2.1 等式性质与不等式性质（突破疑难）-【学而思】2026-2027学年高一数学必修第一册课时作业（人教版·新教材）

第二章　一元二次函数、方程和不等式 2.1　等式性质与不等式性质 知识易错易混 【知识导图】 【易错易混】 忽略不等式成立的条件 (1)注意不等式的单向性和双向性,也就是说每条性质是否具有可逆性.性质1和性质3是双向的,其余的在一般情况下是不可逆的; (2)在使用不等式的性质时,一定要弄清它们成立的前提条件.如性质5要求两个不等式为同向不等式;性质6要求两个不等式为同向不等式且不等式两边同正;性质7要求不等式两边同为正数且n∈N,n≥2. 例1 下列结论中正确的序号为　　　　.  (1)a>b⇒ac2>bc2;(2)a3>b3,ab>0⇒<; (3)>⇔a>b,c≠0;(4)>⇒a>b. [答案] (2)(3) [解析] 对于(1),当c=0时,ac2>bc2不成立,故(1)错误.对于(2),若a3>b3,ab>0,则a>b>0或b<a<0,所以<,故(2)正确.对于(3),若>,则c2>0,则a>b;若a>b,c≠0,则>0,则>,故(3)正确.对于(4),当c<0时,a<b,故(4)错误.故填(2)(3). 解题方法拓展 【方法解读】 利用不等式性质求范围 在不等式的性质中,要特别注意下面几点: (1)不等式的传递性:若a>b,b>c,则a>c.这是放缩法的依据,在运用传递性时,要注意不等式的方向,否则易产生如下错误:为证明a>c,选择中间量b,在证出a>b,c>b后,就误认为能得到a>c; (2)同向不等式可相加但不能相减,即由a>b,c>d,可以得出a+c>b+d,但不能得出a-c>b-d; (3)不等式两边同时乘一个数或式时,只有该数或式保证为正,才能得到同向的不等式,若不能保证所乘之数或式为正,则不等式两边同时乘该数或式后不能确定不等式的方向; (4)解决类似例4问题的关键是利用待定系数法,把a+b和a-b看作一个整体. 例2 设实数x,y满足1≤x≤2,6≤y≤8,则的取值范围是　　　　.  [答案] 3≤≤8 [解析] 因为1≤x≤2,所以≤≤1,又因为6≤y≤8,所以×6≤≤1×8,即3≤≤8,所以的取值范围是3≤≤8. 例3 若实数x,y满足-2≤x≤1,-2≤y≤1,则xy的取值范围为　　　　.  [答案] -2≤xy≤4 [解析] 当0<x≤1,0<y≤1时,0<xy≤1;当-2≤x<0,-2≤y<0时,0<-x≤2,0<-y≤2,此时0<xy≤4;当0<x≤1,-2≤y<0时,0<-y≤2,所以0<-xy≤2,即-2≤xy<0;当-2≤x<0,0<y≤1时,0<-x≤2,所以0<-xy≤2,即-2≤xy<0;当x=0或y=0时,xy=0.综上所述,-2≤xy≤4. 例4 实数a,b满足-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4,求3a-2b的取值范围. 解:设3a-2b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b,则解得 ∴3a-2b=(a+b)+(a-b). ∵-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4, ∴-≤(a+b)≤1,-≤(a-b)≤10,∴-4≤3a-2b≤11. 【教材拓展】 糖水不等式 b克糖水中含有a克糖,其浓度为(b>a>0),向溶液中加入m(m>0)克糖,其浓度变为,因为糖水变甜了,所以>.称当b>a>0,m>0时,不等式>为糖水不等式. 糖水不等式可以结合放缩法来证明. 例5 已知x克糖水中含有y克糖(x>y>0),向杯中再添加m(m>0)克糖(全部溶解),糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”. (1)请将上述事实表示为一个不等式,并证明该不等式成立; (2)已知a,b,c是三角形的三边,求证:++<2. 解:(1)“糖水不等式”为:若x>y>0,m>0,则<. 证明:由x>y>0,m>0,得-==>0,所以<. (2)证明:因为a,b,c是三角形的三边,所以0<a<b+c,所以<, 同理<,<, 所以++<++=2. 学科网（北京）股份有限公司 $