 因为，所以排除A，则D正确. 故选：D 4．函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】先求出定义域，再确定为偶函数，最后由特殊值法确定即可. 【详解】定义域为，为偶函数， 采用特殊值法代入， 当趋近于零时，趋近于零，趋于正无穷；此时取值趋于正无穷； 当x趋近于正无穷时，趋近于正无穷，趋于零，此时取值趋于正无穷； 所以只有B图像符合； 故选：B 5．若函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性可排除A，根据可排除B，根据函数图象的“直曲”排除C. 【详解】由图可知：为偶函数，且， 对于A，，为奇函数，不符合，舍去， 对于B，，不符合，舍去， 对于C，，为偶函数，且， 与图象不符，故C错误； 对于D，，为偶函数，且，满足图象特点，故D正确. 故选：D 利用奇偶性求函数值题型03 1．（25-26高一上·江苏南通·期末）设是上的奇函数，且当时，，则    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据奇函数的性质，直接求出结果即可. 【详解】因为是上的奇函数，所以. 故选：A. 2．设函数是定义在上的奇函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义与性质运算求解. 【详解】∵函数是定义在上的奇函数，则，且， ∴. 故选：D. 3．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，则的值为（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据题意，由函数的解析式求出的值，进而计算可得答案． 【详解】根据题意，当时，，则， 而函数是定义域为R的奇函数，则 故选：B. 4．（24-25高二上·湖南·月考）已知函数，若对任意恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据将问题转化为，根据函数在上单调递减，即可由求解. 【详解】当时，， 当时，， 故， 由可得 当时，， 当时，， 因此对任意的都有为奇函数， 且当时，单调递减，且，故在上单调递减， 故由得， 故对任意的成立， 故，解得或. 故选：B 奇函数+常数对称模型题型01 1．（24-25高一上·海南·期中）已知函数，若，则(    ) A． B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】令，则,利用为奇函数可得结果. 【详解】令，则. 由定义域关于原点对称，且得为奇函数， ∵，∴， ∴. 故选：B. 2．若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将函数解析式化为，令，判断的奇偶性，然后利用函数的奇偶性求解即可. 【详解】， 令，则其定义域为，又， 所以为奇函数，则， 所以，则. 故选：B. 3．（25-26高二下·湖南岳阳·期末）已知函数的定义域为，且对于任意实数，，都有，若函数在定义域内的最大值为，最小值为，则    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得为奇函数，为奇函数，然后由奇函数性质可得答案. 【详解】因对于任意实数，，都有， 令，可得， 再令，则，从而为奇函数. 注意到， 结合为R上奇函数，为R上偶函数， 可得为R上奇函数， 由题可得存在，且为，存在，且为. 又由奇函数性质可得， 从而. 4．已知函数，且，则的值为______． 【答案】 【分析】由函数解析式可知，函数为奇函数，有，计算即可. 【详解】，令，函数定义域为R， ∵，∴为奇函数，∴． 则，． 故答案为：-10 5．已知是定义在R上的奇函数，是定义在R上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最小值为_______． 【答案】－4 【分析】根据函数的奇偶性的定义可求的范围，从而可得范围和最小值. 【详解】因为是定义在R上的奇函数，是定义在R上的偶函数， 所以， 所以，即， 因为的值域为，所以的值域也为， 所以的值域为，所以的值域也为， 所以的最小值为． 故答案为：－4. 利用奇偶性求解析式题型02 1．（24-25高一上·广东湛江·期中）若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则等于（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义，结合题意计算即可求解. 【详解】因为为奇函数， 所以. 故选：A 2．已知函数为偶函数，且当时，，则时，____. 【答案】 【分析】根据偶函数的性质，当自变量互为相反数时，函数值相等. 【详解】当时，. 因为当时，，所以此时. 又因为是偶函数，即，所以当时，. 故答案为：. 3．（24-25高一上·山东德州·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时，______. 【答案】 【分析】先根据奇函数性质求出，然后结合奇函数定义可求时的函数解析式． 【详解】解：是定义域为的奇函数， 当时，， , 即时，， 设，则， ， 是定义域为的奇函数， . 故答案为：. 4．（24-25高三上·安徽·月考），求的表达式； （2）已知奇函数的定义域为，当时，．求函数的解析式． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）在原式中用替换，得，与原式联立方程组，求解即可． （2）设，可得出，求出的表达式，利用奇函数的性质可得出函数在时的解析式． 【详解】在中用替换，得， 于是有， 消去，得． 所求函数的表达式为． （2）奇函数的定义域为． 当时，，又当时，， ， ． 故． 5．（25-26高一上·广东东莞·质检）函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)求满足不等式的的取值范围. 【答案】(1)， (2) 函数在上单调递增.证明如下： 任取，且， 则， 因为，则，，，， 所以，所以， 所以函数在上单调递增； (3) 【分析】（1）由函数是定义在上的奇函数，则，结合，求出，，即可得到函数的解析式； （2）任取且，化简，然后判断的符号，即可判断函数的单调性； （3）由题可得，再根据函数在上的单调递增，列不等式，求解即可. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以函数的解析式为，； （2）略 （3）因为是定义在上的奇函数，所以， 由可得， 因为函数在上的单调递增， 则，解得. 由奇偶性构造方程组求解析式题型03 1．已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【解析】用替换原式中的，可得，利用奇偶性可得，与相减即可求，进而可得的值. 【详解】因为①， 所以， 因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数， 所以②， ②-①得：，所以，所以， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用函数的奇偶性结合已知条件可得 ，即，与已知条件 ，两式相减可得解析式，即可求函数值. 2．（24-25高三上·江苏·月考）已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则______． 【答案】1 【分析】令，根据，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，计算得解. 【详解】由，令， ，又，分别是定义在R上的奇函数和偶函数， ，即. 故答案为：1. 3．（24-25高三上·广东茂名·月考）设是上的奇函数，是上的偶函数，并且，则的解析式是______． 【答案】 【分析】依题意可得，解方程组即可得解. 【详解】因为， 又因为是奇函数，是偶函数，所以． 由、解得． 故答案为： 4．（24-25高一上·江西赣州·期中）已知定义在上的奇函数与偶函数满足，若． (1)求的解析式； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【分析】（1）根据函数奇偶性可得，解方程即可得以及； （2）分析可知为奇函数，在内单调递增，结合函数性质可得，分类讨论解不等式即可. 【详解】（1）因为，且为奇函数，为偶函数， 则，即， 联立方程，解得， 所以. （2）由题意可知：的定义域为， 且，可知为奇函数， 当时，则， 因为的图象开口向上，对称轴为， 可知在内单调递增，即在内单调递增， 可知在内单调递增，即在内单调递增， 因为，则， 可得，即， 令，解得或， 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为； 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 5．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数为奇函数，函数为偶函数，且，． (1)求函数的解析式和最值； (2)已知函数满足，都有成立；若，使得成立，求m的取值范围． 【答案】(1)，最大值为，最小值为； (2). 【分析】（1）由函数的奇偶性，可联立方程组，即可解得的解析式；利用基本不等式，可求得的最值. （2）利用已知等式，可求得的解析式，若，使得成立，则需，即可得到m的取值范围. 【详解】（1）由题意，， 因为，① 所以② 由①②可得， 当，，因为所以，当且仅当取等， 当，， 当，，因为所以，当且仅当取等， 综上的最大值为，最小值为. （2）令，得 令，得 若，使得成立 即 由（1）可知，当，， 所以. 利用奇偶性与单调性比较大小题型04 1．（25-26高一上·北京·期中）若偶函数在上单调递减，则，，的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据为偶函数可得，再根据函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为为偶函数，所以， 又，且函数在上单调递减， 所以，即. 故选：A 2．（25-26高一上·北京·期中）定义在上的偶函数满足：对任意的，），有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设判断的单调性，再结合偶函数的性质比较函数值的大小. 【详解】由题设在上单调递减，又为偶函数， 所以. 故选：A 3．（24-25高一上·山西·期中）已知函数的定义域为，是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知条件得出单调性与对称性，由对称性转化自变量值到同一个单调区间内，再由单调性比较大小． 【详解】当时，恒成立， 函数在上为单调增函数， 函数是偶函数，即， 函数的图象关于直线对称， ，， ，即，. 故选：D. 4．设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，，再利用函数在区间上是增函数可得答案. 【详解】解：为奇函数，， 又 ，， 又，且函数在区间上是增函数， ， ， 故选A. 【点睛】本题考查利用函数的单调性、奇偶性比较函数值的大小，考查利用知识解决问题的能力. 5．（24-25高一上·湖南·期中）函数是定义在上的奇函数，对任意两个正数都有，记，求之间的大小关系. 【答案】 【分析】由题意可构造函数，结合函数单调性定义可得在上单调递减，再将用表示出来后，结合单调性即可得解. 【详解】由，，则， 设，则在上单调递减， ，， 由是定义在上的奇函数， 则， 由，即. 利用奇偶性求参数题型01 1．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知为奇函数，则    ） A．0 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】先根据函数为奇函数，求的值，再根据函数的解析式求. 【详解】当时，， 由得：恒成立， 所以. 此时当时，， 所以. 又 所以时，函数满足，对任意，恒成立.所以为奇函数. 此时. 故选：C 2．已知奇函数的定义域为，则实数__________. 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性列方程来求得的值. 【详解】由于是奇函数，所以. 故答案为： 3．（24-25高一上·广东汕头·期中）设函数，且为奇函数，则__________. 【答案】2 【分析】根据奇函数性质得到，代入化简得到答案. 【详解】若函数为奇函数， 则， 解得：. 故答案为：. 4．（24-25高二上·上海·月考）已知，为常数． (1)若为偶函数，求的值； (2)设，，若函数，为减函数，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数的定义，可得参数值； （2）由，可得，结合对勾函数单调性可得参数范围. 【详解】（1）由已知函数为偶函数， 则， 即恒成立， 化简可得，即， 又不恒为， 所以； （2）由以， 当时，， 此时， 又，则函数在上单调递减， 由在上单调递减， 所以， 解得，即. 5．已知函数为定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)若，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由奇函数的性质可得出，可求得的值，由可求得的值，可得出函数的解析式，再结合函数奇偶性的定义验证即可，由此可得出函数的解析式； （2）由已知可得出，利用双勾函数的单调性求出在上的值域，可得出在有解，由此可求得实数的取值范围； （3）由已知可得出，化简得出，令，可得出，利用双勾函数的单调性求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围，即可得解. 【详解】（1）解：为上的奇函数，所以，得，则， 又，所以，所以， 对任意的，， 所以，函数为奇函数，合乎题意， 综上所述，. （2）解：当时，， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当或时，. 所以，所以．                  不等式，即， 得在有解，所以且，即 （3）解：因为，所以， ，恒成立，所以， 则， 而 设，其中，则，当且仅当时，即当时等号成立， 因为，则， 所以，， 因为在上单调递增， 所以，函数在上单调递减，可得， 所以，即的最小值为． 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 利用奇偶性与单调性解不等式题型02 1．（25-26高二下·辽宁·期末）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原不等式转化为，再结合单调性即可得解. 【详解】因为是定义在R上的偶函数，故可转化为， 又因为在上单调递增，故，解得或，即解集为. 2．设奇函数的定义域为，若当时，的图象如图，则不等式的解集是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数的图像及奇偶性即可解不等式. 【详解】根据图像，当时，的解为， 因为函数为奇函数， 所以当时，若，即，则 所以，解得， 综合得不等式的解集是. 故选：C. 3．（25-26高一上·甘肃庆阳·期中）已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的奇偶性及单调性，结合特殊值，分别讨论和两种情况，分析即可得答案. 【详解】若，则等价于. 因为是偶函数，所以. 所以在上单调递减，则由可得. 若，则等价于. 由题意，在上单调递增，则由可得. 综上，的解集为. 故选：B 4．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数是上单调递增的奇函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数的性质结合单调性解抽象不等式可得. 【详解】将不等式变形可得， 因为函数是上单调递增的奇函数，所以不等式等价于， 所以，即的取值范围为. 故选：D 5．已知函数在定义域上是偶函数，在上单调递减，并且，则的取值范围是______. 【答案】. 【分析】根据函数定义域的对称性求出,再利用函数的单调性及偶函数得到不等式，求解即可. 【详解】因为函数在定义域上是偶函数， 所以，解得， 所以可得 又在上单调递减， 所以在上单调递增, 因为， 所以由可得， 解得. 故的取值范围是. 【点睛】本题主要考查了偶函数的定义域，偶函数的单调性，不等式的解法，属于难题. 抽象函数的奇偶性题型03 1．已知是定义在上的奇函数，且对任意，都有，则    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】通过赋值法结合奇函数的性质即可求解. 【详解】令，则， 因为是定义在上的奇函数， 所以，则. 故选：C. 2．定义在上的函数满足:对任意有，则 A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】D 【分析】设，由，，由特值法求得，令，可得结果. 【详解】设， 由， 可得 则， 令，得， 令， ， 是奇函数，故选D. 【点睛】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断与是否具有等量关系． 在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式 (奇函数)或 (偶函数)是否成立． 3．（25-26高一上·天津·期中）定义在上的函数对任意、都有． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性，并证明． 【答案】(1)0 (2) 函数的定义域为, 令，则， 因为，所以即. 所以函数为奇函数. 【分析】（1）令可求的值. （2）令可判断函数的奇偶性. 【详解】（1）令，则. （2）略 4．已知函数的定义域为R，且对任意，都有，且当时，恒成立． (1)判定并证明函数在R上的单调性； (2)讨论函数的奇偶性； (3)若，求x的取值范围． 【答案】(1)在R上单调递减，理由如下： 任取，且， 因为，所以， 令， 则， 因为当时，恒成立， 又，所以， 所以，， 所以在R上单调递减； (2)令，则，解得， 令，因为， 故，所以， 所以是奇函数； (3)或 【分析】（1）利用函数单调性定义判断函数的单调性； （2）赋值法得到，进而赋值得到，得到答案； （3）根据函数奇偶性和单调性解不等式，得到答案. 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为， 所以， 因为是奇函数，所以， 因为是R上的减函数，所以， 解得或，所以不等式的解集为或. 5．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）设定义在上的函数满足：①对，，都有；②时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在上单调递增； (3)若，不等式对恒成立，试求的取值范围. 【答案】(1) 的定义域为，关于原点对称， 令，得，解得或， 又不存在，使得，∴， 令，得， ∴，， ∴为奇函数； (2) 时，，， ∴，当且仅当，等号成立， 又不存在，使得，∴，∴时，， 又∵为奇函数，∴时，， ∴对，， 任取，则，， 而， ∴， 又，∴，∴， ∴，，∴在上单调递增； (3) 【分析】（1）赋值法求得，然后再令可证得奇函数； （2）由已知先证得，再根据单调性定义可得答案； （3）由已知求出，然后已知不等式化简后由函数的单调性转化为二次不等式恒成立，从而求得的范围，最后再由二次函数性质可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）， ∴， ， ∵不等式对恒成立， ∴对恒成立， 又在上单调递增， ∴对恒成立， 即对恒成立， 设，，即对成立 当时，符合题意； 当时，，解得：. 综上可知：的取值范围是. 【点睛】方法点睛：本题考查抽象函数的奇偶性、单调性，抽象函数的不等式恒成立问题并考查求二次函数的值域．解决抽象函数的基本方法是赋值值，根据函数的奇偶性、单调性的定义进行赋值，从已知式中得出与的关系，得出的正负，赋值时有时需要求出具体的函数值，如本题求，在对第（3）问题中不等式进行变形时还需要求得，解题的关键就是已知抽象函数的性质：，利用它对进行变形． 函数的对称性题型04 1．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·质检）已知函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上（    ） A．单调递增，有最小值 B．单调递增，有最大值 C．单调递减，有最小值 D．单调递减，有最大值 【答案】B 【分析】根据条件，利用奇函数的性质，即可求解. 【详解】奇函数图像关于原点对称，所以在关于原点对称区域内单调性相同， 函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增， 又增区间为半开半闭区间，所以存在最大值. 故选：B. 2．（24-25高一上·山东菏泽·月考）若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知有或，利用偶函数的对称性及单调性列不等式组求解即可. 【详解】因为定义在R上的偶函数在区间上单调递增，且， 则在区间上单调递减，且， 由，得或， 即或，解得或， 综上所述，满足原不等式的的取值范围是. 故选：A. 3．已知定义在上的奇函数满足，则_______. 【答案】2026 【分析】法一：由题意利用列举法写出函数值，整理等式可得递推公式，根据累加法，可得答案；法二：由题意利用列举法写出函数值，设出函数解析式，利用等式检验，可得答案. 【详解】法一： 由函数是上的奇函数，则， 由，令，则； 则 ， 由 . 法二： 由函数是上的奇函数，则， 由，令，则； 由，令，则； 设，则，，即，符合题意， 所以. 故答案为：. 4．已知定义在上的函数满足：是偶函数且在上单调递增，若，，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】先根据已知条件分析的对称性以及单调性，然后根据对称性以及单调性将的关系转变为的关系，再根据恒成立思想采用分离参数的方法求解出的取值范围. 【详解】因为是偶函数， 所以，所以的对称轴为， 又因为在上单调递增，所以在上单调递减， 所以自变量越靠近对称轴对应的函数值越小，反之亦然， 因为，恒成立， 所以，恒成立，即恒成立， 所以，恒成立，即恒成立， 所以， 又因为为增函数，为减函数， 所以，， 所以，即， 故答案为：. 【点睛】结论点睛：对称性的常用结论如下： （1）若函数满足或或，则的一条对称轴为； （2）若函数满足或或，则的一个对称中心为. 5．（24-25高一上·福建莆田·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示. (1)请补全函数的图象并求的值； (2)由函数图象直接写出函数的单调递减区间； (3)由函数图象直接写出使的的取值集合； (4)求函数当的值域. 【答案】(1) ； (2)单调递减区间是； (3)； (4). 【分析】（1）根据奇函数关于原点对称画出y轴右侧图象即可. （2）（3）根据（1）所得函数图象确定减区间及不等式的解集即可. （4）根据奇函数求上的函数解析式，再根据二次函数对称轴及定义域求出对应值域即可. 【详解】（1）由题图及是定义在上的奇函数，可得左侧图象如下： （2）由（1）所得函数图象知：单调递减区间是； （3）由（1）所得函数图象知：使的的取值集合为； （4）∵函数是定义域为的奇函数， ∴. 当时，，则. 对称轴为，恰好位于给定区间内， ∴在上的最大值为，最小值为， ∴在上的值域为. 函数奇偶性的综合应用题型05 1．设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性易得当时，，进而可得，根据题意对任意的，都有恒成立，结合函数单调性可解得的取值范围. 【详解】是定义在上的奇函数，且当时，， 当时，， 所以， 所以对任意的，有恒成立， 因为在上单调递增， ，即恒成立， ， 解得， 故选：A. 2．（24-25高一上·北京·期中）已知函数，给出下列四个结论： ①函数是偶函数； ②函数的增区间为； ③不等式的解集是； ④当时，令，则的最小值为. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①④ 【分析】利用偶函数的定义判断①；求出函数的单调递增区间判断②；分段求出不等式的解集判断③；利用基本不等式分段求出最小值判断④. 【详解】函数的定义域为R， 对于①，，函数是偶函数，①正确； 对于②，，函数的增区间为，②错误； 对于③，不等式，则或， 解得或，所以不等式的解集是，③错误； 对于④，依题意，， 当时，， 当且仅当，即时取等号； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 而， 即，所以的最小值为，④正确. 故所有正确结论的序号是①④. 故答案为：①④ 【点睛】思路点睛：涉及分段函数解不等式问题，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可. 3．（25-26高一上·浙江·期中）已知函数. (1)若，判断的奇偶性并加以证明； (2)当时，用定义法判断并证明函数在上的单调性. (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) 函数为奇函数.证明如下： 因为， 定义域为关于原点对称， 且， 所以为奇函数. (2) 当时，函数在上单调递增，证明如下： ，且 有， 由于，且则，， 故，即， 所以函数在上单调递增. (3) 【分析】（1）应用奇函数定义证明； （2）应用函数单调性定义证明； （3）根据不等式恒成立转化为大于函数在上的最大值即可得出参数范围. 【详解】（1）略 （2）略 （3）若对任意恒成立， 则， 所以，问题转化为大于函数在上的最大值. 且函数在上单调递减， 所以最大值为， 故实数的取值范围是. 4．已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证：函数为奇函数； (3)求的值. 【答案】(1)3； (2)证明：当时，，则； 设，则，则， 则，即， 即函数为奇函数. (3) 【分析】（1）应用赋值法即可； （2）应用奇函数的定义即可判断； （3）结合（2）转化为求，即可求解. 【详解】（1）当时，，则； （2）略； （3）由（2）知，为奇函数，则 . 5．设为实数，函数. (1)当时，判断函数的奇偶性并说明理由； (2)若在区间上为增函数，求的取值范围； (3)求在上的最大值. 【答案】(1)奇函数，理由如下： 定义域为R， 当时，， 所以为R上的奇函数. (2)； (3)当时，；当时，； 当时，；当时，. 【分析】（1）根据函数的奇偶性定义进行判断； （2）将写成分段函数并得到单调递增区间，再根据在上为增函数，列出不等式组进行求解； （3）分类讨论情况下在上的最大值. 【详解】（1）是R上的奇函数，理由略； （2）    当时，对称轴为，时，对称轴为 则在上为减函数，上为增函数，上为减函数        因为在区间上为增函数，所以，解得， 所以的取值范围为. （3）由（2）知在上为减函数，上为增函数，上为减函数 当即时，；   当即时，；    当即时，；         当时，.          综上，当时，；当时，； 当时，；当时，. 新定义问题题型06 1．已知狄利克雷函数则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B．是单调函数 C．的值域 D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的定义、单调函数的定义、值域的定义进行判断即可. 【详解】A：当时，显然，此时恒有， 当时，显然此时是无理数，显然也是无理数，此时恒有， 所以是偶函数，因此本选项结论正确； B：因为，所以函数不是实数集上的单调函数，因此本选项结论不正确； C：由函数的解析式可知：的值域为，因此本选项结论不正确； D：，因此本选项结论不正确， 故选：A 2．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.根据此想法，我们可以求函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，化简后，利用奇函数的定义求得的值，即得答案. 【详解】令 由为奇函数，得，则，解得， 所以函数图象的对称中心为. 故选：A 3．若，其中表示，中的最大者，表示中的最小者，下列说法不正确的是（    ） A．函数为偶函数 B．当时，有 C．不等式的解集为 D．当时，有 【答案】C 【分析】根据已知得到，画出函数大致图象，数形结合判断A；根据时，应用凑配法得到判断B；令，则求范围，再结合解析式，应用分类讨论求解集，判断C；根据奇偶性，时，有等价于，即可判断D. 【详解】若，解得或， 结合二次函数和一次函数知， 若，解得或， 结合二次函数和一次函数知， 所以， 画出的图象如下， 结合图象及，知为偶函数，故A正确； 当时，即，所以， 所以，所以成立，故B正确； 对于C，令，则， 当时，，解得， 当时，，解得或，又，所以， 当时，，解得， 综上，，故， 当时，，解得， 当时，，解得或， 当时，，解得， 综上，不等式的解集为，故C错误； 对于D，当，令， 结合偶函数的性质，时，则等价于， 结合B分析，当时，有成立，故D正确． 故选：C 【点睛】关键点点睛：根据已知得到并画出大致图象为关键. 4．函数，给出下列四个结论： ①的值域是； ②且，使得； ③任意且，都有； ④规定，其中，则． 其中，所有正确结论的序号是______________． 【答案】①④ 【分析】根据绝对值的性质，结合分式型函数的性质、代入法逐一判断即可； 【详解】对于①：因为的定义域为，关于原点对称， 且，可知为奇函数， 当时， ，可知函数在内单调递增， 且，可得，则， 结合为奇函数，可知：当时， 函数在内单调递增，且, 所以的值域是，故①正确； 对于②：由①可知： 可知函数是上的增函数， 所以对任意且，均有，故②错误； 对于③：当任意且时， 令，， ，显然， 因此不成立，故③不正确； 对于④：当时， ， 可得，， ，， 以此类推可得，因此，故④正确； 故答案为：①④. 【点睛】关键点点睛：对于分式型函数常利用分离常数法结合单调性的性质分析求解. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.2.2 奇偶性 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 判断函数的奇偶性 题型02 奇偶函数的图像特征 题型03 利用奇偶性求函数值 B组 能力进阶 题型01 奇函数+常数对称模型 题型02 利用奇偶性求解析式 题型03 由奇偶性构造方程组求解析式 题型04 利用奇偶性与单调性比较大小 C组 思维拔高 题型01 利用奇偶性求参数 题型02 利用奇偶性与单调性解不等式 题型03 抽象函数的奇偶性 题型04 函数的对称性 题型05 函数奇偶性的综合应用 题型06 新定义问题 判断函数的奇偶性题型01 1．下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·山东烟台·学业水平）若函数同时满足以下三个条件，则其一个解析式可以为__________. ①在其定义域内有；②，有；③. 4．已知函数. （1）求证：函数为奇函数； （2）用定义证明：函数在上是增函数 5．（25-26高一上·陕西·期中）已知函数在上单调递增，且对任意a，，都有. (1)判断函数的奇偶性，并证明： (2)若对于任意都有成立，求实数k的取值范围. 奇偶函数的图像特征题型02 1．下列各图中，可以表示以为自变量的奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（   ）    A． B． C． D． 3．（25-26高一·期末）函数的图象为（   ） A． B． C． D． 4．函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   5．若函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 利用奇偶性求函数值题型03 1．（25-26高一上·江苏南通·期末）设是上的奇函数，且当时，，则    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 2．设函数是定义在上的奇函数，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，则的值为（   ） A．3 B． C．1 D． 4．（24-25高二上·湖南·月考）已知函数，若对任意恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 奇函数+常数对称模型题型01 1．（24-25高一上·海南·期中）已知函数，若，则(    ) A． B． C．0 D．2 2．若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高二下·湖南岳阳·期末）已知函数的定义域为，且对于任意实数，，都有，若函数在定义域内的最大值为，最小值为，则    ） A． B． C． D． 4．已知函数，且，则的值为______． 5．已知是定义在R上的奇函数，是定义在R上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最小值为_______． 利用奇偶性求解析式题型02 1．（24-25高一上·广东湛江·期中）若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则等于（    ） A． B． C．0 D．2 2．已知函数为偶函数，且当时，，则时，____. 3．（24-25高一上·山东德州·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时，______. 4．（24-25高三上·安徽·月考），求的表达式； （2）已知奇函数的定义域为，当时，．求函数的解析式． 5．（25-26高一上·广东东莞·质检）函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)求满足不等式的的取值范围. 由奇偶性构造方程组求解析式题型03 1．已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（    ） A． B．4 C． D．8 2．（24-25高三上·江苏·月考）已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则______． 3．（24-25高三上·广东茂名·月考）设是上的奇函数，是上的偶函数，并且，则的解析式是______． 4．（24-25高一上·江西赣州·期中）已知定义在上的奇函数与偶函数满足，若． (1)求的解析式； (2)求关于的不等式的解集． 5．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数为奇函数，函数为偶函数，且，． (1)求函数的解析式和最值； (2)已知函数满足，都有成立；若，使得成立，求m的取值范围． 利用奇偶性与单调性比较大小题型04 1．（25-26高一上·北京·期中）若偶函数在上单调递减，则，，的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·北京·期中）定义在上的偶函数满足：对任意的，），有，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山西·期中）已知函数的定义域为，是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有 A． B． C． D． 5．（24-25高一上·湖南·期中）函数是定义在上的奇函数，对任意两个正数都有，记，求之间的大小关系. 利用奇偶性求参数题型01 1．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知为奇函数，则    ） A．0 B． C．8 D． 2．已知奇函数的定义域为，则实数__________. 3．（24-25高一上·广东汕头·期中）设函数，且为奇函数，则__________. 4．（24-25高二上·上海·月考）已知，为常数． (1)若为偶函数，求的值； (2)设，，若函数，为减函数，求实数的取值范围． 5．已知函数为定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)若，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数的最小值． 利用奇偶性与单调性解不等式题型02 1．（25-26高二下·辽宁·期末）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．设奇函数的定义域为，若当时，的图象如图，则不等式的解集是（    ）    A． B． C． D． 3．（25-26高一上·甘肃庆阳·期中）已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数是上单调递增的奇函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数在定义域上是偶函数，在上单调递减，并且，则的取值范围是______. 抽象函数的奇偶性题型03 1．已知是定义在上的奇函数，且对任意，都有，则    ） A．2 B．1 C．0 D． 2．定义在上的函数满足:对任意有，则 A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 3．（25-26高一上·天津·期中）定义在上的函数对任意、都有． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性，并证明． 4．已知函数的定义域为R，且对任意，都有，且当时，恒成立． (1)判定并证明函数在R上的单调性； (2)讨论函数的奇偶性； (3)若，求x的取值范围． 5．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）设定义在上的函数满足：①对，，都有；②时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在上单调递增； (3)若，不等式对恒成立，试求的取值范围. 函数的对称性题型04 1．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·质检）已知函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上（    ） A．单调递增，有最小值 B．单调递增，有最大值 C．单调递减，有最小值 D．单调递减，有最大值 2．（24-25高一上·山东菏泽·月考）若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知定义在上的奇函数满足，则_______. 4．已知定义在上的函数满足：是偶函数且在上单调递增，若，，则实数的取值范围为__________． 5．（24-25高一上·福建莆田·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示. (1)请补全函数的图象并求的值； (2)由函数图象直接写出函数的单调递减区间； (3)由函数图象直接写出使的的取值集合； (4)求函数当的值域. 函数奇偶性的综合应用题型05 1．设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·北京·期中）已知函数，给出下列四个结论： ①函数是偶函数； ②函数的增区间为； ③不等式的解集是； ④当时，令，则的最小值为. 其中所有正确结论的序号是______. 3．（25-26高一上·浙江·期中）已知函数. (1)若，判断的奇偶性并加以证明； (2)当时，用定义法判断并证明函数在上的单调性. (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 4．已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证：函数为奇函数； (3)求的值. 5．设为实数，函数. (1)当时，判断函数的奇偶性并说明理由； (2)若在区间上为增函数，求的取值范围； (3)求在上的最大值. 新定义问题题型06 1．已知狄利克雷函数则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B．是单调函数 C．的值域 D． 2．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.根据此想法，我们可以求函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 3．若，其中表示，中的最大者，表示中的最小者，下列说法不正确的是（    ） A．函数为偶函数 B．当时，有 C．不等式的解集为 D．当时，有 4．函数，给出下列四个结论： ①的值域是； ②且，使得； ③任意且，都有； ④规定，其中，则． 其中，所有正确结论的序号是______________． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $