练案10 第二章 2.1 第1课时不等式关系与比较大小-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教A版）

练案[10] 第二章2.1[第1课时 不等式关系与比较大小] A组·基础巩固 8.一辆汽车原来每天行驶xkm,如果这辆汽车每 1.大桥桥头立着的“限重40吨”的警示牌，是提 天行驶的路程比原来多19km,那么在8天内 示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质 它的行程就超过2200km,写成不等式 量T满足关系 ( 为 ;如果它每天行驶的路程比原来少 A.T<40 B.T>40 12km,那么它原来行驶8天的路程就得花 C.T≤40 D.T≥40 9天多的时间，用不等式表示为 2.设M=x2,N=-x-1,则M与N的大小关系是 9.有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种 方式运输，每天每艘轮船和每架飞机运输量如 A.M>N B.M=N 下表： C.M<N D.与x有关 轮船运输量/八 飞机运输量/八 3.已知a>0,b>0,M=√a+√b,N=a+b,则M与 粮食 300 150 N的大小关系是 ( 石油 250 100 A.M>N B.M=N C.M<N D.不能确定 现在要在一天内至少运输2000t粮食和 4.若某高速公路对行驶的各种车辆的速度v的 1500t石油.写出安排轮船艘数和飞机架数 最大限速为120km/h,行驶过程中，同一车道 所满足的所有不等关系的不等式. 上的车间距d不得小于50m,则用不等式表示 为 ( A.v≤120km/h或d≥50m B.120 km/h, ld≥50m C.v≤120km/h D.d≥50m 5.（多选)下列结论正确的是 A.用不等式表示某厂最低月生活费a元不低 于300元为a≥300 B.完成一项装修工程，请木工需付工资每人 500元，请瓦工需付工资每人400元，现有 工资预算20000元，设木工x人，瓦工y人， 则满足的关系式是5x+4y<200 C.设M=x2+3,N=3x,则M与N的大小关系 为M>N D.若x≠-2且y≠1，则M=x2+y2+4x-2y的值 与-5的大小关系是M>-5 6.当m>1时，m3与m2-m+1的大小关系为 7.一个棱长为2的正方体的上底面有一点A,下 底面有一点B,则A,B两，点间的距离d满足的 不等式为 —207 10,设xER且x≠4，试比较x+3与的大小 C组·拓展提升 15.(1)已知a,beR,a+b>0,试比较a3+b3与ab2 +ab的大小； (2)已知a≥1，试比较M=√a+1-√a和N= √a-√Ja-1的大小 B组·综合运用 11.已知三角形的任意两边之和大于第三边，设 △ABC的三边长分别为a,b,c,将上述文字语 言用不等式（组）可表示为 () 「a+b>c A.a+b>c B. 16.甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品， la+c>b 分别采用两种不同的策略.甲的策略是不考 C./+c≥6 ra+b>c 虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数 D.a+c>b lb+c≥a 量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降， (b+c>a 每次购买这种物品所花的钱数一定 12.四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的 (1)若两次购买这种物品的价格分别为6元， 爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半 4元，求甲两次购买这种物品和乙两次购 径相等的圆口酒杯，如图所示.盛满酒后他们 买这种物品的平均价格分别为多少； 约定：先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的高 (2)设两次购买这种物品的价格分别为α元， 度从左到右依次为h,h2,h,h4,则它们的大 b元(a>0,b>0),问甲、乙谁的购物比较 小关系正确的是 经济合算 A.h2>h>ha B.hi>h2>h3 C.h3>h2>h4 D.h2>h4>h1 13.（多选)设实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c- b=4-4a+a2,则下列不等式成立的是(） A.c<b B.b≥1 C.b≤a D.a<c 14.已知b克糖水中有a克糖(b>a>0),若再添 上m克糖(m>0),则糖水就变甜了，试根据 此事实提炼一个不等式，当b>a>0且m>0 时， —20810.由3a+x-2=0,得3a-2=-x, .-3≤x≤2，∴.-2≤-x≤3， 5 .-2≤3a-2≤3，即0≤a≤3， 故实数a的取值范围是a0≤a≤3} 51 11.D因为x+3≥0，所以A={xlx≥-3}.又因为对Va∈M,都 有aA,所以a<-3.故选D. 12.AB易知选项A、B为真命题：C中命题当x<0时，IxI>x,所 以C为假命题：D中，由于a-b=2n-3n=-n,.n∈N时，-n <0,∴.a-b=-n<0,所以对于任意的neN,都有a<b,即a≠ b,故D为假命题. 13.ABD当A={1,2},B={1,2,3}时，满足条件“3x∈B,xE A”,且有AB,A∩B=1,2}≠⑦，则A、B正确；若BA,则 Hx∈B,都有x∈A,与“]x∈B,xEA”矛盾，那么B不可能 是A的真子集，则C错误：当A=1,2},B=3,4}时满足条 件“3x∈B,xA”且有A∩B=☑，则D正确 14a≥1若p是真命题，则-2x7+a≥0，即a≥1.若g为假命 题，即△=1-4(2a-1)<0,则a> 8,故a≥1. 15./n∈N且n≥2,13+2+3+…+n=(1+2+3++n)2根据 已知等式可得，对于任意n∈N*且n≥2，总有13+2+33+… +n3=(1+2+3+…+n)2,所以得到如下全称量词命题：Hn N且n≥2,13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2. 16.(1)当m=0时，y=x-a与x轴恒有公共点，所以aeR (2)当m≠0时，二次函数y=mx+x-m-a的图象和x轴恒有 公共点的充要条件是△=1+4m(m+a)≥0恒成立，即4m2+ 4am+1≥0恒成立. 设y1=4m2+4am+1,则可转化为此关于m的二次函数的图 象恒在m轴上方（或图象顶点在m轴上）的充要条件是A =(4a)2-16≤0，可得-1≤a≤1. 综上所述，当m=0时，a∈R; 当m≠0时，a∈{al-1≤a≤1}. 练案[9] 1.C原命题是全称量词命题其否定是“3x∈R,Ixl+x<0” 2.B根据全称量词命题的否定是存在量词命题，∴.命题p:所 有一班学生都会做第1题的否定是存在一个一班学生不会做 第1题.故选B. 3.C由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全 称量词命题，再否定命题结论.故选C. 4.ABD由题意，有理数是实数的否定：有些有理数不是实数， 是假命题.有些四边形不是菱形的否定：所有的四边形都是菱 形，是假命题.Hx∈R,x2-2x>0的否定：3x∈R,x2-2x≤0. 是真命题.3x∈R,2x+1为奇数的否定：Hx∈R,2x+1都不是 奇数，是假命题 5.ABD“有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为 全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C 错误 6.3a,b∈R,方程ax+b=2无解或至少有两解 7p:3a,b∈ R,方程x+b=2无解或至少有两解. 7{mm≥4} 命题“3xe{≥-4}xm<0是假命题 1 即命题的否定为真命题.其否定为：“x∈{xx之4}x+m ≥0”，解得m≥4 8.存在量词命题假HxeR,x2+2x+5≥0命题p:3x∈R, x2+2x+5<0是存在量词命题.因为x2+2x+5=(x+1)2+4>0恒 成立，所以命题p为假命题.命题p的否定为Hx∈R,x+2x+5 ≥0. 30 9.(1)至少存在一个正方形不是矩形，假命题. (2)对任意x∈R,x+1≠0，假命题. (3)所有的四边形都有外接圆，假命题 10.(1)该命题是全称量词命题，是真命题.该命题的否定：存在 一个非空集合，空集不是该集合的真子集 (2)该命题是全称量词命题，是真命题.该命题的否定：存在 一对等圆，其面积不相等或周长不相等 (3)该命题是存在量词命题，是真命题因为当x=1时，1x-21= 1<2.该命题的否定：x∈{-2，-1,0,1,2}，lx-21≥2 11.AC因为命题p:“VxeR,x2+1≠0”的否定是“]xeR,x2+ 1=0”.且p为真命题，则p是假命题故选AC 12.B对于p而言，取x=-1,则有1x+11=0<1,故p是假命题， 一p是真命题，对于g而言，取x=1,则有x=13=1=x,故g 是真命题，9是假命题，综上，7p和g都是真命题.故 选B. 13.3a≥0，关于x的方程x+ax+1=0没有实数解 14.{ala>4}HxeR,x2-4x+a≠0若命题p为假命题，则 p:HxeR,x2-4x+a≠0为真命题，则4=(-4)2-4a<0,解 得a>4. 15.命题“3m∈R,使得A∩B≠☑”为假命题，则其否定“Hm∈ R,A∩B=☑”为真命题 当a<0时，集合A={xl0≤x≤a}=☑， 符合A∩B=☑，当a≥0时，因为m+3>0. 所以由Hm∈R,A∩B=☑， 得a<m+3对于Hm∈R恒成立， 当meR时，有m+3≥3，所以a<3,则0≤a<3, 综上，实数a的取值范围为{ala<3}. 16.命题p的否定为：“H1≤x≤2，使得x+2ax+2-a≤0”， 设y=x2+2ax+2-a,1≤x≤2， 由题这，有公计202-8解得a53 因为命题p为真命题，所以p的否定为假命题 所以a>-3,即a的取值范围是a>-3. 练案[10] 1.C 112 3 2AM-N=+1=(x+2)+>0,故MN 3.A易知M>0,N>0,因为M2-N2=(√a+√b)2-(√a+b)2= 2√Jab>0,所以M>N. 4.B考虑实际意义，知v≤120km/h,且d≥50m. 5.ACD对于A,可得a≥300，故A正确；对于B可得500x+ 400y≤20000，化为5x+4y≤200，故B错误；M-N=x2+3-3x= x-。）+>0,可得M>N,故C正确；因为x≠-2且y≠1 所以M-(-5)=x2+y2+4x-2y+5=(x+2)2+(y-1)2>0,即M> -5,故D正确. 6.m3>m2-m+1.:m3-(m2-m+1)=m-m2+m-1=m2(m-1)+ (m-1)=(m-1)(m2+1).又.m>1,故(m-1)(m2+1)>0, ..m3>m2-m+1. 7.2≤d≤23最短距离是棱长2，最长距离是正方体的体对角 线长2√3.故2≤d≤23. 8.8(x+19)>2200 x-12>9(D12)原来每天行驶xkm,现在 8x 每天行驶(x+19)km.则不等关系“在8天内它的行程就超过 2200km”,写成不等式为8(x+19)>2200.若现在每天行驶 (x-12)km,则不等关系“原来行驶8天的路程就得花9天多 的时间”用不等式表示为8x>9(x>12)。 x-12 64 9.设需要安排x艘轮船和y架飞机： r300x+150y≥2000，r6.x+3y≥40 则250x+100y≥1500.即5x+2y≥30. Lx∈N,yeN, lx∈N,y∈N 10.因为x+3-13 x+3 13_x2-x+1 4-x x-4x-4 1123 又-+1=(x-2)+4>0恒成立， 所以当4时-+1 40, 此时x+313 4-x 当x<4时-+ x-4 <0, 此时x+3<4- 13 11.D由三角形三边关系及题意易知选D. 12.A观察图形可知体积减小一半后剩余酒的高度最高为h2, 最低为h4.故选A. 13.BD因为+c=6-4a+3a,① lc-b=4-4a+a2② 由①-②得2b=2a2+2,即b=a2+1,所以b≥1.又b-a=a2+1- ,13>0,所以b>,而c-b=4-4a*a=(a-2)≥ a=(a-2)+4i 0,所以c≥b.从而c≥b>a. 14.utm a 6+m26 变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了，所以当 6>a>0且m>0时，6m2b a+m a 15.(1)因为a+b>0,(a-b)2≥0， 所以a3+b3-ab2-a2b =a'-a b+b'-ab2 =a2(a-b)+b2(b-a） =(a-b)(a2-b2) =(a-b)(a-b)(a+b) =(a-b)(a+b)≥0， 所以a3+b3≥ab2+a2b. (2)因为a≥1，所以M=√a+I-a>0,N=a-√a-I>0. 所以h-a+T-aa+Va-司 Na-√a-i√a+I+a 因为a本1+a>a+a1>0,所以<1，所以M<W 16.(1)设甲每次购买这种物品的数量为m,乙每次购买这种物 品所花的钱数为n. 所以甲两次购买这种物品的平均价格为m+4m-5(元)， m+m 乙两次购买这种物品的平均价格为2”24 +n(元). 64 (2)由(1)知，甲两次购买这种物品的平均价格为 am+bm_a+b m*m2(元)， 乙两次购买这种物品的平均价格为2n三2ab ”+九a+6(元). a b 因为0+62ab=(a+b)2-4ab 2a+b2(a+b) -a2+62-2a6(a-6)2 2(a+6)2(a+6≥0， 所以乙的购物比较经济合算 3 练案[11] 1.D对于选项A,由等式的性质3知，若x=y,则x+5=y+5,正 确：对于选项B,由等式的性质4知，若a=b,则ac=bc,正确： 对于选项C,由等式的性质4知，若”么，则a=6,正确：对 cc 于选项D,若x=y,则二=X的前提条件为≠0，故此选项 错误 2.C方法一：因为a>b>c,且a+b+c=0,所以a>0,c<0,所以ab> ac. 方法二：令a=1,b=0,c=-1,则ab=bc,ac<bc,alb1=1b1c,故 排除A、B、D,故选C. a b 3.D当c=-1时，若。<3，则a>b,与a<b矛盾，故选项A错 误；当c=0时，若a<b,则ac3=bc3=0,与ac<bc3矛盾，故选项 B错误；当a=5,b=6,c=-1,d=0,满足a<b,c<d,但a-c=b- d,这与a-c<b-d矛盾，故选项C错误；因为a-c<b-d,c<d,所 以由不等式性质可得：(a-c)+c<(b-d)+d,即a<b.因为a<b,c <d,由不等式性质可得：a+c<b+d,故选项D正确.故选D. 4.D由lx+101<50,得-50<x+10<50,解得-60<x<40,不满足题 意，故A不正确：由1x-101<50,得-50<x-10<50,解得-40<x< 60,不满足题意，故B不正确；由Ix-201<30,得-30<x-20< 30,解得-10<x<50,不满足题意，故C不正确；由1x-301<20, 得-20<x-30<20,解得10<x<50,满足题意，故D正确.故 选D. 5.ABC实数a,b,c满足c<b<a且ac<0,所以a>0,c<0,b不确 定.①因为a>0,b-c>0,所以ab>ac,故选项A正确.②因为c< 0,b-a<0,所以c(b-a)>0,故选项B正确.③因为ac<0,a-c> 0,所以ac(a-c)<0,故选项C正确.④当b=0时，cb2=ab2,故 选项D错误. 6.1,-2(答案不唯一，满足a>0,b<0即可) 7.{-1<<2}2h<a<-b,.2b<-b.6<0.6i -b a 1b 6 即-1g2 8.②③①中取a=-1,b=-2,n=2,不成立：②a>1b1,得a>0 11 a>b成立：③a<6<0,得。>6成立：④a<6<0,得a-6<0, 11 且a-b>a,故 <上，④不成立 a-b a 9..c<d<0,.-c>-d0.又a>b>0,.a-c>b-d>0, a b 6-ae30,又a>b>0-ta 10.(1).0<b<1,∴.-1<-b<0, 3<a+b<4,.2<a+b+(-b)<4,即2<a<4. (2).0<b<1,∴.-1<-b<0.又.2<a<4,∴.1<a-b<4. (3)0<1>1,又：2<42>2 11.D.a<0,-1<b<0,∴.ab>0,ab2<0,又-1<b<0,∴.0<b<1,两 边同乘以负数a,可知ab>a,∴.ab>0>ab>a,故选D. 12.BCD由于x,y为正实数，且x>y,两边乘以y得y>y,故A 选项错误；由于x,y为正实数，且x>y,所以x2>y,故B选项 正确；由于x,y为正实数，且x>y,m>0,所以y(x+m)-x(y+ m)=m(yx)<0,则y(x+m<x(y+m),所以之<tm成立，故 xx+m C选项正确；由于x,y为正实数，且x>y,所以>x-y>0,取倒 数得0<<一故D选项正确，故选BCD 65