3.1.2 第1课时函数的表示法-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教A版）

055 3.1.2函数的表示法 新课程标准解读 学科核心素养 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表 数学抽象、直观想象 法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用 数学抽象、数学运算 第1课时 函数的表示法 教材梳理明要点 ●情境导入 下图中使用数据、条状图、曲线的形式，具体、形象、直观的向群众表 达了我国国内生产总值增长情况.我们从生活实际中总结抽象出的函数 如何表示呢？ 20/7一2023年中国GDP及增速 ■国内生产总值（亿元） 一增速(%) 820754919281986515101356 1492371210207 8.4 6.7 ● 6.0 (预期目标) [提示] 6.8 5.0 函数有三种表示方 d 3.0 法：解析法、图象 2017201820192020202120222023 法、列表法 数据来源：国家统计局 P[提示] 日新知初探 知识点一函数的表示法 解析法 就是用 表示两个变量之问的对应关系 函数的表 示法 图象法 就是用 表示两个变量之间的对应关系 [知识点反思] 列表法 就是列出 来表示两个变量之间的对应关系 并不是所有的函数都可 以用解析式表示，不仅 函数三种表示方法的优缺点 如此，图象法也不适用 于所有函数，如D)= 解析法 列表法 图象法 [0,xEQ, 列表法虽在 优 一是简明、全面概括了变 l1,x∈CRQ 优 不需计算可以直 优能形象、直观地 点 量间的关系；二是利用解 点 接看出与自变量 点 表示函数的变化 理论上适用于所有函 析式可求任一函数值 对应的函数值 情况 数，但对于自变量有无 不够形象、直观， 仅能表示自变量 只能近似求出自变量 数个取值的情况，列表 而且并不是所有 缺 取较少的有限值 缺 的值所对应的函数值 法只能表示函数的一个 点 函数都有解析式 点 时的对应关系 而且有时误差较大 概况或片段」 ·[知识点反思] 056 目预习自测 1.已知函数y=f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是 () A.（-∞，1)U(1,+∞) B.R C.(-0,0)U(0,+∞) D.(-1,0) 2.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出： 1 2 3 1 2 3 f(x) 2 1 8(x) 3 2 则f[g(1)]的值为 ;当g[f(x)]=2时，x= 题型探究 提技能 题型一 函数的表示法 例 .某问答游戏的规则是：共答5道选择题，基础分为50分，每答错一道 [方法总结1] 题扣10分，答对不扣分.试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参 用三种表示法表示函 与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关 数时的注意点 系y=f(x). [方法总结1] 1.解析法必须注明函 数的定义域； 2.列表法必须罗列出 所有的自变量的值与 函数值的对应关系； 3.图象法必须清楚函 数图象是“，点、”还是 “线”， 》跟踪训练1 已知函数f(x)=-x-1,x∈{1,2,3,4}，试分别用列表法和图象法表示函数 y=f(x). 057 题型二与函数图象有关的问题 [方法总结2] 例2作出下列函数的图象并求出其值域， 描点法作函数图象的 (1)y=2x+1,x∈[0,2]； 三个关注点 1.画函数图象时首先 (2)y=xe[2,+∞) 关注函数的定义域， (3)y=x2+2x,xe[-2,2]. [方法总结2] 即在定义域内作图； 2.图象是实线或实 点，定义域外的部分 有时可用虚线来衬托 整个图象； 3.要标出某些关键 点，例如图象的顶 〉跟踪训训练2 点、端点、与坐标轴 作出下列函数的图象，并指出其值域. 的交点等要分清这些 (1)y=x+x(-1≤x≤1)； 关键点、是实心点还是 空心图. (2)y=二(-2≤x≤1，且x≠0) [方法总结3] 函数解析式的求法 1待定系数法：若已 知函数的类型（如一次 函数、二次函数)，可 用待定系数法， 2.换元法：已知复合 题型三 求函数解析式 函数扎gx]的解析式， 角度1 待定系数法求解析式 可用换元法，此时要 例3(1)已知-次函数)满足f()]=4+6,则f(x)的解析式为 注意新元的取值范围； 3.解方程组法：已知 设出函数解析式，求出参数即可 (2)已知二次函数f(x)满足f(0)=1,f(1)=2,∫(2)=5，则该二次函 fw与或。 数的解析式为 之间的关系式，可根 角度2换元法（或配凑法）求解析式 据已知条件再构造出 例41) x2,则有 x+ 另外一个等式组成方 程组，通过解方程组 → 己知f[g(x)]求∫(x)有两种思路：一 A.f(x)=x2+1 求出x: 是将g(x)视为一个整体，应用数学的 4配凑法：已知复合 B.f(x)=x2+x 整体化思想，换元求解；二是将函数解 C.f(x)=x+x(x≠0)析式的右端凑戌含g(x)的形式 函数[gx]的解析式， 将g(x)视为一个整体， D.f(x)=x2+1(x≠0) 在函数解析式右端含 (2)已知函数f(x+1)=x2-2x,则f(x)的解析式为 x部分凑成含gx)代数 角度3方程组法求函数解析式 式形式，用x分别代 替gx,从而得到x)解 例 .0)已知函数f()满足()+21=，侧函数∫(e)的解折式 析式，此时注意gx)范 将换度川+2y()= 围即x)的定义域，此 为 法多用于较简单解析 (2)已知函数∫(x)对于任意的x都有f(x)-2(-x)=1+2x,则f(x) 式，这类问题用换元 法也可， 以-x代x可得f(-x)-2f(x)=1-2x [方法总结3] 058 》跟踪训练3 (1)已知函数f(x)是二次函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x)的解 析式： (3)已知2(x)+3=3(x≠0).求fx). 随堂检测重反馈 1.下表给出函数y=f(x),则f[f(1)]等于 1 2 3 4 5 y 4 5 3 2 A.1 B.2 C.4 D.5 2.如图，函数f(x)的图象是折线段，其中点A,B,C的坐标分别是(0,4)，(2,0)， y↑A 1--F7C (6,4),则f[f(2)]= 1-米1 A.0 B.2 0123456x C.4 D.6 3.已知函数f(x+1)=3x+2,则f(x)= 4.一个面积为100cm2的等腰梯形，上底长为xcm,下底长为上底长的3倍，则它的高y与x的函数 关系为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[18] 第2课时 分段函数 教材梳理明要点 P情境导入 国家电网是按不同的时间段来定电价的；居民用水是按用水量的多 少阶梯收费的.电价与时间的关系，水价与用水量的关系是函数关系吗？ [提示] 如何表示呢？ P[提示] 是函数关系，可用分 曰新知初探 段函数来表示 知识点分段函数 如果函数在定义域的不同的范围内，有着不同的对应关系，则称这样的函 数为分假函数像y-0这样的函数就是分段雨数 分段函数是一个函数，而不是几个函数；定义域、值域分别是各段函数的定 义域、值域的并集：各段函数的定义域的交集是空集.预习自测 1.A 2.B由y=-x2+1,xe[-1,2),可知当x=2时，y=-4+1=-3:当 x=0时，ymx=1,因为x≠2，所以函数的值域为(-3,1]. 题型探究提技能 例1：(1)③⑤(2)见解析 【解析】(1)①f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数； ②f(x)与g(x)的对应关系不同，不是同一函数；③虽然表示自变 量的字母不同，但f(x)与g(t)的定义域相同，对应关系相同，故 是同一个函数；④f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数： ⑤f(t)与g(x)的定义域、对应关系皆相同，故是同一函数 (2)不相同，对于函数y=√-可·+，由1≥0解得x x+1≥0. ≥1，故定义域为{xlx≥1}，对于函数y=√(x+1)(x-1),由 (x+1)(x-1)≥0解得x≥1或x≤-1，故定义域为{xlx≥1或 x≤-1}，显然两个函数定义域不同，故不是同一函数 跟踪训练1：D对于A,g(x)=√=Ixl,与f(x)的对应关系不 同；对于B,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为xlx≠1}；对 于Cf(x)的定义域为xlx≠-3}，g(x)的定义域为R;对于 D,f(x)==1(>0),g(x)==1(x>0),对应关系与定义 域都相同，故f(x)与g(x)表示同一函数， :((-1,2）(2(-1,5)(3)0,6) 【分析】(1)f(x)的定义域为(-1,2)，即x的取值范围为 (-1,2).f(2x+1)中x的取值范围（定义域）可由2x+1∈ (-1,2)求得. (2)f(2x+1)的定义域为(-1,2)，即x的取值范围为(-1,2)， 由此求得2x+1的取值范围即为f(x)的定义域. (3)先由f(2x+1)的定义域求得f(x)的定义域，再由f(x)的 定义域求f(x-1)的定义域： 【解析】(1)由-1<2x+1<2,得-1<x<2f（2x+1)的定义 1 域为-1,2 (2)-1<x<2,∴.-1<2x+1<5,f(x)的定义域为(-1,5). (3)由f(2x+1)的定义域为(-1,2)得f(x)的定义域为 (-1,5),由-1<x-1<5得0<x<6,.f(x-1)的定义域为(0 6) 跟踪训练2：(1)由-1≤x-5≤5，得4≤x≤10，所以函数f(x-5) 的定义域是[4,10] (2)由0≤x≤3，得-1≤x-1≤2，所以函数f(x)的定义域是 [-1,2] 例3：(1)（直接法）≥0，.：-1≥-1， .y=√x-1的值域为[-1，+∞). (2)(配方法、图象法)y=x2-46=(x-2)2+2,1 如图所示，：xe[1,5),∴函数y的值域为[2,10 11). (3)(换元法)令t=√/1-x(t≥0)，则x=16 -t2, 则y=-22+4t+2=-2(t-1)2+4(t≥0)， 结合图象（图略）可得函数的值域为(-， 012345x (4)(分离常数法)y= 3x-13x+3-4 x+1x+1 34 +1 70y≠3， 4 =+1的值域为yeR,且y≠3. 32 跟踪训练3：(1)由y=-x2-2x+3得y=-(x+1)2+4, -3≤x≤0， .当x=-1时，ymx=4, 当x=-3时，ymn=0, ∴y=-x2-2x+3,-3≤x≤0的值域为[0,4]. (2)(分离常数法)“y=x=1-1 x+1x+1 1 且定义域为xx≠-1，心中0，即y≠1 函数)=本的值域为yeR,且)≠1 (3)方法换元法)设=么可，则u≥01空 1+u 1 .y22 +w=2(+1)2, 1 u≥0，心y≥2’ 「1 六y=x+√2-可的值域为2，+0 方法二2x-1≥0，x≥2 1 1 而当x增大时y也增大，y≥2 「1 y=x+√2-T的值域为2，+0 随堂检测重反馈 1.C 2.C当2≤x≤4且x∈N时，x=2,3,4.所以函数值域为5,7,9： 3.ACA:f(x)与p(t)的定义域相同，又p(t)=√F=It,即 f(x)与p(t)的对应关系也相同，f(x)与p(t)是同一个函 数；B:y=√的定义域为R,y=()2的定义域为{xlx≥0}， 两者定义域不同，故y=√与y=(√)不是同一个函数：C: y=√I+x·√-x的定义域为{xl-1≤x≤1}，y=√1-x的定 义域为x-1≤x≤1}，即两者定义域相同.又：y=√1+x· √-x=√-x,.两函数的对应关系也相同.故y=√1+x· √1-x与y=√1-x是同一个函数；D::y=√(3-x)7=1x-3引 与y=x-3的定义域相同，但对应关系不同，∴.y=√(3-x)与 y=x-3不是同一个函数 4.[-3,2]由题意得-2≤x+1≤3，∴.-3≤x≤2，故函数f(x+1) 的定义域为[-3,2]. 3.1.2函数的表示法 第1课时函数的表示法 教材梳理 明要点 新知初探 知识点一 数学表达式图象表格 预习自测 1.C由图象，知x≠0，即x∈(-∞，0)U(0,+∞). 2.11由g(x)对应表，知g(1)=3,所以f[g(1)]=f(3).由 f(x)对应表，得f(3)=1,所以f[g(1)]=f(3)=1.由g(x)对 应表，得当x=2时，g(2)=2,又g[f(x)]=2,所以f(x)=2.又 由f(x)对应表，得x=1时，f(1)=2.所以x=1. 2 题型探究提技能 例1：(1)用列表法可将函数y=f(x)表示为 0 1 2 3 4 5 50 40 30 20 10 0 (2)用图象法可将函数y=f(x)表示为如下图； 个y 504 40 3 20 0 012345x (3)用解析法可将函数y=f(x)表示为y=50-10x,x∈{0,1,2,3， 4,5}. 跟踪训练1：用列表法表示函数y=f(x),如 表所示 0 1234x -1 1 -3 -2 -3 -4 -5 -4 -5 用图象法表示函数y=f(x),如右图所示. 例2：(1)列表 0 1 3 2 2 当x∈[0,2]时，图象是直线的一部分，观察图象（图1）可知， 其值域为[1,5]. (2)列表 x 2 5 当xe[2,+0),图象是反比例函数y= 2的一部分，观察图 象（图2）可知其值域为(0,1] (3)列表 -2 0 2 0 -1 0 3 8 画图象，图象是抛物线y=x2+2x在-2≤x≤2之间的部分 由图3可得函数的值域是[-1,8]. 6 2 图1 图2 图3 跟踪训练2：(1)用描点法可以作 出函数的图象如图①. 由图可知y=x2+x(-1≤x≤1） -2门 的信蚊为[子习 (2)用描点法可以作出函数的 图象如图②. ① 2 由图可知y=（-2≤x≤1，且 x≠0)的值域为(-∞，-1]U[2,+). 3 例3：(1)f(x)=2x+2或f(x)=-2x-6(2)f(x)=x2+1 【解析】(1)设f(x)=ax+b(a≠0)，则f[f(x)]=f(ax+b)= aas6)+6=ir+a6+6=+6,于是有：6.郎得 日子*[8名片以到=2x+2或-2-6 (2)设二次函数的解析式为f(x)=aa2+bx+c(a≠0)，由题意 rc=1, ra=1, 得{a+b+c=2,解得b=0,故f(x)=x2+1. L4a+2b+c=5, Lc=1, 例4：(1)C（2)f(x)=x-4x+3 【解析】(1)由f (）有=0.故 选C. (2)方法一（换元法）：令x+1=t,则x=t-1,t∈R,所以f(t)= (t-1)2-2(t-1)=t-4t+3,即f(x)=x2-4x+3. 方法二（配凑法）：因为x2-2x=(x2+2x+1)-(4x+4)+3=(x+ 1)2-4(x+1)+3,所以f(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+3,即f(x)= x-4x+3. 2 例5：1f(=子+32(x0)2 3t-1 【解析】()在已知等式中，将x接成子，得f(日）+(x) 2 下，与已知方程联立，得 消去 (）+2= 1 (2)由题意，在f(x)-2f(-x)=1+2x中，以-x代x可得f-x)- 1a,度立可开化巴2将去-)可得 2 f(x)=3-1 跟踪训练3：(1)设f(x)=a2+bx+c(a≠0)， 则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c =2ax2+2bx+2a+2c=2ax2-4x, r2a=2, ra=1, 所以{2b=-4, 所以b=-2,所以f(x)=x2-2x-1. l2a+2c=0 c=-1, 令t=x- xf(t)=t+2,…f(x)=x2+2. (325)+r(）=3 ① ② ②x3-①x2有5()=96x. -2g0 随堂检测重反馈 1.B由题意可知f(1)=4f(4)=2,∴ff(1)]=f(4)=2故选B. 2.C由图象可得fLf(2)]=f(0)=4. 3.3x-1方法一（换元法）：令x+1=t,.x=t-1,∴f(t)=3(t 1)+2=3t-1,∴.f(x)=3x-1. 方法二（配凑法）：f(x+1)=3x+2=3(x+1)-1,∴.f(x)=3x-1. 4y=50(x>0)由梯形的面积公式有100=（x+3).,得y= 2 50 (x>0). 23