2.2 基本不等式（突破疑难）-【学而思】2026-2027学年高一数学必修第一册课时作业（人教版·新教材）

2.2　基本不等式 知识易错易混 【知识导图】 【易错易混】 忽略等号成立的一致性 连续使用基本不等式求最值时,要注意各不等式取等号时条件是否一致,若不能同时取等号,则连续用基本不等式求不出最值,此时需要对原式进行适当的拆分或合并,直到取等号的条件成立. 例1 若a>0,b>0,则++b的最小值为　　　　.  [答案] 2 [解析] ∵a>0,b>0,∴++b≥2+b=+b≥2=2,当且仅当=且=b,即a=b=时等号成立,∴++b的最小值为2. 解题方法拓展 【方法解读】 利用基本不等式求最值的常用方法——配凑法、常数1的代换、消元法 1.配凑法 配凑法的实质是代数式的灵活变形,即将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项、凑系数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法. 2.“1”的整体代入 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数); (2)把确定的定值(常数)变形为1; (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式; (4)利用基本不等式求解最值. 3.消元法 对于含有多个变量的条件最值问题,若直接运用基本不等式无法求最值,可尝试减少变量的个数,即根据题设条件建立两个变量之间的函数关系,然后代入代数式转化为只含有一个变量的函数的最值问题,即减元(三元化二元,二元化一元). 例2 已知x>-4,则2x+的最小值为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.2-8 B.2+8 C.2 D.2+4 [答案] A [解析] 因为x>-4,所以x+4>0,所以2x+=2(x+4)+-8≥2-8,当且仅当2(x+4)=,即x=-4时等号成立,所以2x+的最小值为2-8.故选A. 例3 (1)已知正数x,y满足+2y=1,则2x+的最小值为 (　 ) A.36 B.24 C.18 D.12 (2)已知x+y=3,且x>0,y>0,则+的最小值是 (　 ) A.1 B.2 C. D.2 [答案] (1)B　(2)A [解析] (1)因为x>0,y>0,+2y=1,所以2x+==12++4xy≥12+2=24,当且仅当=4xy,即x=6,y=时,等号成立.故选B. (2)∵x+y=3,∴x+y+1=4,则[x+(y+1)]=1,∴+=[x+(y+1)]=≥=1,当且仅当即时取等号.故选A. 例4 已知正实数a,b满足ab+2a+3b=9,求a+3b的最小值. 解:方法一:由ab+2a+3b=9,得b==-2+, 则a+3b=a-6+=a+3+-9≥2-9=6-9, 当且仅当a=3-3时取等号,所以a+3b的最小值为6-9. 方法二:由ab+2a+3b=9,得(a+3)(b+2)=15, 令m=a+3,n=b+2,则mn=15. a+3b=m-3+3(n-2)=m+3n-9≥2-9=6-9, 当且仅当m=3,即a=3-3时取等号,故a+3b的最小值为6-9. 【教材拓展】 基本不等式链 深挖课本——不等式链的几何解释 ≥≥≥(平方平均数≥算数平均数≥几何平均数≥调和平均数). 证明:作半圆如图所示. 令AC=a,BC=b,则半径OF=(算数平均数), 在Rt△OFC中,直角边OF=,OC=-b=, 斜边CF===(平方平均数). 由图可知CF≥OF,则≥(平方平均数≥算数平均数). 在Rt△ODC中,过点C作OD的垂线,垂足为E,根据射影定理得CD2=DE·OD, 即DE===(调和平均数). 在Rt△CDE中,直角边DE=,斜边CD=(几何平均数), 由图可知CD≥DE,则≥(几何平均数≥调和平均数). 例5 基本不等式≥(a>0,b>0)可以推广成基本不等式链,在不等式证明和求最值中有广泛的应用,具体为≥≥≥(a>0,b>0). (1)证明不等式≥.上面给出的基本不等式链是二元形式,其中≥(a>0,b>0)指的是两个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数,类比这个不等式给出对应的三元形式,即三个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数(无需证明). (2)若一个直角三角形的直角边分别为a,b,斜边c=4,求直角三角形的周长l的取值范围. 解:(1)要证≥,即证≥, ∵-===≥0, ∴≥,即≥,当且仅当a=b时等号成立. 三元形式:≥(a>0,b>0,c>0). (2)由题得a2+b2=c2=16, ∵≥(a>0,b>0),∴a+b≤2=4,当且仅当a=b=2时取等号, 又a+b>c=4,∴a+b+c>8,∴三角形的周长l的取值范围为8<l≤4+4. 学科网（北京）股份有限公司 $