练案12 第二章 2.2 第1课时基本不等式-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教A版）

练案[12] 第二章 2.2[第1课时 基本不等式] A组·基础巩固 9.(1)已知x>0,求y=2--4的最大值： 1.下列不等式中正确的是 (2)已0<2求y(1-2x)的最大简 1 Aa+4≥4 B.a2+b2≥4ab a Cv≥ D.x4 ≥23(x≠0) 2.已知x,y为正实数，且y=4,则x+4y的最小 值是 ( A.4 B.8 C.16 D.32 3.已知函数y=x+二-2(x<0),则函数有( ) A.最大值为0 B.最小值为0 C.最大值为-4 D.最小值为-4 4.已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最 ()10.设x>0,求证：x+ 23 大值为 +2+1≥2 A.16 B.25 C.9 D.36 5.(多选)若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式恒 成立的有 ( A.ab≤1 B.√a+√b≤√2 1,1 C.a2+b2≥2 6≥2 D.+ 6.当x>1时，(x-1)+ ++2的最小值为 9 7.已知a>b6>c,则V(a-b)0-0与2的大小关 系是 8.已知>0，y>0,且满足+y=1,则y的最大 34 值为 取得最大值时y的值 为 211 B组·综合运用 C组·拓展提升 1不等式 ,+(x-2)≥6（其中x>2)中等号成15.当x>0时，若2x+“(a>0)在x=3时取得最 立的条件是 ( 小值，求a的值 A.x=3 B.x=6 C.x=5 D.x=10 12.若正数x,y满足x2+3xy-1=0,则x+y的最小 值是 得 B22 Q 3 n23 13.（多选)设a,b∈R,且a≠b,a+b=2,则必有 ( ) A.ab<1 B1<0 2 C.abtb* 2 D.Q￥6 <ab 2 14.若a>0,b>0,且a+2b=4,求ab的最大值 16.已知x,y为正实数，3x+2y=10,求W=√3x+ √2y的最大值 212—13BC当a=1,6=-1时，满足a>b,但公<1，故A错误：若a> 02+a24一>0，故B正确；因为2-2=2<0，所 3+a33(3+a) 以c2>0,a-b<0,则a<b,故C正确；当c=3,a=2,b=1时，。 >名成D错误改选C ) 5 14.z=2x-3y=- -25s5 1 5 3≤-2(x+y)+2(x-y)≤83≤a≤8. 15.①对于①，由题意a,b为正实数，则a2-b2=1→a-b= →a-b>0=a>b>0,故a+b>a-b>0.若a-b≥1，则 6≥1→at b≤1≤a-b,这与a+b>a-b>0矛盾，故a-b<1成立.对于②， 取特殊值a=3,6=子，则a-6>1对于③，取特殊值a=9,6 4时，la-b1>1. 16.由②可知4>0.bc-0,若3式成立，即bc>ad,则c a b ab -a>0,ab>0,故由②③→①正确；由①ab>0得 >0,不等 式d两边时承石得盒需台号放由①32加 be ad c d 确：由2得后台0,0，若①成立.则c0,故由 ab ①②→③正确.综上可知，①③-→②，①②→③，②③→①. 练案[12] 4 1.Da<0,则a+一≥4不成立，故A错：a=1,b=1,a2+b<4ab, 放B错：a=4,6=16,则v瓜<，放C错：由基本不等式可知 D项正确， 2.B:x>0,y>0,x+4y≥2√x·4y=8,当且仅当x=4y且y =4,即x=4,y=1时取等号，.x+4y的最小值为8.故选B. -2≤-2-2=-4，当且仅当-x =子即=-1时取等号。 4.B因为x>0,y>0,且x+y=8,所以(1+x)(1+y)=1+x+y+xy= 9≤（空）广=94=25，当且仅当=4时，等号成 立，故(1+x)(1+y)的最大值为25. 5A0D因为b≤（空尝）广=1，所以A正确：因为石+产= +b+2√ab=2+2ad≤2+a+b=4,所以B不正确；a2+b2≥ 11a+b_2」 (a+b）卖2.所以C正确。+b=ab=a6≥2，所以D正确！ 2 68令1=(-)+号+2，因为-1>0.所以1三 -D·号2=8，当组仅当19 即x=4时，1的 最小值为8. 3 7.a-06可≤号因为a>6>e,所以a-b>0,6-6>0 a--可≤0-6c-号当组仅当a-=6-c,即a= 2 2水时，等号成立所以V@-0网≤受 832因为00，>0.且1合字≥2√侣所以≤3当 且仅当号=子了即：=子-2时取等号 3 4 9.(1).x>0,.x+-≥4. 当且仅当兰(0).即=2时版等号， y2-(）<2-42 mx=-2. (2)0<x<2.1-2x>0, 1 1 y=2(1-2x)=4×2x(1-2) 好22到*6 当且仅当2x=1-2x,即x=子时取等号， 故y=了(1-2)的最大值为6 10..x>0, 2 + x+ 2 2 ≥2 2-1、3 。12 *2 22 当且仅当+ 十回：宁时取等号 x*2 综上所述，原式得证 1Lc2-202(-2)≥2√2《2=6 9 当且仅当9 2-2，即x=5时，等号成立，故选C 1/1 12B由+3y1=0可得y=3（因为>0，所以 _2x1 33x1 即号，等号成立）故中的显小值为己9 2√2 a+b a +b2 atb 13.ABC ab-≤(2)a≠b,b<l,又√2>2，a+ a2+b2 62,2>1,…bc1k2 2 14..a>0,b>0,a+2b=4,.4=a+2b≥2√/2ab, .ab≤2，当且仅当a=2b时取等号，即a=2,b=1时取等号. .∴.ab的最大值为2. 6 150a0,且2x+≥2√2x·是=2Vm, 当且仅当2x兰即=冬时，2兰取得最小值， 2=3,解得a=18, 2 16.:x,y为正实数，3x+2y=10, .W=3.x+2yr+2√3x·2y≤10+(3x+2y)=20, 当且仅当3=2,3+2=10，即x=y=时，等号成立 .W≤25，即W的最大值为25. 练案[13] 1.D由a+6+2可得，a+2+6+4,又因为a+2>0,6+1>0,则 b+1+9=1/ (a+2)(b+1)+ a*2760≥610=4，当且仅当a+206-1 9 3时，即当a=1,b=0时，等号成立.因此b+1+ +2的最小值为 4放的最小值为3设这D 2.C因为a>0,b>0,所以4≤a+等价于4≤1+ ab a+6,只需ts r4b a 2√巴只459，当且仅当8：即。=2弘=兮时等号 La+4b=1, 成立.所以≤9 3Ac者0.则+-()-2-0(】 -2,当且仅当x=-1时取等号，A正确；若x∈R,则 x+2 2+1 +1V+≥2： =2,当且仅 x2+1 x2+1 V 2+1 当=0时取等号，B正确：当>0时，x+≥2x·=2) x 当且仅当x=1时取等号，结合选项A,xeR且x≠0时，则 2,c正确：若a0.则(1a(1+）-2*a+≥2 1 x 1 +2√a·。=4,当日仅当a=1时取等号，但a>1,所以等号 取不到，D错误， 41≥ 2-4310,y=241-21=2么-4 2-422x-44 24≥2√2241当且仅当224母3时 取“=”」 5.因为20，>0，x+8=,所以8+1=1， x Y 所u*3-(）水*3 =104x+16y≥10+2，/ x.16y=18, y x y x 3 8+1-1, 当且仅当 x Y 即/xs12, 0=3 时等号成立 16y Y x 所以x+2y的最小值为18 2 50· 当最后一辆汽车出发，第一辆汽车走了 时，最后一辆车走完全程共需要400小时，所以一共需要 (0,小时，结合基木不等式.计算数值，可得96产 16 2√四60当且仅当6即=0时等号成 立，故最少需要10小时. 7.设每月销售该商品所获得的总利润为Z元，该商品每袋的利 润为(x-3)元， 每月的销售量为1000y袋， 则7=100nt-3)=1o(95jx-5+2)=10mo+ 20 55(-5)+10], 因为5<x<10,所以5(x-5)>0, 50, 所以Z=1000 20+20 +x5+5(x-5)}≥100[ 20+ 20 2V55(x-5) =1000×(20+20)=40000,当且仅 20 x-5 =5(x-5),即x=7时 等号成立」 所以当该商品每袋售价7元时，该超市每月销售该商品获得 的利润最少，最小值为40000元. 8.(1)不存在. 因为正实数x,y满足x+y=4,所以4=x+y≥2，所以y ≤4. 当且仅当x=y=2时，等号成立， 故不存在正实数x,y,使得y=5 (2)证明：由x+y=4得(x+1)+(+2)=7, 又因为x,y都是正实数， 所以14 x+1y+2 E[(x+1)+(y+2)]· 1+4 x+1y+2 5+*24(x+D] =75x+1+2 ≥52 /y+24(x+1) y+2 =7 当且仅当424(x+1 x+1 y+2 时，等号成立 48 又因为x+y=4,所以x= 3=3时等号成立. 练案[14] 1.D不等式变形为2x2+x-6>0,又方程2x2+x-6=0的两根为 x=2=-2,所以不等式的解集为 -2或心}故 选D. 2.D不等式x2-ax-6a2<0可化为(x-3a)(x+2a)<0.:a<0, .∴.不等式的解集为{x|3a<x<-2a},故选D. 7