练案2 第一章 1.1 第2课时集合的表示-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教A版）

练案[2] 第一章1.1[第2课时集合的表示] A组·基础巩固 8.两边长分别为3,5的三角形中，第三条边可取 1.用列举法表示集合{x|x2-3x+2=0}为( 的整数的集合用列举法表示为 A.{(1,2)} B.{(2,1)} 用描述法表示为 C.{1,2 D.{x2-3x+2=0 9.用列举法表示下列集合： 2.下列集合中，不同于另外三个集合的是 ( ( (2){(x,y)ly=3x,xeN且1≤x<5}, A.{x|x=1} B.{y|(y-1)2=0 C.{x=1} D.{1 3.对集合{1,5,9,13,17}用描述法表示，其中正 确的是 A.{x|x是小于18的正奇数 B.{xlx=4h+1,k∈Z,且k<5 C.{xlx=4t-3,t∈N,且t≤5 D.{xlx=4s-3,s∈N*,且s≤5 4.直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合为 A.{0,1} B.{(0,1)} cz. D{(3月 5.(多选)大于4的所有奇数构成的集合可用描 述法表示为 A.{xlx=2k-1,k∈N B.{xlx=2k+1,k∈N,k≥2 C.{x|x=2k+3,k∈N} D.xlx=2k+5,kEN 6.下列说法：①集合x∈NIx3=x用列举法可表 示为{-1,0,1}；②实数集可以表示为{xx为所 x+y=3. 有实数}或R:③方程组 的解集为 x-y=-1 {x=1,y=2}.其中说法正确的个数为( A.3 B.2 C.1 D.0 7.集合1，√2，√3,2，√5，…}用描述法表示 为 -191 10.用描述法表示下列集合. C组·拓展提升 (1){2,4,6,8,10,12}; 15.对于任意两个正整数m,n,定义某种运算 a6异号引： “※”如下：当m,n都为正偶数或正奇数时， m※n=m+n;当m,n中一个为正偶数，另一个 (3)被5除余1的正整数集合； 为正奇数时，m※n=mn,则在此定义下，集合 (4)平面直角坐标系中第二、四象限内的点 M={(a,b)1a※b=16}中的元素个数是 的集合； (5)方程组 [x+y=2, 的解组成的集合 A.18 B.17 C.16 D.15 x-y=2 16.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中， 则称该数集为“可倒数集”. (1)判断集合A={-1,1,2}是否为“可倒数 集”； (2)试写出一个含3个元素的“可倒数集” B组·综合运用 11.已知集合A={1,2,3},B={(x,y)1x∈A, y∈A,|x-y∈A},则B中所含元素的个数为 ( A.2 B.4 C.6 D.8 12.（多选)设集合M={xlx=2m+1,m∈Z},P= {yly=2m,m∈Z},若xo∈M,yo∈P,a=xo+ yo,b=xoyo,则 A.a∈M B.aeP C.b∈M D.b∈P 13.若集合A={xlax2+2x+1=0,a∈R中只有一 个元素，则实数a的值是 14.设A,B为两个实数集，定义集合A+B= xlx=x1+x2,x1∈A,x2∈B},若A={1,2,3}, B={2,3},则集合A+B中元素的个数 为 一192-[练案部分] 练案[1] 15.-1或-4.3∈A,.a2-a+1=3或1a+1|=3.①若a2-a+1= 3,则a=2或a=-1.当a=2时，Ia+1l=3,此时与集合元素 1.C①④不符合集合中元素的确定性.故选C 的互异性相矛盾，因此应舍去.当a=-1时，1a+11=0≠3，满 2.D因为集合中的元素是互异的，所以l,m,n互不相等，即 足题意.②若1a+11=3,则a=-4或a=2(舍去).当a=-4 △ABC不可能是等腰三角形，故选D. 时，a2-a+1=21≠3，满足题意.综上可知a=-1或a=-4. 3.C方程x2-5x+6=0的解为x=2或x=3,x2-x-2=0的解为x 16.(1)a是集合S中的元素，因为a=a+0×√2∈S. =2或x=-1,所以集合M中含有3个元素 (2)不妨设x1=m+nW2,x2=p+qV2,m,n,P,9∈Z. 4.A√=1xl,-√=-1xl,故当x=0时，这几个实数均为 则x1tx2=(m+n2)+(p+q√2)=(m+p)+(ntg)W2, 0:当x>0时，它们分别是x,-x,x,x,-x;当x<0,它们分别是 因为m,n,p,9eZ.所以n+qeZ,m+peZ. x,-x,一x,x,x最多表示2个不同的数，故集合中的元素最多 所以x1+x2∈S, 为2个. 5.Ba∈A,∴.当a=2时，6-a=4,∴.6-a∈A;当a=4时， x=(m+m/2).(p+q2)=(mp+2nq)+(mq+np)2.m.n,p.q 6-a=2,∴.6-aeA;当a=6时，6-a=0,∴.6-a主A,故a=2 EZ. 或4. 故mp+2ng∈Z,mq+吧∈Z.所以x1·x2∈S. 6.B因为2eA,所以m=2,或m2-3m+2=2,解得m=0或m= 综上，x+x2,x1·2都属于S. 3.又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行 练案[2] 检验可得m=3,故选B. 7.∈直线y=2x+3上的点的横坐标x和纵坐标y满足关系：y 1.C解方程x2-3x+2=0得x=1或x=2.用列举法表示为1， =2x+3,即只要具备此关系的点就在直线上.由于当x=2时， 2}. y=2×2+3=7,∴.（2,7)∈P 2.CC中集合是含有一个方程作为元素的集合，其他三个都是 8.k≠±1由集合元素的互异性可知，k2≠1，所以k≠±1. 以实数1为元素的集合 9.若1∈A,则a=1或a2=1,即a=±1 3.DA中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3,7， 当a=1时，集合A有重复元素，以a≠1： 11,15:B中除给定集合中的元素外，还有-3，-7，-11，：C中 当a=-1时，集合A含有两个元素1，-1，符合集合中元素的 t=0时，x=-3,不属于给定的集合；只有D是正确的： 互异性，所以a=-1. 10.因为集合A,B相等，则x=0或y=0. 4B第方程心8用做该案合为0 ①当x=0时，x2=0,则不满足集合中元素的互异性，故舍去. 5.BD选项A,C中，集合内的最小奇数不大于4. ②当y=0时，x=x2,解得x=0或x=1. 6.D由x=x,得x(x-1)(x+1)=0,解得x=0或x=1或x 由①知x=0应舍去 -1.因为-1N,故集合{x∈Nlx3=x}用列举法可表示为{0， 综上知，x=1,y=0. 1},故①不正确.集合表示中的“{}”已包含“所有”“全体”等 11.ACD当x>0,y>0时，z=1+1+1=3;当x>0,y<0时，z=1-1- 含义，而“R”表示所有的实数组成的集合，故实数集正确表示 1=-1:当x<0,y>0时，z=-1+1-1=-1:当x<0,y<0时，z=-1 -1+1=-1.所以3∈A,-1∈A.故选ACD. 应为为实致或R。放@不正确方程组中，的部是 12.-32因为集合A与集合B相等，且1∈A,2∈A,所以1∈ B,2∈B,即1,2是方程x2+ax+b=0的两个实数根.所以 有序实数对，其解集应为x化}故③不正晚 +2=-a即a=3, 7.{xlx=√n,neN*} 注意到集合中的元素的特征为√n,且n 1×2=b, b=2. eN·,所以用描述法可表示为xlx=√n,neN. 13.-1±万由题意，得“ =a,.a2+2a-1=0且a≠-1，∴.a= 8.3,4,5,6,7}x12<x<8,x∈Z}设三角形第三边长度为 "l+a x,根据三角形三边长度的关系得：5-3<x<5+3,于是2<x<8, -1±2. 所以x的取值范围为：2<x<8.又由第三条边长是整数，故第 14.(1)因为-2是集合A中的元素 三条边可取的整数的集合用列举法表示为3,4,5,6,7}，用 所以-2=a-3或-2=2a-1. 描述法表示为xl2<x<8,xeZ. 若-2=a-3,则a=1, 此时集合A含有两个元素-2,1，符合要求； 9(1)因为6 ∈Z,所以I2-xI是6的因数， -x 若-2=2a-1,则a=-1 则12-x=1,2,3,6,即x=1,3,4,0,-1,5,-4,8. 2 所以原集合可用列举法表示为{-4，-1,0,1,3,4,5,8}. 此时集合A中含有两个元素-)，-2，符合要求 (2)因为x∈N且1≤x<5,所以x=1,2,3,4 其对应的y的值分别为3,6,9,12. 综上所述，满足题意的实数a的值为1或2 1 所以原集合可用列举法表示为{(1,3)，(2,6)，(3,9)，(4， 12)}. (2)不能.理由：若-5为集合A中的元素，则a-3=-5或2a-1= 10.(1){xx=2n,neN,n≤6} -5. 当a-3=-5时，解得a=-2,此时2a-1=2×(-2)-1=-5,显 *n2Nn5 (2)xx=n 然不满足集合中元素的互异性； (3)xlx=5n+1,nEN 当2a-1=-5时，解得a=-2,此时a-3=-5显然不满足集合 (4){(x,y)1xr<0}. 中元素的互异性， 综上，-5不能为集合A中的元素 -359 11.CA=1,2,3,B=(x,y)IxEA,yEA,Ix-yl EA,x 集合A={5,3}中除元素5外，还有元素3,3不在集合B中，所以 =3时，y=1,2,满足集合B.当x=2时，y=1,3,满足集合B. B年A. 当x=1时，y=2,3,满足集合B.共有6个元素.故选C (2)当a=0时，由题意得B=☑，又A={3,5},故BCA; 12.AD设xo=2n+1,yo=2k,n,k∈Z,则x+yo=2n+1+2k=2(n +k)+1∈M,xoyo=2k(2n+1)=2(2nk+k)∈P,即a∈M,b∈P. 当a0时8={}又4=3.518c4 故选AD. 此时=3或=5，则有a=写或a=5 1 13.0或1集合A中只有一个元素，有两种情况：当a≠0时，由 a 4=0,解得a=1,此时A={-1},满足题意；当a=0时，x= 111 2,此时A=11 ,满足题意.故集合A中只有一个元素 所以C={0,35} 12 11.C由集合A有1个子集可知，该集合是0，当a=1时，A= 时，a的值是0或1. 「21 14.4当x1=1时，x1+x2=1+2=3或x1+x2=1+3=4;当x1=2 ,不符合题意.当a≠1时，由4=9+8(a-1)<0可得a< 时，x1+x2=2+2=4或x1+x2=2+3=5;当x1=3时，x1+x2=3+2 1 =5或x1+x2=3+3=6.∴.A+B={3,4,5,6},共4个元素。 8 ,故选C. 15.B因为1+15=16,2+14=16,3+13=16,4+12=16,5+11= 12.C集合A={a1,a2,a3}的所有非空真子集有：{a1},{a1, 16,6+10=16,7+9=16,8+8=16,9+7=16,10+6=16,11+5 a2},a1,a3},{a2},{a2,a3},{a3},故3(a1ta2+a3）=9,即 16,12+4=16,13+3=16,14+2=16,15+1=16,1×16=16,16× ata2+a=3.故选C. 1=16,集合M中的元素是有序数对(a,b),所以集合M中的 13.ala<-8或a≥3}利用数轴法表示B二A,如图所示， 元素共有17个 16.(1)由于2的倒数为)不在集合A中，故集合A不是“可倒 B A a+1a+3-5 0 4a+1a+3x 数集” 则a+3<-5或a+1≥4，解得a<-8或a≥3. (2)若aeA,则必有e4,现已知集合A中含有3个元素，14.7由aeP,6-a∈P,且PC{1,2,3,4,5}可知，P中元素在 取值方面应满足的条件是1,5同时选，2,4同时选，3可单独 故必有一个元素有a=二，即a=±1， 选，可一一列出满足条件的全部集合P为3}，1,5}，2 4},{1,3,5},2,3,4},1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共7个. 故可以取集合A={12,2分}或{1,2，}或1,3，}等 15.D当B=-1}时，x2-2ax+1=0有两个相等的实根-1，即a =-1;当B=1}时，x2-2ax+1=0有两个相等的实根1，即a= (答案不唯一) 1:当B=-1,1}时，不成立.故a=±1 练案[3] 16.(1)由于A中有两个元素， .关于x的方程a2-3x-4=0有两个不等的实数根， 1.C由MCN知，表示集合M的图形应全都在表示集合N的 图形中 六4=9+16a>0,且a≠0，即a>- 6,且a≠0 2.ACD1}CA,.B项错误，其余均正确. 3.D由于集合M为数集，集合P为点集，因此M与P互不 9 故实数a的取值范围是{0a>i6,且a≠0 包含. 4.A当B=☑，即2a-1<a-l,即a<0时，满足BCA;当B≠☑， (2)若集合A最多有两个子集即A中至多有一个元素 即方程x2-3x-4=0无解或只有一解， 即a-1≤2a-1,即a≥0时，要使BCA,则满足-1三l解 2a-1≤1， 当a=-0时，方程为34=0，解得=手集合4-{}： 得0≤a≤1.综上，a≤1. 5.D由题意知，A=1,2},B=1,2,3,4}.又ACCCB,则集合 当a≠0时，若关于x的方程ax2-3x-4=0有两个相等的实 9 C可能为{1,2}，1,2,3}，{1,2,4}，1,2,3,4}，共4个 数根，则A中只有一个元素，此时a=16 6.AB.A=B,∴.m2-m=2,∴.m=2或m=-1. 7 若关于x的方程ax2-3x-4=0没有实数根，则A中没有元 x二 2 7.10 若2=7，解得 因为x,y为整数，故舍去；若 素，此时a<9 x+y=4, 16 y=1 2 综上可知，实数a的取值范围是{a a≤ 2=4,解得=2则y=10. Ix+y=7, y=5,1 练案[4] 8.{plp≥4} 集合A={x1x<-1或x>2},B={x|4x+p<0}= {<}若BCA,则号≤-1，即p≥4，期实数p的取值 1.A因为A=x-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},且注意到 (-3)3=-27,(-1)3=-1,03=0,2=8,33=27, 范围是{plp≥4}. 从而A∩B=-1,0.故选A 9.存在，理由如下：由题意知，若x+2=3,则x=1,符合题意 2.DA∩B=xIx>5},故A错误；AUB={x|x>3},故B错误； 若x+2=-x2,则x2+x+2=0无实根，故不成立 因为4∈A,但4B,所以AB,故C错误，因为B中的任意元 综上所述，存在实数x=1,使得B是A的子集，此时A=1,3, 素x满足x>5,则必有x>3,即x也在A中，所以B二A,D正 -1},B=1,3} 确.故选D. 10.(1)A=xlx2-8x+15=0=15,3}, 当a=时，B=5,元素5是集合A=5,3}中的元素， 3cn8={l}=(2.. 4.C因为3eM,但3N,所以MCN不成立，故A错误；因为 -360