练案19 第三章 3.1.2 第2课时分段函数-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教A版）

练案[19] 第三章3.13.1.2[第2课时 分段函数] A组·基础巩固 3x+2,x<1, 6.已知函数f(x)= x2-a,x≥1 若fLf(0)]=a, 1.一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时 间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达 则实数a= 下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，7.已知函数f(x)的图象如图所 一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似 示，则∫(x)的解析式 地刻画出这列火车的速度变化情况的是 是 ( 「x,x>0 8.函数y 的定义域为 1-2,x<0 速度 ↑速度 速度 ,值域为 时间02 时间0 时间 9.已知函数f(x)=2+-21x 3 (-2<x≤3). D (1)用分段函数的形式表示函数f(x); 2x,x>0, 2.已知函数f(x)= 若f(a)+f(1)=0, (2)画出函数f(x)的图象； x+1,x≤0. (3)写出函数f(x)的值域， 则实数a的值等于 A.-3 B.-1 C.1 D.3 「x+3,x>10, 3.f(x)= 则f(5)的值是 fLf(x+5)],x≤10， -2-10 123 A.24 B.21 C.18 D.16 fx2-4x+6,x≥0， 4.已知函数∫(x)= 则不等式 x+6,x<0, f(x)>f(1)的解集是 A.（-3,1)U(3,+∞) B.(-3,1)U(2,+∞) C.(-1,1)U(3,+∞) D.(-0,-3)U(1,3) 5.(多选)已知狄利克雷函数f(x)= 「1，x是有理数， 则下列结论正确的是( 0,x是无理数， A.f(x)的值域为[0,1] B.f(x)的定义域为R C.f(x+1)=f(x) D,f(x)的图象经过点（分，0】 —226— 「x+2,x≤-1， C组·拓展提升 10.已知函数f(x)= 2x,-1<x<2, 15.经过市场调查，某种商品在销售中有如下关 5≥2 系：第x(1≤x≤30，x∈N,)天的销售价格（单 (1)求-3)（号】的值： 位：元/件)为f(x)= 20+,1≤x≤10，第x天 40-x,10<x≤30， 的销售量（单位：件）为g(x)=a-x(a为常 (2)若f(a)=2,求a的值 数)，且在第10天该商品的销售收入为 600元（销售收入=销售价格×销售量）. (1)求a的值，并求第15天该商品的销售 收入； (2)求在这30天中，该商品日销售收人y的 最大值 B组·综合运用 rx+1,x<1, 11.已知函数f(x)= 2 ,x≥1， 若f(a)=f(a+ 16.已知函数f(x)=-x2+2,g(x)=x,令p(x)= 2),则f(a-1)= ( min{f(x),g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小 A.3或1B.0或-2C.0 D.1 者) 12.已知f(x)= 「x2+1,x≤0， （1)分别用图象法和解析式表示φ(x); 12x,x>0, 若f(a)=10,则a= (2)求函数φ(x)的定义域，值域. A.-3或3 B.3或5 C.-3或5 D.3 13.(多选)已知函数f(x)= x+2,x≤-1关于函 x2,-1x<2, 数f(x)的结论正确的是 A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为(-∞，4) C.若f(x)=3,则x的值是3 D.f(x)<1的解集为(-1,1) 14已知f(x)=K0)则不等式(x)+≤2 0(x<0), 的解集是 —227因为f(0)=3,所以c=3. 因为f(x)≥2=f(1)恒成立，∴.函数f代x)图象对称轴为x=1, f(1)=a+b+3=2 所以b =1 解得1， b=-2. 2a 故f(x)=x2-2x+3. (2)由(1)可知f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2. 因为-1≤x≤4，所以-2≤x-1≤3， 所以0≤(x-1)2≤9，所以2≤(x-1)2+2≤11. 所以f(x)在[-1,4]上的值域为[2,11]. 练案[19] 1.B根据题意知，这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除 A,D,然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C, 故选B 2.A因为f代1)=2，所以由f代a)+f代1)=0，得fa)=-2,所以a 肯定小于0，则f(a)=a+1=-2,解得a=-3. 3.Af(5)=fLf(10)]f(10)=f[f(15)]=f(18)=21,∴f(5)= f(21)=24.故选A. 4.A画出函数f(x)的图象如图所示，令f(x)=f(1),得x=-3, 1,3,所以当f(x)>f(1)时，必有x∈(-3,1)U(3,+∞).故 选A. 3y=)=3 6-3013x 5.BCf(x)的值域为0,1}，故A错误：f(x)的定义域为R,故 B正确：当x是有理数时，x+1也为有理数，当x是无理数时，x +1也为无理数，故f(x+1)=f(x)成立，故C正确；因为 (分)=1，所以)的图象经过点（行），放D错误 64 3 依题意知f0)=3×0+2=2,则f[f(0)]=f(2)=22-2a= 4 a,求得a=3 7.f(x)=+1,-1≤x<0, 由题图可知，图象是由两条线段组 l-x,0≤x≤1 成，当-1≤x<0时，设f(x)=ax+b(a≠0)，将(-1,0)，(0,1)代 人解折式么O0士即e1当0医 时，设f(x)=x,将(1，-1)代人，则k=-1,即f(x)=-x.综上， fx)=+L,-1≤K0, -x,0≤x≤1. 8.(-∞，0)U(0,+∞)-2}U(0,+∞)由题目解析式中的 信息可知，xe(-∞，0)U(0,+∞)；当x<0时，y=-2,当x>0 时，x>0,y=x∈(0，+0).∴.函数的值域为{-2}U(0,+0). 9(1)当0<x≤3时，f(x)=2+-2 3 =2- 31 当-2<x≤0时，x)=2++2=x+2, 3 rx+2,-2<x≤0， 综上，函数f(x)的解析式为f(x)={ 3,0<xs3. 2- (2)图象过点(-2,0)，(0,2)，(3,1)， 其中点(-2,0)是空点，(0,2)和(3,1)是实心点，函数f(x)的 3 图象如图所示： -3-2-10 3 (3)由图得函数f(x)的值域为(0,2] 10.(1)因为-3<-1，所以f(-3)=-3+2=-1. 3 3 3 因为-1<2<2，所以f(2）2x2=3 又32.所以(】)-号 (2)当a≤-1时，由f(a)=2, 得a+2=2,a=0,舍去； 当-1<a<2时，由f(a)=2,得2a=2,a=1; 当a≥2时，由f(a)=2, 得g=2.a2或a=2(舍去 综上所述，a的值为1或2. 11.C画出f(x)的图象，由f(a)= ,a<1, f(a+2),可得 a+2≥1， 所以 2 a+1= a+2 1 1a+2 ra<1, a≥-1， 解得a=0.所以f(a la(a+3)=0, -1)=f(-1)=0.故选C. 12.C由题意，当a≤0时f(a)=a2+1=10,解得a=-3或a=3 (舍去)；当a>0,f(a)=2a=10,解得a=5;综上，a=-3或a= 5,故选C. 13.BC由题意知函数f(x)的定义域为(-∞，2)，故A错误：当 x≤-1时f(x)的取值范围是(-∞，1]，当-1<x<2时，f(x) 的取值范围是[0,4)，因此f(x)的值域为(-∞，4)，故B正 确；当x≤-1时，x+2=3,解得x=1(舍).当-1<x<2时，x2= 3,解得x=√3或x=-√3（舍），故C正确；当x≤-1时，x+2< 1,解得x<-1,当-1<x<2时，x2<1,解得-1<x<1,因此f(x)<1 的解集为(-∞，-1)U(-1,1),故D错误 14.{xlx≤1}当x≥0时，f(x)=1,由f(x)+x≤2，知x≤1，∴.0 ≤x≤1：当x<0时，f(x)=0,知x≤2，.x<0.综上，不等式的 解集为xlx≤1}. 15.(1)当x=10时，由f(10)·g(10)=(20+10)(a-10)=600, 解得a=30. 从而可得f(15)g(15)=25×15=375(元)， 即第15天该商品的销售收人为375元. (2)由题意可知)y=(20+)(30-),1≤x≤10， L(40-x)(30-x),10<x≤30， 「-x+10x+600,1≤x≤10， 即y 1x2-70x+1200,10<x≤30， 当1≤x≤10时，y=-x2+10x+600=-(x-5)2+625, 故当x=5时y取最大值，ym=625, 当10<x≤30时，y<102-70×10+1200=600 故当x=5时，该商品日销售收人最大，最大值为625元 2 16.(1)在同一个坐标系中画出函数f(x),g(x)的图象如图1. g(x)=x fx)归-x2+2 x 图1 图2 由图1中函数取值的情况，结合函数(x)的定义，可得函数 p(x)的图象如图2. 令-x2+2=x,得x=-2或x=1. 结合图2，得出φ(x)的解析式为 [-x2+2,x≤-2， p(x)={x,-2<x<1, [-x2+2,x≥1. (2)由图2知，p(x)的定义域为R,因为p(1)=1, .o(x)的值域为(-o,1]. 练案[20] 1.C若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用 “U”连接 2.A根据一次函数、二次函数、反比例函数的单调性可知： f(x)=10-2x在(0，+)上单调递减；f(x)=x2-3x在 (0,引上单润递诚，在[号+)上单调递增)=2a f(x)=-在(0，+)上单调递增。 3.C因为函数f(x)在R上是减函数，3<5，所以f(3)>f(5). 4.DA错误，x1,x2只是区间(a,b)上的两个值，不具有任意 性；B错误，无穷并不代表所有、任意；C错误，例如函数y= 一在(-。，)和(1，+)上分别递诚，但不能说)亡在 x-1 (-∞，1)U(1,+∞)上递减；D正确，符合单调性定义. 5.C因为函数y=f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(-m+9), 所以2m>-m+9,即m>3. 6.（-∞，1)和(1，+∞）由图象可知，f(x)的单调递增区间为 (-0,1)和(1，+0). (x,2] 函数f(x)的图象如图所示，由图象易知函数的 单润递诚区间为-“，引】， 8,) 由题意得12：解得1≤≤20，因为 f(t)是定义在区间[-1,1]上的增函数，且f(x-2)<f(1-x), 所以x-2<1-x,解得x<2 3 ②.①②得1≤<2所以满足 题设条件的x的取值范围为1,2) 31 9.y=-x2+21xl+3 =+2x+3(x≥0)， 1-x2-2x+3(x<0), e0 3-20123 函数图象如图， 3 所以函数递增区间是(-∞，-1)和[0,1]；函数递减区间是 [-1,0]和(1，+0). 10.函数y=x-一在(0，+∞)上单调递增. 证明)=x上，设0<，，则 又由0<<<0,1+1>0. x12x2 .f(x1)-f(x2)<0,.fx1)≤fx2), 放函数)=在(0，+)上单调递增 11.CD因为f(x)在[a,b]上是增函数，所以对于任意的x1,x2 e[a,b](x1≠x2),x1-x2与f(x1)-f(x2)的符号相同，故A B正确，D不正确；C中，若x1<x2,则f(a)≤f(x1)<f(x)≤ f(b),所以C不正确，故选CD. 12.BD当a=0时，f(x)=-12x+5,在R上是减函数，A错误； 当a=1时，f(x)=2x2-8x+5,其单调递减区间是(-0,2]，因 此f(x)在(-∞，0)上单调递减，B正确；由f(x)的单调递减区 r2a>0, 间是(-0，-4]得4(a-3》=-4,a的值不存在，C错误；在 4a D中，当a=0时f(x)=-12x+5,在(-∞，3)上是减函数；当 ra>0, 3 a≠0时，由4《a3》≥3，得0<a≤子，所以a的取值花国 4a 足0，引，D正晚 13.(-∞，+o)根据题意，函数f(x)= 2+1，x≥0，则在区间 1-x2+1,x<0, [0,+∞)上f(x)=x2+1为增函数，且f(x)≥1，在区间 (-∞，0)上f(x)=-x2+1为增函数，且f(x)<1,故f(x)在R 上为增函数，即其递增区间为(-0，+∞). 14根据题意，函数f()=-(a+1)x+7(x≤1)， L(a-4)x+5(x>1) 是R上的减函数，必有宁≥1， 且a-4<0,且1-(a+1)+7≥(a-4)+5, 解得1≤a≤3，即a的取值范围为[1,3]. 15(1)3+中2)在(-2，+)上单制道减，证明 x+2 如下：设x1>x2>-2, 11 x2一x1 则()f(x)+2+2(x+2)(2) 因为x>x2>-2,所以x+2>0,x2+2>0,2-x1<0, 所以f代x1)-f(x2)<0, 所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在(-2，+∞)上单调递减. (2)由(1)可知，当x∈(-2,2)时，函数f(x)单调递减， 所以由f(-2m+3)>f(m2) r-2<-2m+3<2, 得{-2<m2<2,解得1<m<2, 【-2m+3<m2, 所以m的取值范围为(1，√2). 16(①)在/(）f)-)申， 令x=y=1,则有f(1)=f(1)-f(1),∴.f(1)=0. (2)f6)=1…f+3)f(兮）<2f6)(6). 73