2.1 第1课时不等式关系与比较大小-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教A版）

●031 第二章一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质 新课程标准解读 学科核心素养 会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系 数学抽象 梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质 逻辑推理 第1课时 不等式关系与比较大小 教材梳理明要点 ●情境导入 生活中，我们经常在路上或桥上看到下列交通标志，你知道它们的含 义吗？你能用一个数学式子表示下列关系吗？ [提示] O最低限速50mh, 50 :30-10:00 v>50.②限制质量 10t,0<w≤10.③限 ② ③ 4 ⑤ P[提示] 制高度3.5m,0<h≤3.5. ④限制宽度3m 台新知初探 0<x≤3.⑤通行时间 知识点一不等关系与不等式 7:30-10:00,7.5≤t 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间 ≤10. 的不等关系.含有这些 叫做不等式 知识点二实数大小比较的基本事实 [知识点反思] 文字表示 符号表示 不等式a≥b读作“a 如果a-b是正数，那么 a-b>0= 大于或等于b”,其含 如果a-b等于0，那么 a-b=0台 义是指“a>b或a= b”,等价于“。不小 如果a-b是负数，那么 a-b<0→ 于b”,即a为或a=b 知识点三重要不等式 中有一个正确，则 a>b正确.利用作差法 一般地，Va,b∈R,有a2+b2 2ab,当且仅当 时，等号成立 比较大小只需判断差 [知识点反思] 的符号，无需关注差 的大小 032 目预习自测 1.判断下列说法是否正确，正确的打“V”,错误的打“×”. (1)不等式x≥2的含义是指x不小于2. ( (2)若x2=0,则x≥0. ) (3)若x-1≤0，则x<1 ( (4)两个实数a,b之间，有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一种. 2.若实数a>b,则a2-ab ba-b2.（填“>”或“<”) 3.已知x≠2，则x2+4与4x的大小关系为 题型探究提技能 题型一用不等式（组）表示不等关系 [方法总结1] 例 1.京沪线上，复兴号列车跑出了350km/h的速度，这个速度的2倍再加 利用不等式（组）表示 上100km/h也不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了 不等关系的注意点 普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系， 1.在用不等式（组）表示 不等关系时，要进行 P[方法总结1] 比较的各量必须具有 相同性质，且单位要 统一； 2.明确表示不等关系 的关键词语：至多、 )】跟踪训练1 至少、大于等， 3注意隐性不等关系， 用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m,要求菜 如由变量的实际意义 园的面积不小于110m,靠墙的一边长为xm,试用不等式表示其中的不等 限制的范围 关系 [方法总结2] 作差法比较两个实数 大小的基本步骤 作 差 a-b 采用配方、因式 变 题型二比较两数（式）的大小 形 分解、通分、 有 理化等手段，把差 转化为n个因式 例 .已知x<1,试比较x3-1与2x2-2x的大小 ·[方法总结2] 乘积或商的形式， 有时也转化为完 全平方的形式 号 判断差与0的大小 利用实数Q,b大 论 小比较的基本事 实 ●033 )》跟踪训练2 设x,y,名∈R,比较5x2+y+z2与2xy+4x+2z-2的大小. 题型三不等式的证明 [方法总结3] 在不等式的证明过程 例3.已知a>0,求证：a+≥2 ·[方法总结3] 中，常将不等式中的 2 字母作适当的代换， 转换为重要不等式的 形式，呈现其内在结 构的本质. )》跟踪训练3 已知a>0,b>0,求证：a2+3b2≥2b(a+b). 随堂检测 重反馈 1.下列说法正确的是 A.某人月收人x不高于2000元可表示为“x<2000” B.小明的身高x,小华的身高y,则小明比小华矮表示为“x>y” C.某变量x至少是a可表示为“x≥a” D.某变量y不超过a可表示为“y≥a” 2.设a=3x2-x+1,b=2x2+x,则a、b的大小关系为 () A.a>b B.a<b C.a≥b D.a≤b 3.某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成 绩x超过45分，用不等式表示为 ( x≥95. x≥95， x>95, x≥95， A.y≥380， B.y>380. C.y>380, D.y>380, 2>45 z≥45 2>45 z>45 4.一个两位数个位数字为x,十位数字为y,且这个两位数大于70，用不等式表示为 夯基提能作亚 请同学们认真完成练案[10]章末复习与总结 例1：(1)C(2)C 【解析】（1)①当x=0时，y=0,1,2,此时x-y的值分别为0， -1,-2:②当x=1时，y=0,1,2,此时x-y的值分别为1,0，-1； ③当x=2时，y=0,1,2,此时x-y的值分别为2,1,0.所以B= {-2,-1,0,1,2},故选C (2)若a=1,则2a-1=1,矛盾；若2a-1=1,则a=1,矛盾，故 2a2-1=1,解得a=1(舍)或a=-1,故M={-1,-3,1},M中所 有元素之和为-3，故选C. 例2：(1)D(2){ala<-8或a≥3} 【解析】（1)由题意得集合A=1},1,2,{1,3},1,4}, {1,2,3},{1,2,4,{1,3,4},1,2,3,4.故选D. (2)用数轴表示两集合的位置关系，如图所示， B□A A a+1a+3-5 04 A B 或 -504a+1a+3 要使BCA,只需a+3<-5或a+1≥4，解得a<-8或a≥3.所以 实数a的取值范围为ala<-8或a≥3} 例3：(1)C(2)B 【解析】(1)由题图所示，U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,A={1, 2,3,B=3,5,6,所以B={0,1,2,4,7,8,(CwB)∩A={1, 2.故选C (2)由AUB=A知BCA,所以m=3或m=m.当m=3时，A ={1,3,3},B={1,3},满足AUB=A:若m=√m,则m=1或 0.当m=1时，√m=1,不合题意，舍去，当m=0时，A={1,3 0},B=1,0},满足AUB=A 例4：(1)由题意得P是Q的真子集，当P是空集时，满足P车Q, 即a+1>2a+1,解得a<0: ra≥0 当P是非空集合时，要使PQ,则{a+1≥-2，且a+1=-2与 2a+1≤5， 2a+1=5不同时成立， 解得0≤a≤2，故a的取值范围是{ala≤2. (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则BCA, 又集合县为丰空集合放有解得时<2。 所以a的取值范围a 1 2≤a<2 例5：(1)A(2)C 【解析】(1)命题“Hx≤2，x2+2x-8>0”的否定是：3x≤2，x2 +2x-8≤0.故选A. (2)由题意得“3x∈R,使得mx+4x-1=0”是真命题，当m= 0,=号符合题意；当m≠0，只要4=16+4m≥0即可，解得m ≥-4且m≠0.综上：实数m的取值范围是{mlm≥-4}. 第二章一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质 第1课时不等式关系与比较大小 教材梳理明要点 新知初探 知识点 不等号的式子 知识点二 a>b a>b a=b a=b a<b a<b 3 知识点三 ≥a=b 预习自测 1.(1)V(2)V(3)×(4)V 【解析】(1)不等式x≥2表示x>2或x=2,即x不小于2. (2)若x2=0,则x=0,所以x≥0成立. (3)若x-1≤0，则x<1或者x=1,即x≤1. (4)任意两数之间，有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一 种，没有其他大小关系. 2.>因为(a2-ab)-(ba-b2)=(a-b)2,又a>b,所以(a-b)2>0. 3.x2+4>4x方法一：x2+4-4x=(x-2)2,而x≠2，所以(x-2)2> 0,所以x2+4-4x>0,所以x2+4>4x. 方法二：由重要不等式可知x2+4≥4x,当且仅当x=2时等号 成立，又x≠2，所以x2+4>4x 题型探究提技能 例1：设复兴号列车速度为”，km/h,民航飞机的最低速度为 2km/h,普通客车速度为，km/h. 1、2的关系：21+100≤2,1"3的关系：1>33 跟踪训练1：由于矩形菜园靠墙的一边长为xm,而墙长为18m, 所以0<x≤18， 这时案园的另一条边长为92-(15-）m) 因此菜园面积5s=·（15-交），依题意有S≥10， 即x(15-之）≥10. 故该题中的不等关系可用不等式组表示 r0<x≤18. 为(15）≥1a 例2：.：(x3-1)-(2x2-2x)=x3-2x2+2x-1 =(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2 =(0-x*1)=(x-1[(-2）+] 1123 (x2）+4>0,-1k0, -[0）引<0-12-2a 跟踪训练2：.5x2+y+z2-(2xy+4x+2z-2)》 =4x2-4x+1+x2-2xy+y2+2-2z+1 =(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0， .5x2+y2+z2≥2y+4x+2z-2, 当且仅当x=y=2且=1时取等号. 例3：证法一：利用a2+b2≥2ab. 262 当且仅当6=二即a=1时，等号成立.a+1≥2 证法二a+12=(a)2+ a+1≥2 a 跟踪训练3：因为a2+3b2-2b(a+b)=a2-2ab+b2=(a-b)2≥0. 当且仅当a=b时，等号成立，所以a2+3b2≥2b(a+b). 随堂检测重反馈 1.CA应为x≤2000：B应为x<y;D应为y≤a,故选C 2.Ca-b=3x2-x+1-(2x2+x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0，.a-b≥0 即a≥b,故选C. 3.D“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴.x≥ 95,y>380,z>45. 4.10y+x>70该两位数可表示为10y+x,∴.10y+x>70.