2.1 第2课时等式性质与不等式性质-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教A版）

第2课时 等式性质与不等式性质 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 b=aa=ca±c=b±c ac=be ab cc 知识点二 b<aa>c a+c>b+c ac>bc a+c>b+d ac>bd a">b" 预习自测 1.D令a=2,b=-2,c=3,d=-6,可排除A、B、C.由不等式的性 质5知，D一定成立. 2.(1)>(2)<(3)>(4)< 【解析】(1)如果a>b>0,那么0< 06,即人1 11 6>。>0 (2)如果a>b,那么-2a<-2b. (3)如果a>b>0,那么ab0 (4)如果a>-b,那么-a<b,所以c-a<c+b. 题型探究提技能 例1：(1)D(2)AD 【解析】（1)方法一：c2≥0，.c=0时，有ac2=bc2,故A为 假命题；由a>b>0,有ab>0号0>b三1>1 ”6ab96>。,故B为假命 题： a<bc0-a>-b>0s-L>-1 b>a 。。故C为很命 >0,.ab la<b<0=-a>-b>0 ra>b→b-a<0, 题；{1111 b-a a>bab >0= 2so→a6<0.a>b,a>0且b≤ 0,故D为真命题 方法二：特殊值排除法.取c=0,则ac2=bc2,故A错误；取a= 2,6=1,则1=11 a-2’b 1,有11 。6,故B错误；取a=-2,6= 022，有6 -1,则6=1a a6,故C错误 (2)若a<0<b,c<d<0,则ac>bd,故A错误；若ab>0,bc-ad>0, 则c-d、bc-ad a b ab 0,故B正确；若c>d,则-d>-c,又a>b,则a -dh-c,故C正确：若a=-1,b=-2,c=2,d=1,则4=-1， b c 跟踪训练1：AD①油xt>t2可知t2>0,所以x>y,故xt2>yt→x >y;②当t>0时，x>y,当tK0时，x<y,故t>t台x>y;③若x= -2,y=-1,则虽有x2>y2,但是x<y,故x2>y2台x>y;④由0< ↓<1知，9>0，所以0<<10<1。 ·y<一·xy→x>y x Y 例2：因为a>b>c,所以-c>-b. 所以a-c>a-b>0,所以L>L 11 >0.∴. >0 a-b a-c a-b a-c 即↓+L>0.又i-o0. a-b c-a 所以>0所以上0 a-b b-c c-a 跟踪训练2：：a>b>0,∴.√a>√b>0. ⑦ 又a6o0,网边同果正数品得片0 ② 由①②得66 b a 3 例：(1)因为1≤a≤2，所以4≤4a≤8 ① 因为2≤b≤4，所以-8≤-2b≤-4. ② 由①+②，得-4≤4a-2b≤4. u-v 2)方法一：设u=a+b,u=a-b得a=,,b= 2 .∴.4a-2b=2u+2v-u+v=u+3. 1≤u≤4，-1≤v≤2，.-3≤3≤6. 则-2≤u+3w≤10，即-2≤4a-2b≤10. 方法二：令4a-2b=x(a+b)+y(a-b), .∴.4a-2b=(x+y)a+(x-y)b. +y=4,x=L又1≤a+b≤4， 1x-y=-2,{=3.又-3≤3(a-b)≤6. ∴.-2≤4a-2b≤10. 跟踪训练3：(1)x-2yl-11<x-2y<0 (2){4a-2b15≤4a-2b≤10} 【解析】(1)因为2<y<3,所以-6<-2y<-4.所以-5+(-6)<x -2y<4+(-4),即-11<x-2y<0. (2)令a+h=,a-b=,则2≤4≤4,1≤≤2.由a+6业解得 la-b=v, a=utu 2 b=u-v 则4-2h=4X2-2X2=2+2u=u+3而2≤ 2 u≤4,3≤3v≤6，则5≤u+3m≤10.故5≤4a-2b≤10 随堂检测重反馈 1.B .x<a<0,..x2>a2..x2-ax=x(x-a)>0,..x2>ax.ax- a2=a(x-a)>0,.a>a2..x2>ax>a2.故选B. 2A若心1，则0<<1，故<1，所以“>1“能推出1<1 a 取a=-1,则。<1成立，但心1不成立，故>是“<1的 充分非必要条件，故选A. 3.B对于①，由0>a>b可知，0<-a<-b,则由性质7可知，(-b)2 >(-a)2,即b>a2,故①错误对于②，性质7不具有可逆性， 故2错误：对于③，当0>a>b时，。>1，故③错误：对于④，因 为a>b,所以a-b>0,所以a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a >0,故a3>b,④正确。 4.{x-yl27<x-y<56 28<y<33,.-33< 11 -<-28.又：60<<84,27<x-y56.由28<y<33,得33y 1 n20x<3. 28即7 2.2基本不等式 第1课时基本不等式 教材梳理 明要点 新知初探 知识点 a=b算术几何不小于 知识点二 2 4 预习自测 1.(1)×(2)V(3)×(4)× 6034 第2课时 等式性质与不等式性质 教材梳理明要点 ●情境导入 在我们喝的糖水中加些糖后会变得更甜：炒菜中加些盐后会变得更 咸，…，此类生活现象如何用数学式子来表示呢？ P[提示] 白新知初探 知识点一等式的性质 性质1如果a=b,那么 性质2如果a=b,b=c,那么 [提示] 镜本不等执识只 性质3如果a=b,那么 性质4如果a=b,那么 中b>a>0且m>0. 性质5如果a=b,c≠0，那么 知识点二不等式的性质 性质1a>b曰 ;(对称性) 性质2a>b,b>c→ ;(传递性) 性质3a>b→ ；(可加性) 性质4a>b,c>0曰→ ,a>b,c<0→ac<bc;(可乘性) 性质5a>b,c>d→ ;(同向可加性) 性质6a>b>0,c>d>0→ ；(同向同正可乘性) 性质7a>b>0→ (n∈N,n≥2).（可乘方性） ●[知识点反思] 自预习自测 [知识点反思] 1.已知a>b,c>d,且c,d均不为0，那么下列不等式一定成立的是 两个不等式只有同句 加法和同向同正乘法 A.ad>bc B.ac>bd 运算，没有减法和除 C.a-czb-d D.a+c>b+d 法运算. 2.用“<”或“>”填空： ()如果a6>0,那么 1 a (2)如果a>b,那么-2a -2b. (3)如果a>b>0,那么a0 60. (4)如果a>-b,那么c-a c+b. 题型探究提技能 题型一不等式性质的应用 例1.(1)对于实数a,6c,下列命题中为真命题的是 11 A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>b>0,则一> a b C若u<b<0,则≥4 1.1 D.若a>6,。6,则a>0,6<0 ●035 (2)(多选)已知a,b,c,d均为实数，则下列命题错误的是 A.若a<b,c<d,则ac<bd B.若ab>0,bc-ad>0,则S_d>0 a b [方法总结1] C.若a>b,c>d,则a-d>b-c 判断关于不等式的命 D.若a>b,c>>0,则> [方法总结1] 题真假的两种方法 'd c 1.直接法：直接运用 )》跟踪训训练1 不等式的性质进行推 11 理判断； (多选)给出下列四个条件：①xt2>yt2;②x>t;③x2>y2;④0<<二.其中能 2.特殊值验证法：给 成为x>y的充分条件的是 不等式中涉及的变量 A.① B.② C.③ D.④ 取一些特殊值，然后 进行比较、判断 题型二 利用不等式的性质证明不等式 例2设a>b>c,求证：-b0-6十-0 1,11 -+1->0. ●[方法总结2] [方法总结2] 应用不等式的性质进 行推导时，应注意紧 扣不等式的性质成立 的条件，且不可省略 条件或跳步推导，更 不能随意构造性质与 〉跟踪训练2 法则. √a√b 已知>b>0,求证：6>。 [方法总结3] 利用不等式的性质求 取值范围的策略 1,建立待求范围的整 题型三利用不等式的性质求范围 体与已知范围的整体 例3（已知1≤a≤2，且2≤6≤4，求4u-26的取值范围， 的关系，最后利用一 次不等式的性质进行 (2)已知1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，求4a-2b的取值范围. 运算，求得待求的 2此处a+b与a-b分别看作一个整体，将4a-2b用 范围； 这两个整体式子表示出来 2.求解这种代数式范 P[方法总结3] 围问题要特别注意不 能简单地分别求出单 个变量的范围，再去 求其他不等式的范 围，要把已知条件中 的代数式看作整体来 〉跟踪训练3 处理. (1)已知-5<x<4,2<y<3,则x-2y的取值范围是 (2)已知1≤a-b≤2，且2≤a+b≤4，则4a-2b的取值范围是 036 随堂检测 重反馈 1.设x<a<0,则下列不等式一定成立的是 A.x2<ax<a2 B.x2>ax>a2 C.x2<a2<ax D.x2>a2>ax 2.已知a∈R,则“a>1是1<1的 条件 A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.非充分非必要 3.给定下列命题： ①0>a>b→a2>b2;②a2>b2→a>b>0:③a>b=<1;④a>b→a3>b3. 其中真命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知60<x<84,28<y<33,则x-y的取值范围为 的取值范围 为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[11] 2.2 基本不等式 新课程标准解读 学科核心素养 理解基本不等式的几何意义及其推导过程 数学抽象、直观想象 能利用基本不等式比较代数式的大小、求最值及证明简单的不等式。 逻辑推理、数学运算 会运用基本不等式解决生活中的问题 数学建模 第1课时基本不等式 教材梳理明要点 P情境导入 某金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天 平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄 金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右 边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除 [提示] 不是，可利用基本不 以2作为黄金的最终质量出售.这样称得的质量是黄金的真实质量吗？ 等式知识进行计算并 P[提示] 证明. 台新知初探 知识点一基本不等式 如架a0.>0,则画≤，当且仅当 时，等号成立其中，2叫 做正数a,b的 平均数，√ab叫做正数a,b的 平均数：基本 不等式可叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数