3.1.1 第2课时函数的概念(二)-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教A版）

052 第2课时函数的概念（二） 教材梳理明要点 ●情境导入 生活中人们通过化妆使自己看起来更漂亮，也更自信.犯罪分子也利 用化妆躲避警察和人民的追捕.但是一个人的样貌无论如何改变，他的 DNA是改变不了的.于是在特殊情况下，通过检测DNA来确定是否是同 一个人.在数学中，如何判断两个函数是否是同一个函数呢？ P[提示] [提示] 定义域相同，对应关 e新知初探 系也相同的函数就是 知识点一区间及有关概念 1.一般区间的表示 同一函数 设a,b∈R,且a<b,规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {xla≤x≤b} 闭区间 。6 [知识点反思] xla<x<b 开区间 。6 1.区间只能表示连续 {xla≤x<b} 半闭半开区间 的数集，“开”不包含 。6 端点，“闭”包含端 {x|a<x≤b} 半开半闭区间 6 点；用数轴表示区间 2. 时，要特别注意实心 特殊区间的表示 点包含端点与空心点 定义 R {xlx≥a} xlx>a {xlx≤a} xlx<a 不包含端点的区别； 区间是实数集的一种 符号 表示形式，集合的运 知识点二 同一函数 算仍然成立； 相同 2函数有定义域、对 前提条件 应关系和值域三要 完全一致 素，由函数的定义域 结论 这两个函数是同一函数 和对应关系可以求出 函数的值域，所以判 ●[知识点反思] 断两个函数是否是同 知识点三 常见函数的定义域和值域 一个函数，只看定义 域和对应关系即使定 反比例 二次函数 函数 一次函数 义域和值域相同的函 函数 数，也不一定是同一 函数 y=ax+b 对应关系 y= y=ax2+bx+c y=ax2+bx+c (a≠0) （k≠0) (a≠0) (a≠0) 定义域 R {xlx≠0} R R 值域 R {yly≠0 4ac-b2 4ac-b2 y≥ 4a yy≤4a ●053 目预习自测 1.若函数y=x2-3x的定义域为-1,0,2,3}，则其值域为 A.{-2,0,4} B.{-2,0,2,4} cyy D.{y10≤y≤3 2.函数y=-x2+1,-1≤x<2的值域是 A.(-3,0] B.(-3,1] C.[0,1] D.[1,5) 题型探究提技能 题型一 同一函数的判断 例1(1)下列各组函数： ①/(x)= [方法总结1] x8(x)=x-1; 判断两个函数为同一 ②(x)=E 函数应注意的三点 8(x)=七 1.定义域、对应关系 ③f(x)=(x-1)2,g(t)=2-2+1; 两者中只要有一个不 相同就不是同一 ④f(x)=x+1,g(x)=x+x°； ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)=80(0≤t≤5)》 数，即使定义域与值 与一次函数g(x)=80x(0≤x≤5). 域都相同，也不一定 其中表示同一函数的是 (填序号) 是同一函数； 2.函数是两个数集之 (2)试判断函数y=√x-1·√x+1与函数y=√(x+1)(x-1)是否为同 间的对应关系，所以 一函数，并说明理由. [方法总结1] 用什么字母表示自变 量、因变量是没有限 制的； 3.在化简解析式时， 必须是等价变形 〉跟踪训练1 f(x)与g(x)表示同一函数的是 [方法总结2] A.f(x)=x,g(x)=√民 B.f(x)=1,g(x)=(x-1)° 函数y=[g(x]的定义 Cf(x)=-9 38(x)=x-3 Df(x)=（E)2 域由y=)与t=g)的 x8(x)= ()2 定义域共同决定： 题型二复合函数、抽象函数的定义域 1.若已知函数fx)的定 义域为数集A,则函 例21)若函数(x)的定义域为(-1,2)，则函数(2x+1)的定义域 数f[g(x]的定义域由 为 gx)eA解出， (2)若函数f(2x+1)的定义域为(-1,2)，则函数f(x)的定义域为 2.若已知函数f[g(x]的 定义域为数集A,则 (3)若函数f(2x+1)的定义域为(-1,2)，则函数f(x-1)的定义域 函数于(x)的定义域为 为 gx)在A中的值域. ●[方法总结2] 054 》跟踪训练2 (1)已知函数f(x)的定义域为[-1,5]，求函数f(x-5)的定义域； [方法总结3] (2)已知函数f(x-1)的定义域是[0,3]，求函数f(x)的定义域. 求函数值域常用的5 种方法 1.观察法：对于一些 比较简单的函数，其 值域可通过观察 得到； 题型三 求函数的值域 2配方法：当所给函 列 3.求下列函数的值域： 数是二次函数或可化 (1)y=√-1： 为二次函数处理的函 (2)y=x2-4x+6,x∈[1,5)； 数时，可利用配方法 求其值域； (3)y=2x+4√1-x; 3图象法：通过画出 3x-1 (4)y= ·[方法总结3] 函数的图象，由图形 x+1 的直观性获得函数的 值域； 4.换元法：通过对函 数的表达式进行适当 换元，可将复来杂的函 》】跟踪训练3 数化归为简单的函 求下列函数的值域： 数，从而利用基本函 数自变量的取值范围 (1)y=-t2-2x+3,-3≤x≤0：(2)y= x+7(3)y=x+V/2x-1. 求函数的值域； 5.分离常数法：此方 法主要是针对分式函 数，即将分式函数转 化为“反比例函数” 的形式，便于求值域 随堂检测 重反馈 1.区间[5,8)表示的集合是 A.{xlx≤5或x>8 B.{xl5<x≤8 C.{xl5≤x<8 D.{xI5≤x≤8} 2.函数y=2x+1,x∈N*,且2≤x≤4，则函数的值域为 ( A.(5,9) B.[5,9] C.{5,7,9 D.{5,6,7,8,9 3.(多选)下列式子表示同一个函数的是 A.f(x)=Ixl,o()= B.y=√R,y=(VE)2 C.y=√1+x·√1-x,y=√1-x D.y=√(3-x)2,y=x-3 4.已知函数f(x)的定义域为[-2,3]，则函数f(x+1)的定义域为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[17]例3：(1)①若m=0,原不等式可化为-1<0，显然恒成立： ②若m≠0，则不等式mx2-mx-1<0恒成立台 fm<0, 。解得-4<m<0. L4=m2+4m<0," 综上可知，实数m的取值范围是{m-4<m≤0. (2)令y=mx2-mx-1, ①当m=0时，y=-1<0显然恒成立； ②当m>0时，若对于x∈{x11≤x≤3}不等式恒成立， 只需当x=1时y<0且x=3时y<0即可， 所以1<0， '9m-3m-1<0,解得m< 1 ,所以0<m<6 ③当m<0时，函数y的图象开口向下，对称轴为x=2, 1 若x∈{xl1≤x≤3}时不等式恒成立， 结合函数图象（图略）知只需当x=1时y<0即可，解得 mER. 所以m<0,符合题意 综上所述，实数m的取值范围是{mm<6} 11 (3)令u=mx2-mx-1=(x2-x)m-1, 若对满足Iml≤2的一切m的值不等式恒成立，则只需 当m=-2时u<0且当m=2时，u<0, 即52x)10解得-5x<+ 12(x2-x)-1<0, 2 所以实数x的取俏范围是2<x<+3] 2 侧4：(1)设每件的售价为1元，依题意得8-25x0.2）≥25 1 ×8, 整理得t2-65t+1000≤0，解得25≤t≤40. 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件的售价最高为 40元 (2)依题意得，当x>25时，不等式ax≥25x8+50+ 6(x2-600) +兮有解。 等价于当x>25时，4≥150， +5有解。 /150x 1因为150+三2入Jx6=10, 当且仅当0名，即=30时等号成立，此时0名写 x65 10.2,所以a≥10.2 故当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能 使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品 每件售价为30元 第三章函数的概念与性质 3.1 函数的概念及其表示 3.1.1函数的概念 第1课时 函数的概念（一） 教材梳理明要点 新知初探 知识点 实数集任意一个数x确定唯一确定取值范围A 函数值{f(x)Ix∈A} 预习自测 1.D函数值只有-1,0,1三个数值，故值域为{-1,0,1}. 3 2.{xlx<4}由4-x>0,解得x<4,所以原函数的定义域为 xlx<4 题型探究提技能 例1：(1)B(2)C 【解析】(1)对于A项，x2+y2=1可化为y=±√1-x2,显然 对任意x∈A,y值不唯一，故不符合；对于B项，符合函数的定 义：对于C项，2∈A,但在集合B中找不到与之相对应的数， 故不符合；对于D项，-1∈A,但在集合B中找不到与之相对 应的数，故不符合. (2)由函数定义可知，任意作一条直线x=a,则与函数的图象 至多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的 函数. 跟踪训练1：ABDABD均满足函数的定义，C选项，同一个分 数可以对应多个考试号，不满足对于任意的x,都有唯一的y 与其对应，故C选项错误.故选ABD. 例2：(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 00.即{解得<0，且≠-2 1Ix|-x≠0， 故原函数的定义域为x|x<-2或-2<x<0}. (2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 8 1x-1≠0， 故原函数的定义域为x|x<1或1<x≤4}. 跟踪训练2：C要使函数y= 二有意义，应满足x+1>0, /x+1 之-1，“函数)y=1的定义域为x2-1. /x+1 11 例3：(1)f(x)=1+xf(2)=1+23 又：g(x)=x2+2,g(2)=2+2=6. (2)g(3)=32+2=11,…f[g(3)]=f11)=1+2 跟踪训练3：（1/3)23-1，g(3)=-3+2-7 1 1 1 (2)[g(2)]=2-g(2)2-(-2+2)4 随堂检测重反馈 1.B图①不满足定义域M=xI0≤x≤2；图③不满足集合N ={y10≤y≤2}；图④不满足函数的定义，如x=1时对应两个 不同的y值；②符合函数定义，定义域为M,值域也恰为N,故 只有一个表示集合M到集合N的函数关系，选B. 2.C函数的对应关系中，可以多个不同的自变量对应同一个 函数值.故选C. 3.- 88 .f(x)= 1-…f(3)=-9 8 ..f(-2)= 1 1 9 1--23/-2]=f(3） -( 8 4.②对①，0∈P,但101Q,所以对应关系f不能构成集合P 上的函数.对②，Hx∈P,都有且只有唯一元素y在集合Q中 与之对应，所以能构成集合P上的函数.对③，P中的元素不 是数，而函数是非空数集到非空数集的对应关系.故填②. 第2课时 函数的概念（二） 教材梳理 明要点 新知初探 知识点 1.[a,b](a,b)[a,b)(a,b] 2.(-∞，+0）[a,t0）(a,+o）(-0,a](-∞，a） 知识点二 定义域对应关系 知识点三 a>0a<0 预习自测 1.A 2.B由y=-x2+1,xe[-1,2),可知当x=2时，y=-4+1=-3:当 x=0时，ymx=1,因为x≠2，所以函数的值域为(-3,1]. 题型探究提技能 例1：(1)③⑤(2)见解析 【解析】(1)①f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数； ②f(x)与g(x)的对应关系不同，不是同一函数；③虽然表示自变 量的字母不同，但f(x)与g(t)的定义域相同，对应关系相同，故 是同一个函数；④f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数： ⑤f(t)与g(x)的定义域、对应关系皆相同，故是同一函数 (2)不相同，对于函数y=√-可·+，由1≥0解得x x+1≥0. ≥1，故定义域为{xlx≥1}，对于函数y=√(x+1)(x-1),由 (x+1)(x-1)≥0解得x≥1或x≤-1，故定义域为{xlx≥1或 x≤-1}，显然两个函数定义域不同，故不是同一函数 跟踪训练1：D对于A,g(x)=√=Ixl,与f(x)的对应关系不 同；对于B,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为xlx≠1}；对 于Cf(x)的定义域为xlx≠-3}，g(x)的定义域为R;对于 D,f(x)==1(>0),g(x)==1(x>0),对应关系与定义 域都相同，故f(x)与g(x)表示同一函数， :((-1,2）(2(-1,5)(3)0,6) 【分析】(1)f(x)的定义域为(-1,2)，即x的取值范围为 (-1,2).f(2x+1)中x的取值范围（定义域）可由2x+1∈ (-1,2)求得. (2)f(2x+1)的定义域为(-1,2)，即x的取值范围为(-1,2)， 由此求得2x+1的取值范围即为f(x)的定义域. (3)先由f(2x+1)的定义域求得f(x)的定义域，再由f(x)的 定义域求f(x-1)的定义域： 【解析】(1)由-1<2x+1<2,得-1<x<2f（2x+1)的定义 1 域为-1,2 (2)-1<x<2,∴.-1<2x+1<5,f(x)的定义域为(-1,5). (3)由f(2x+1)的定义域为(-1,2)得f(x)的定义域为 (-1,5),由-1<x-1<5得0<x<6,.f(x-1)的定义域为(0 6) 跟踪训练2：(1)由-1≤x-5≤5，得4≤x≤10，所以函数f(x-5) 的定义域是[4,10] (2)由0≤x≤3，得-1≤x-1≤2，所以函数f(x)的定义域是 [-1,2] 例3：(1)（直接法）≥0，.：-1≥-1， .y=√x-1的值域为[-1，+∞). (2)(配方法、图象法)y=x2-46=(x-2)2+2,1 如图所示，：xe[1,5),∴函数y的值域为[2,10 11). (3)(换元法)令t=√/1-x(t≥0)，则x=16 -t2, 则y=-22+4t+2=-2(t-1)2+4(t≥0)， 结合图象（图略）可得函数的值域为(-， 012345x (4)(分离常数法)y= 3x-13x+3-4 x+1x+1 34 +1 70y≠3， 4 =+1的值域为yeR,且y≠3. 32 跟踪训练3：(1)由y=-x2-2x+3得y=-(x+1)2+4, -3≤x≤0， .当x=-1时，ymx=4, 当x=-3时，ymn=0, ∴y=-x2-2x+3,-3≤x≤0的值域为[0,4]. (2)(分离常数法)“y=x=1-1 x+1x+1 1 且定义域为xx≠-1，心中0，即y≠1 函数)=本的值域为yeR,且)≠1 (3)方法换元法)设=么可，则u≥01空 1+u 1 .y22 +w=2(+1)2, 1 u≥0，心y≥2’ 「1 六y=x+√2-可的值域为2，+0 方法二2x-1≥0，x≥2 1 1 而当x增大时y也增大，y≥2 「1 y=x+√2-T的值域为2，+0 随堂检测重反馈 1.C 2.C当2≤x≤4且x∈N时，x=2,3,4.所以函数值域为5,7,9： 3.ACA:f(x)与p(t)的定义域相同，又p(t)=√F=It,即 f(x)与p(t)的对应关系也相同，f(x)与p(t)是同一个函 数；B:y=√的定义域为R,y=()2的定义域为{xlx≥0}， 两者定义域不同，故y=√与y=(√)不是同一个函数：C: y=√I+x·√-x的定义域为{xl-1≤x≤1}，y=√1-x的定 义域为x-1≤x≤1}，即两者定义域相同.又：y=√1+x· √-x=√-x,.两函数的对应关系也相同.故y=√1+x· √1-x与y=√1-x是同一个函数；D::y=√(3-x)7=1x-3引 与y=x-3的定义域相同，但对应关系不同，∴.y=√(3-x)与 y=x-3不是同一个函数 4.[-3,2]由题意得-2≤x+1≤3，∴.-3≤x≤2，故函数f(x+1) 的定义域为[-3,2]. 3.1.2函数的表示法 第1课时函数的表示法 教材梳理 明要点 新知初探 知识点一 数学表达式图象表格 预习自测 1.C由图象，知x≠0，即x∈(-∞，0)U(0,+∞). 2.11由g(x)对应表，知g(1)=3,所以f[g(1)]=f(3).由 f(x)对应表，得f(3)=1,所以f[g(1)]=f(3)=1.由g(x)对 应表，得当x=2时，g(2)=2,又g[f(x)]=2,所以f(x)=2.又 由f(x)对应表，得x=1时，f(1)=2.所以x=1. 2